專題15全等三角形模型之角平分線模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各

類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全

等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型'

-~一_..........................................................................................................................................................2

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）.............................................2

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）..............................................5

模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段相等）..................................7

習(xí)題練模型一

.............................................................................................................10

例題講模型］

模型1.角平分線垂兩邊(角平分線+外垂直)

角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平分

線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。

模型證明

條件：如圖1,0c為/Z08的角平分線，CQ4于點(diǎn)CBL0B于點(diǎn)、B.

結(jié)論：CA=CB、AOACA0BC.

證明：為NZ08的角平分線，CA10A,CB10B,

：.CA=CB,ZCBO=ZCAO=90°,,：OC=OC,:.NOACQbOBC(HL)

常見模型1(直角三角形型)

條件：如圖2,在A43C中，ZC=90°,2。為NC48的角平分線，過點(diǎn)。作

結(jié)論：DC=DE、AOZC會(huì)AZX4E.(當(dāng)A48C是等腰直角三角形時(shí)，還有幺8=ZC+CD.)

證明：：/。=90°,/￡＞為NC43的角平分線，DELAB,

:.DC=DE,ZAED=ZACD=90°,,：AD=AD,:.ADAC2ADAE(HL)

常見模型2(鄰等對(duì)補(bǔ)型)

條件：如圖3,0c是的角平分線，AC=BC,過點(diǎn)。作CD_LO4CELOB.

結(jié)論：?ZBOA+ZACB=180°;②AD=BE；③OA+OB=2AD.

證明：：。。是N/O3的角平分線，CD±OA,CELOB,

：.CD=CE,ZCDA=ZCEB=90°,AC=BC,：.M)ACAE5C(.HL'),：.AD=BE,/CAD=NCBE；

'：ZOBC+ZCBE=180°,ZOBC+ZCAD=180°,ZBOA+ZACB=180°,

同圖1中的證法易得：AOOCgAEOC(7a),：.OD=OE,

OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2AD,

模型運(yùn)用

例1.（2024?陜西?中考真題）如圖，在“BC中，=是邊N3上一點(diǎn)，連接CE,在BC右側(cè)作8尸〃4C,

且=連接CF.若ZC=13,BC=10,則四邊形匹/C的面積為

例2.（23-24八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，V/08的外角/C48,2DA4的平分線4尸，8P相交于

點(diǎn)、P,PELOC于E,PFLOD于F,下列結(jié)論：（1）PE=PF；（2）點(diǎn)尸在/COD的平分線上；（3）

乙4尸8=90。一/。；（4）若4吸=17,則OE=8.5,其中正確的有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

例3.（2023春?安徽宿州?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知4B〃CD,8尸和CP分別平分/48C和N8CD,點(diǎn)￡,

廠分別在和CD上.（1）如圖1，EF過點(diǎn)P,且與垂直，求證：PE=PF；

（2）如圖2,E尸為過點(diǎn)P的任意一條線段，試猜想尸￡=尸尸還成立嗎？請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

例4.（23-24九年級(jí)下?遼寧本溪?階段練習(xí)）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，姜老師給出如下問題：如

圖1,4力平分/BAC,M為42上一點(diǎn)，N為ZC上一點(diǎn)，連接線段DN,若N84C+NNDM=180。.求

證：DM=DN.

A

ENCENC

①如圖2,小文同學(xué)從己知一邊一角構(gòu)造全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化的視角給出如下思路：在NC上截取連

接DE,易證A/DM%NDE,將線段DM與。N的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為DE與DN的數(shù)量關(guān)系.

②如圖3,小雅同學(xué)也是從已知一邊一角構(gòu)造全等的視角進(jìn)行解題給出了另一種思路，過。點(diǎn)向/5/C的

兩邊分別作垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F,易證A4DEHADF,得到DE=DF,接下來只需證&FDM卬EDN,

可得.

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程

【類比分析】（2）姜老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都采用了一邊一角構(gòu)造全等的視角，為了更好的感悟這種視角,

姜老師將共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等的角，變成了不共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等的角提出了如下問題，請(qǐng)你解答.

如圖4,在V48C中，AB=AC,BD平分N4BC交AC與點(diǎn)D,在線段8C上有一點(diǎn)E,連接4E交AD與

點(diǎn)尸，若NCAE=NABD.求證：AD=CE.

【學(xué)以致用】（3）如圖5,在V48c中，AB=AC,ADLBC,垂足為點(diǎn)。，在C2的延長線上取一點(diǎn)E,

9

使NE4B=NBAC,在線段￡5上截取斯=45,點(diǎn)G在線段4E上，連接尸G,使/E尸G=NE45,若｛D=1,

EG=（,BF」Q_3圓,求四邊形的面積.

35

FBDC

圖5

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而

得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，這個(gè)模型巧妙的把三線合一和角平分線聯(lián)系在一起。但同學(xué)們也需要注意，在

解答題中使用時(shí)不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全等

來得到結(jié)論。（因?yàn)檎_的結(jié)論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦！）

模型證明

圖1圖2圖3

條件:如圖1,0C為NZ03的角平分線，ABLOC,

結(jié)論:MOC名ABOC,A048是等腰三角形，0C是三線合一等。

證明:：0C為NZ08的角平分線，：.ZCOA=ZCOB,

:ABLOC,ZBCO=ZACO=90°,"：CO=CO,：.&AOC冬ABOC(ASA),

20=80,.?.A048是等腰三角形，ABLOC,OC是三線合一。

條件：如圖2,BE為NZ8C的角平分線，BELEC,延長R4,CE交于點(diǎn)、F.

結(jié)論：ABEC學(xué)ABEF,A5EC是等腰三角形、3E是三線合一等。

證明：同圖1的證法,

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)下?安徽馬鞍山?期末）如圖，“BC中，AB=8cm,AC=6cm,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若

平分N8ZC,CD1AD,線段。￡的長為（）

A

C.1.5cmD.2cm

例2.（2024?廣東深圳?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，5C=10,AC—AB=5,是/A4C的角

平分線，CDLAD,則以B或的最大值為.

例3.（2024?廣東?九年級(jí)期中）如圖，在A45C中，AB=AC,ZBAC=90°,

圖1圖3

（1）如圖1,5。平分N/8C交/C于點(diǎn)。，F(xiàn)為5C上一點(diǎn)，連接"交5。于點(diǎn)E.

（D若AB=BF,求證：垂直平分/；（ii）若/尸_LB。,求證：ND=CF.（2）如圖2,BD平分N4BC

交4c于點(diǎn)D,CE1BD,垂足E在的延長線上，試判斷線段CE和8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,F為BC上一點(diǎn)、,ZEFC=-ZB,CELEF,垂足為E,EF與HC交于點(diǎn)、D,寫出線段CE

2

和ED的數(shù)量關(guān)系.（不要求寫出過程）

模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段相等）

模型解讀

角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型是利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到

對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。

模型證明

條件：如圖1,0c為/Z08的角平分線，/為任意一點(diǎn)，在08上截取連結(jié)C8.

結(jié)論：A0AC%A0BC,CB=CAo

證明：：0C為NZ08的角平分線，：.ZCOA=ZCOB,

'：OB=0A,CO=CO,:."0C必BOC(SAS),：.CB=CA。

條件：如圖2,BE、CE分別為NABC和ZBCE的平分線，AB//CD,在BC上截取BF=AB,連結(jié)EF。

結(jié)論：ABAE0A5FE,bCDE2KCFE,AB+CD=BC.

證明：1為448c的平分線，AZABE=ZFBE=-ZABC,

2

,:BF=AB,BE=BE,:.MAE名帖FE(MS),AZAEB=ZFEB,

AB//CD,：.ZABC+ZBCD=180°,:CE為ZBCE的平分線，；.ZFCE=ZDCE=-ZBCD,

2

ZEBC+ZBCE=-ZABC+-ZBCD=90°,：.ZFEC+ZFEB=90°,ZAEB+ZCED=9Q°,

22

AZFEC=ZCED,,:EC=EC,:.NCDE空NCFE,：.FC=DC,：.AB+CD=BF+FC=BCa

模型運(yùn)用

例1.（2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=AC,4=100。，5。是/4BC的平分線,

延長3。至點(diǎn)E,DE=AD,試求的度數(shù).

A

D

例2.(2022?北京九年級(jí)專題練習(xí))在四邊形4&DE中，C是邊的中點(diǎn).

(1)如圖(1),若/C平分48/E,ZACE=90°,則線段/￡、AB、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；

(直接寫出答案)；(2)如圖(2),AC平分NB4E,EC平分NAED,若N/CE=120。，則線段43、BD、

DE、/￡的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

例3.(2023?山東煙臺(tái)?九年級(jí)期末)已知在A4BC中，滿足乙4c2=2/8,

(1)【問題解決】如圖1，當(dāng)/C=90。，為NB4C的角平分線時(shí)，在A8上取一點(diǎn)E使得/E=/C,連接

求證：48=/C+CO.(2)【問題拓展】如圖2,當(dāng)/Cw90。，為NB/C的角平分線時(shí)，在48上取一點(diǎn)

￡使得/￡=/C,連接。E,(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)［猜想證明】如圖3,當(dāng)/。為“ABC的外角平分線時(shí)，在BA的延長線上取一點(diǎn)E使得AE=AC,連接DE,

線段/8、AC,CO又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明.

例4.(24-25八年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)谔剿骼媒瞧椒志€來構(gòu)造全等

三角形問題.

如圖①，在四邊形N8DE中，點(diǎn)C是5。邊的中點(diǎn)，4c平分/BAE,NACE=90。,證明：AE=AB+DE.

討論思考：當(dāng)同學(xué)們討論到題目中尋找線段之間的和差關(guān)系時(shí)，大家都踴躍提出了各自的見解，大家集思

廣議，提出了一個(gè)截長法：如圖②，在/￡上截取/尸=48,連接CF,先證明△NBC也△4FT,再證明

△EFC必EDC,即有所=Z)E,BPAE=AB+ED.

解決問題：小明同學(xué)根據(jù)大家的思路，進(jìn)行了如下的證明

AE=AB+DE,理由如下：如圖②，在/￡上取一點(diǎn)尸，使/尸=/3,連接CF.

AB=AF

,；AC平分/BAE,；./BAC=NFAC,在和中，］ZBAC=ZFAC；.AACB知ACF(SAS)

AC^AC

；.BC=FC,ZACB=ZACF.

(1)小明已經(jīng)完成了大家討論的第一步，接下來就由你來利用題干中的條件完成剩下的推理證明吧.

拓展探究：已知：如圖③，在A/BC中，乙8=60。，D、E分別為上的點(diǎn)，且交于點(diǎn)尸.若

為A/BC的角平分線.(2)NAFC=°；(3)證明：DF=EF.

(4)如圖④，在A/3C中，/4CB/90。,延長A4BC的邊A4到點(diǎn)G,力。平分/G4c交8C延長線于點(diǎn)。，

^AB+AC=CD,ZABC=30°,貝

圖④

習(xí)題練模型

1.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下,

其中射線。尸為NZO8的平分線的有（）

2.（2024?廣東深圳?中考真題）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線/。平分NA4c的

D.只有①

3.（2024?重慶?校考一模）如圖，已知四邊形48co的對(duì)角互補(bǔ)，且NB4C=ND4C,AB=15,4D=12.過

頂點(diǎn)。作CEL/3于￡,則二二的值為（）

A.V73B.9C.6D.7.2

4.（2024?安徽?一模）如圖，中，4D平分NB4C,￡是8C中點(diǎn)，AD1BD,AC=7,48=4,則

DE的值為（）

13

A.1B.2C.vD.-

22

5.（2024?綿陽市?校考一模）已知，如圖，BC=DC,ZB+ZD=180°.連接AC,在AB,AC,AD上分別

取點(diǎn)E,P,F,連接PE,PF.若AE=4,AF=6,ZkAPE的面積為4,則AAPF的面積是（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2023春?廣東深圳?八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)P為定角//OB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與

//O8互補(bǔ)，若/MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與。4相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論:

①尸河=PN恒成立；②OM+ON的值不變；③四邊形尸MCW的面積不變；其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A

B

A.3B.2C.1D.0

7.（23-24九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）如圖，在A48c中，N8/C和//8C的平分線/E,3尸相交于點(diǎn)O,

AE交BC于E,BF交AC于F,過點(diǎn)。作QD_L8C于。，下列幾個(gè)結(jié)論：

①。C平分Z8C4?ZAOB=90°+③當(dāng)/C=60。時(shí)，AF+BE=AB；

④若OD=a,AB+BC+CA=2b,則％其中正確的有（）

8.（2023?四川南充?統(tǒng)考二模）如圖，。為的平分線OC上一點(diǎn)，DE=DF,但OEw。b，則NOED

9.（2023?山東淄博?校考二模）如圖，點(diǎn)。在內(nèi)部，BD平分/4BC,且/。工8。，連接CD.若△BCD

的面積為2,則的面積為.

10.（2024?湖南?中考真題）如圖，在銳角三角形4BC中，40是邊BC上的高，在A4,8C上分別截取線

段BE,BF,使BE=BF；分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于!E尸的長為半徑畫弧，在248C內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)

2

P,作射線AP,交/。于點(diǎn)過點(diǎn)“作跖于點(diǎn)N.若MN=2,AD=4MD,貝l|NM=.

11.（2024?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形48CD中NO=2N8=120。，AB=AD,E為BC_L

一點(diǎn)，連接/E,BE=2,CD=7,4ZBAE+ZBCD=\20°,則線段CE的長為

12.（2024?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知等腰直角三角形43C中，AB=AC,/A4c=90。，B尸平分

/ABC,CO交3尸的延長線于點(diǎn)。，試說明：BF=2CD.

13.（2024?湖北孝感?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫乙408=90。，并畫//O3的平分線。C.

（I）把三角尺的直角頂點(diǎn)落在。C的任意一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊分別與//O8的兩邊04,OB

垂直，垂足為E,F（如圖1）.則尸￡=尸尸；若把三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)（如圖2）,則PEPF.（選

填：“<”、">”或“=”）

（理解應(yīng)用）

（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)?作直線GHLOC,分別交04,03于點(diǎn)G,H,如圖3.

①圖中全等三角形有對(duì).（不添加輔助線）

②猜想GE,FH,EF之間的關(guān)系為________.

（拓展延伸）

（3）如圖4,畫ZAOB=60°,并畫ZAOB的平分線0C,在OC上任取一點(diǎn)P,作ZEPF=120°,NEPF的

14.（2023?吉林松原?校聯(lián)考二模）在四邊形中，4c平分ND4B,ZABC=a,ZADC=180°-a.

（1）若a=90。時(shí)，直接寫出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為—；（2）如圖1,當(dāng)好90。時(shí)，（1）中結(jié)論是否還成立,

說明理由；（3）如圖2,。為NC中點(diǎn)，M為4B上一點(diǎn)BM=AD,求石萬群值,

二C

ABAMB

圖1圖2

15.（23-24九年級(jí)上?河南開封?階段練習(xí)）如圖，在Rt448C中，ABAC=90。現(xiàn)在有一足夠大的直角三角

板，它的直角頂點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，另兩條直角邊分別交/8、/C于點(diǎn)￡、F.

>

BDCBDC

圖1圖2

（1）如圖1,若尸，/C,求證：四邊形/ED尸是矩形.

（2）若點(diǎn)。在/A4c的角平分線上，將直角三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條

直角邊分別交于點(diǎn)￡、尸（如圖2）,試證明/￡+/尸=?4D.（嘗試作輔助線）

16.（2024?河南南陽?一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)

展的眼光看問題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對(duì)稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計(jì)的問題,

請(qǐng)你解答.（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1,NP是VN3C的角平分線，AB<AC,在/C上截取連接

PQ,則尸B與的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2,VN8C的角平分線/￡、3月相交于點(diǎn)P當(dāng)NC=60。

時(shí)，線段PE與尸尸的數(shù)量關(guān)系是;

（2）【探究遷移】如圖3,在四邊形/8C75中，AB=AD+BC,4D48的平分線與N48C的平分線恰好交

于CA邊上的點(diǎn)尸，試判斷與尸。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若N8=15,tan/P48=；,當(dāng)APBC有一個(gè)內(nèi)角是45。時(shí)，直接寫出邊

的長.

17.（2023?山東濟(jì)南?二模）在等腰V48。中，f）B=90°,是VN2C的角平分線，過點(diǎn)M作“NL/C,

垂足為N,NEMF=135。、將NEMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使NEMF的兩邊交直線48于點(diǎn)E,交直線/C于點(diǎn)R

請(qǐng)解答下列問題：（1）當(dāng)NEMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM；

（2）當(dāng)NEAYF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BE,CF,之間的數(shù)量關(guān)系；

⑶在（1）和（2）的條件下，tanZBEM=拒,/N=28+2，分別求CF的長.

圖①圖②

18.（23-24八年級(jí)上?江蘇無錫?期中）【情境建模】（1）蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)第60頁，研究了等腰三角形

的軸對(duì)稱性，我們知道“等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角平分線重合”，簡稱“三線合一”.

小明嘗試著逆向思考：若三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角對(duì)邊上的高重合，則這個(gè)三角形是等腰三角形.即

如圖1,已知，點(diǎn)。在V/BC的邊3C上，平分且求證：AB=AC.請(qǐng)你幫助小

明完成證明；請(qǐng)嘗試直接應(yīng)用“情境建模”中小明反思出的結(jié)論解決下列問題：

【理解內(nèi)化】（2）①如圖2,在V45c中，4D是角平分線，過點(diǎn)3作/。的垂線交40、/C于點(diǎn)￡、F,

乙iBF=2NC.求證：BE=^AC-AB）i②如圖3,在四邊形4RDC中，BC=5AC-AB=6,4D平

分NCAB,AD』CD,當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)CD的長.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4,V/2C是兩條公路岔路口綠化施工的一塊區(qū)域示意圖，其中N/C5=90。，AC=15m,

BC=20m,該綠化帶