專題05三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型

近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就三類雙角平分線模型

進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

模型1雙角平分線模型（雙內角）.......................................................2

模型2.雙角平分線模型（一內角一外角）.................................................5

模型3.雙角平分線模型（雙外角）.......................................................7

習題練模型一

.......................................................................................................................................................10

例題講模型I]

模型1雙角平分線模型（雙內角）

模型解讀

雙角平分線模型1：當這兩個角為內角時，這夾角等于90。與第三個角的一半的和。

模型證明

1）兩內角平分線的夾角模型

圖1圖2圖3

條件：如圖1,在AABC中，NABC和NACB的平分線BP,CP交于點P；結論：ZP=9O°+^ZAo

證明：和/4C8的平分線8P,“交于點P,AZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB

22a

ZP=180°-(NPBC+NPCB)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=90°+lzAo

222

2)凸多邊形雙內角平分線的夾角模型1

條件：如圖2,BP、CP平分NABC、ZDCB,兩條角平分線相交于點P；結論：2/P=NA+/。。

證明：；BP、CP平分NA8C、ZDCB,：.ZPBC=^ZABC,ZPCB=|ZDCBo

/.ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-1CZABC+ZDCB)=180°-』(360°-ZA-Z￡?=1(ZA+ZD)O

222

即：2/P=/A+/。。

3)凸多邊形雙內角平分線的夾角模型2

條件:如圖3,CP、OP平分NBC。、/CDE,兩條角平分線相交于點P；結論：2ZP=NA++NE_180。。

證明：?:CP、OP平分NBC。、ZCDE,:.NPCD二NBCD,NPDC=；NCDE。

：.ZP=180°-(ZPCD+ZPDC)=180°-1CZBCD+ZCDE)=180°-1(540°-ZA-ZD-ZE)=ZA+ZD+Z

22

￡-90°。即：2ZP=ZA+ZD+ZE-180°

模型運用

例1.（2023秋?安徽阜陽?八年級統考期中）如圖，在AABC中，點尸是AABC內一點，且點尸到&4BC三邊

的距離相等，若N3PC=124。，貝Ij/A=

例2.（2023秋?山西太原?八年級校考期末）已知：如圖，P是“LBC內一點，連接尸B,PC.

（1）猜想：/BPC與NABP、ZACP、NA存在怎樣的等量關系？證明你的猜想.⑵若NA=69。，PB、PC分

別是/ABC、—ACB的三等分線，直接利用（1）中結論，可得—BPC的度數為.

A

BC

例3.（2023秋?河南濮陽?八年級校考期末）模型認識：我們學過三角形的內角和等于180。，又知道角平分

線可以把一個角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進行下面的探究活動.

如圖①，在AABC中，BP、CP分別是/A3c和NACB的角平分線.

解決問題：⑴若ZABC=40。，ZACB=80°,貝|ZBPC=；（直接寫出答案）

⑵若NBAC=100°,求出NBPC的度數；

拓展延伸：（3）如圖②，在四邊形ABCD中，BP、CP分別是—ABC和NOCB的角平分線，直接寫出/3PC

與Z4+NO的數量關系.

例4.（23-24八年級?山東青島?期末）【基礎探究1】（1）如圖1,AABC中，3尸平分/ABC,CP平分/ACB,

探求NBPC與/A之間的數量關系；

【基礎探究2］（2）如圖2,AABC中，BR、88是/ABC的三等分線，、C鳥是—ACB的三等分線,

則ZBPtC與/A之間的數量關系是；

【基礎探究3］（3）如圖3,44BC中，8月、BP。、是/ABC的四等分線，/、CP。、C6是—ACB的

四等分線，則與/A之間的數量關系是；

【拓展與探究】（4）如圖4,AABC中，B6、BP2......BP-、即"是/ABC的〃等分線，/、CP2.......

CPn2、C［T是/ACB的n等分線，請用一個等式表示/%C、NBPeC、-A三者之間的數量關系是；

【探究與應用】（5）AABC中，期、BP?、.........8鳥。23是NASC的2024等分線，/、CP2......CP2023

是NAC3的2024等分線，若2C與之22c的和是一A的7倍，則/期。展=。.

模型2.雙角平分線模型（一內角一外角）

雙角平分線模型2：當這兩個角為一個內角和一個外角時，這夾角等于第三個角的一半。

1）一個內角一個外角平分線的夾角模型

條件:如圖1,在AABC中,8P平分NA8C,CPWZACB的外角,兩條角平分線相交于點P；結論：ZP=|zA.

證明：?:BP、CP平分NA8C、ZACD,:.NPBC=工NABC,ZPCD^-ZACD

22

AZP=ZPCD-ZPBC^-CZACD-ZABC）=-ZAo

22

2）一個內角一個外角平分線的夾角模型（累計平分線）

條件:如圖2,ZA=a,ZABC,ZACD的平分線相交于點片，4BC4CD的平分線相交于點八，NP0C,

/鳥8的平分線相交于點A……以此類推；結論：/月,的度數是.

證明：；BPi、CP平分NABC、ZACD,；.NPBC=gNABC,ZPCD=^ZACDo

：.ZPi=ZP1CD-ZPiBC=L（ZACD-ZABC）=LzA=-ao同理.ZP7=LzPi=—a-ZP?=

222,222

模型運用

1.（2023?浙江?八年級假期作業）如圖，OG平分ZMON,點是射線OM,QV上的點，連接AB.按以

下步驟作圖：

DN

①以點8為圓心，任意長為半徑作弧，交A3于點C,交BN于點、D;

②分別以點C和點。為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點E；

③作射線班，交0G于點P.若/ABN=140。，ZMON=50°,則的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

例2.（2023?河北?九年級專題練習）問題情境：如圖1,點。是AABC外的一點，點E在BC邊的延長線上,

8。平分/ABC,CD平分/ACE.試探究NO與/A的數量關系.

CEC

圖1圖1

（1）特例探究：如圖2,若AABC是等邊三角形，其余條件不變，則/。=；

如圖3,若AABC是等腰三角形，頂角NA=100。，其余條件不變，則/。=；這兩個圖中，與NA度

數的比是;（2）猜想證明：如圖1,AABC為一般三角形，在（1）中獲得的/。與/A的關系是否還

成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由.

例3.（2023春?浙江?七年級專題練習）/AC。是△ABC的外角，/ABC的平分線與/ACD的平分線交于點

A,/ABC的平分線與ZACD的平分線交于點為,...,Z^BC的平分線與幺-CD的平分線交于點An.設

ZA=0.則NA】=_______,ZA2021—____________.

BCD

模型3.雙角平分線模型(雙外角)

模型解讀

雙角平分線模型3：當這兩個角為外角時，這夾角等于90。與第三個角的一半的差。

模型證明

1)兩外角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在A48C中，BO,C。是AABC的外角平分線；結論：NO=90。—34.

證明：?:BO、CO平分NC3E、ZBCF,：.ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-ZBCF

22

AZ0=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-1(NEBC+NBCF)=180°-1(ZA+ZACB+ZABC+ZA)

22

=180°-1(180°+ZA)=90°+lzAo

22

2)旁心模型旁心：三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點

條件：如圖2,8。平分/ABC,CD平分/AC8的外角，兩條角平分線相交于點。；結論：平分/CW。

證明：如圖3,過點。作。M_LB4、DNLAC、DHLBC,

平分/ABC,CD平分NACB的外角，；.DH=DM,DH=DN,：.DM=DN,平分NCA。。,

模型運用

例1.(2023.廣東八年級期中)如圖，在AABC中,NB=46。，三角形的外角ND4C和NACF的平分線交于

點E,貝.

D

4

E

B

例2.（2023?安徽宿州?八年級校聯考期末）（1）如圖（a）,8。平分，ABC,CO平分NACB.

①當NA=60。時，求NO的度數.②猜想NA與一。有什么數量關系？并證明你的結論.

（2）如圖（b）,即平分外角NCBP,CD平分外角ZBCQ,（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請

你直接寫出正確的結論（不用寫出證明過程）.

國（a）

例3.（2023秋?貴州遵義?八年級校考階段練習）如圖（1）,NCBF,NACG是“BC的外角，NACG的平

分線所在直線與NABC的平分線BD交于點D,與NCBF的平分線BE交于點E.（1）若ZA=70。，則ND=_度;

（2）若NA=a,求NE的度數；（3）在圖（1）的條件下，沿54作射線連接AD,如圖（2）.求證：AD

平分4c.

例4.（2023?甘肅天水?七年級統考期末）已知在AABC中，圖1,圖2,圖3中的AABC的內角平分線或外角

平分線交于點。，

（1）如圖1,點。是AABC的兩個內角平分線的交點，猜想與/A之間的數量關系，并加以證明.

（2）請直接寫出結果.如圖2,若/4=60。248（7的內角平分線與外角平分線交于點。，則/。=；

如圖3,若NA=60。，AABC的兩個外角平分線交于點。，則/。=.

AAA

oQ

圖3

習題練模型

1.（2023春?山東泰安?七年級統考期末）如圖，AABC的外角/ACD的平分線CP與內角/ABC的平分線

交與點P,若N3PC=40。，則/C4P=（）

2.（2023?江蘇?八年級統考期末）AABC中，點。是AABC內一點，且點O到AABC三邊的距離相等；ZA=4O°,

則N3OC=（）

3.（2023秋?四川綿陽?八年級統考期末）如圖，在AA8C中，/A=30。，E為延長線上一點，NABC與

/ACE的平分線相交于點。，則/。等于（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2023春?廣東?七年級專題練習）如圖，已知AABC,O是AABC內的一點，連接OB、OC,將/ABO、

/ACO分別記為/I、Z2,則/I、/2、NA、/O四個角之間的數量關系是（）

O

R

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Z1+Z2+ZA+ZO=180°C.Z1+Z2+ZA+ZO=360°D.Z1+Z2+ZA=ZO

5.（2023.廣東七年級期中）在四邊形ABCD中，ZABC的平分線與NBCD的平分線交于點P,若NA+1,

222

6.（2023春?福建漳州?七年級統考期末）如圖，在AABC中，是角平分線，班是邊AC上

的高，延長與外角NAb的平分線交于點G.以下四個結論：?ZABD=ZCBD；②/ABE+NA=90。；

③NG=45。；④NA—NACB=2NEBD.其中結論正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2023?遼寧營口?八年級校考階段練習）如圖，NACD是AABC的外角，/ABC的平分線與NACD的平

分線交于點Ai,/AiBC的平分線與/AiCD的平分線交于點A2,…，/An-1BC的平分線與NAn-1CD的

平分線交于點An.設NA=6.則：（1）/Ai=；（2）ZAn=.

8.（2023春?成都市七年級課時練習）如圖在AABC中，BO,CO分別平分NABC,ZACB,交于O,CE

為外角NACD的平分線，交BO的延長線于點E,記NA4c=N1,NBEC=N2,則以下結論①N1=2N2,

②NBOC=3/2,?ZBOC=90°+Z1,@ZBOC=90°+Z2,正確的是.（把所有正確的結論的序號

寫在橫線上）

9.（2023秋?安徽阜陽?八年級統考期中）如圖，在AABC中，點尸是內一點，且點尸到AABC三邊的

距離相等，若/8PC=124。，則NA=.

10.（2023秋?北京大興?八年級統考期末）如圖，在"13C中，AB<AC,N54C的平分線與外角NBCD的

平分線相交于點作A3的延長線得到射線AE,作射線有下面四個結論：

?ZMCD>AMAB,?BM=CM；③射線是/E3c的角平分線；④N8A7C=9（F-g/a4c.

所有正確結論的序號是.

11.（2023春?河南鄭州?七年級校考期末）如圖，已知在AABC中，ZA=70°.

（1）分別作NC的平分線，它們交于點。（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑵當/3=60。時，/BOC的度數為.（3）當4=。時，/30C的度數為一.

12.（2023?成都市?八年級專題練習）在中，ZBAC=60°,線段斯、CE分別平分/ABC、NACB交

于點G.⑴如圖1,求—3GC的度數；（2）如圖2,求證：EG=FG；（3）如圖3,過點C作CDLEC交BF延

長線于點。，連接A。，點N在54延長線上，連接NG交AC于點“，使NZMC=NNGD,若EB:FC=1:2,

CG=10,求線段MN的長.

13.（2023秋?山東?八年級專題練習）如圖，在44BC中，NR4C=5O。，/是/ABC,/ACB平分線的交點.（1）

ZBIC=°;（2）若。是兩條外角平分線的交點，貝|ZBDC=°;（3）在（2）的條件下，若E是內

角/ABC和外角NACG的平分線的交點，試探索N3EC與二朋C的數量關系，并說明理由.

E

B,

FM

14.（2022春?湖北十堰?七年級統考期末）在三角形中，由三角形的內角平分線所形成的角存在一定的規律,

理解并掌握其中的規律，有助于同學們鞏固相關的數學知識.

如圖1,AABC中，網，。,分別平分ZABC,NACB,且相交于點&“勤奮小組”的同學發現：

ZBA.C=90°+-ZBAC.證明過程如下：

AA

圖1圖2

證明:如圖2,連接AA］并延長，

貝UZl=ZABA+ZBA4,,Z2=ZACA,+ZCAAt（依據1）

?.-BA1與CA,分別平分ZABC,ACB

NAg=|zABC,ZACAj=|zACB

/3C=Z1+Z2=1ZABC+ZBAAt+1ZACB+ZCAAt

）

=9"—""+—+.BAC

又QZABC+ZACB+ABAC=180°,（依據2）

ZBAC=-xl80°+-ABAC=90°+-ABAC.

"222

（1）依據1是一，依據2是—；（2）如圖3,在圖1的基礎上,作ZA.BC,ZA.CB的角平分線時,S，交于

點4,試探究與N54C之間的數量關系.

A

/^\

BC

圖3

15.（2023秋?山西朔州?八年級統考階段練習）（1）【情境引入】如圖1,BD,。分別是的內角/ABC,

ZACB的平分線，說明"=90。+：44的理由.

（2）【深入探究】①如圖2,BD,8分別是AASC的兩個外角/ESC,NRTB的平分線，NO與NA之間

的等量關系是;

②如圖3,BD,8分別是44BC的一個內角NABC和一個外角/ACE的平分線.BD,8交于點，探

究ZD與Z4之間的等量關系，并說明理由.

⑶【拓展應用】請用以上結論解決下列問題：如圖4,在AABC中，BD,8分別平分ZA3C,ZACB.M,

N,。分別在。8,DC,BC的延長線上，BE,CE分別平分NMBC,NBCN,BF,CF分別平分NEBC,

NECQ.若NA=80。，則/尸的度數是.

16.（2023?江蘇鎮江?七年級校考期中）⑴如圖1,BO、CO分別是AABC中NABC和/ACB的平分線,

則—3OC與/A的關系是（直接寫出結論）;

（2）如圖2,BO、C。分別是AABC兩個外角NCBD和/3CE的平分線，則/BOC與的關系是,

請證明你的結論.（3）如圖3,BO、C。分別是AABC一個內角和一個外角的平分線，則-3OC與—A的關

系是,請證明你的結論.（4）利用以上結論完成以下問題：如圖4,已知："OP=90。，點A、B

分別是射線OF、。。上的動點，AABO的外角NOBE的平分線與內角/。的平分線相交于點P,猜想一產

的大小是否變化？請證明你的猜想.

17.（2023.天津河西.八年級期中）探究一：已知：如圖1,NEDC與—ECD分別為△ADC的兩個外角.

試探究NA與NEDC+NECD的數量關系（即列出一個含有/A,ZFDC,—EC￡>的等式，直接寫出

答案即可）;

探究二：已知：如圖2,在△ADC中，ORCP分別平分/ADC和/ACD,求：/尸與/A的數量關系；

探究三：若將探究2中的△ADC改為任意四邊形ABCD呢？

即：如圖3,在四邊形ABCD中，OP,CP分別平分/4DC和ZBC￡>,試利用上述結論探究/尸與NA+/3的

數量關系.

圖1圖2圖3

18.（2023?山東濟南?校考模擬預測）如圖1,在AA8C中，NBAC的平分線AD與NBCA的平分線CE交于

點O.（1）求證：ZAOC=90°+1ZABC；（2）當/ABC=90。時，且4。=30。（如圖2）,判斷線段AE,CD,

AC之間的數量關系，并加以證明.

CAC

圖1圖2

19.(2024?安徽安慶?八年級統考期末)如圖，在AABC中，和—ABC的平分線相交于點。，過點。作

EFUAB交BC千F,交AC于E,過點。作OD，3c于。.

(1)求證：ZAOB=90°+-ZC(2)求證：AE+BF=EF(3)若OD=a,。石+匱=力，請用含“，b的

2

代數式表示ACEF的面積，S?CEF=(直接寫出結果)

20.(2023秋?湖北武漢?八年級統考期末)如圖，已知RCABC中，ZA=90°,BD,CO分別平分NABC和

ZACB.

⑴如圖(1),求ZBDC的度數；(2)如圖(2),延長8。交AC于E,作EGLBE交CD于G,作GPLAC交

8E的延長線于下，垂足為求證：EF=BD-,

(3)如圖(3),若AB=AC=1,。是邊3C所在直線上一點，分別關于BO,8作。的對稱點M,N,它

們到直線3C的距離分別記作加和〃.①若點。在邊BC上，直接寫出7沏的最大值；

②若點。在BC的延長線上，取十個特殊的。點，使十個對應的〃值依次為4=1,%=2,…，％=10這

111

十個自然數，對應的加的值分別記作機-叫，…，叫o.直接寫出——+----+???+------的和.

m1nlm2n2叫o〃w

21.（23-24七年級下.河南洛陽.期末）已知直線MN與P。互相垂直，垂足為。，點A在射線。。上運動，點

⑴如圖1,4平分NBA。，3/平分NABO,AI交于I,貝°.

⑵如圖2,4平分/BAO交于點/,8C平分/ABM,BC的反向延長線交4的延長線于點Z）.

①直接寫出，則4DB=②在點A,B的運動過程中，4D3的大小是否會發生變化？若不變,

求出41汨的度數；若變化，請說明理由.

專題05三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型

近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就三類雙角平分線模型

進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

.......................................................................................................................................................20

模型1雙角平分線模型（雙內角）......................................................20

模型2.雙角平分線模型（一內角一外角）................................................26

模型3.雙角平分線模型（雙外角）......................................................29

習題練模型一

.......................................................................................................................................................35

19

例題講模型I]

模型1雙角平分線模型（雙內角）

模型解讀

雙角平分線模型1：當這兩個角為內角時，這夾角等于90。與第三個角的一半的和。

模型證明

1）兩內角平分線的夾角模型

圖1圖2圖3

條件：如圖1,在AABC中，NABC和NACB的平分線BP,CP交于點P；結論：ZP=9O°+^ZAo

證明：和/4C8的平分線8P,“交于點P,AZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB

22a

ZP=180°-(NPBC+NPCB)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=90°+lzAo

222

2)凸多邊形雙內角平分線的夾角模型1

條件：如圖2,BP、CP平分NABC、ZDCB,兩條角平分線相交于點P；結論：2/P=NA+/。。

證明：；BP、CP平分NA8C、ZDCB,：.ZPBC=^ZABC,ZPCB=|ZDCBo

/.ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-1CZABC+ZDCB)=180°-』(360°-ZA-Z￡?=1(ZA+ZD)O

222

即：2/P=/A+/。。

3)凸多邊形雙內角平分線的夾角模型2

條件:如圖3,CP、OP平分NBC。、/CDE,兩條角平分線相交于點P；結論：2ZP=NA++NE_180。。

證明：?:CP、OP平分NBC。、ZCDE,:.NPCD二NBCD,NPDC=；NCDE。

：.ZP=180°-(ZPCD+ZPDC)=180°-1CZBCD+ZCDE)=180°-1(540°-ZA-ZD-ZE)=ZA+ZD+Z

22

￡-90°。即：2ZP=ZA+ZD+ZE-180°

20

模型運用

例1.（2023秋?安徽阜陽?八年級統考期中）如圖，在AABC中，點尸是AABC內一點，且點尸到&4BC三邊

的距離相等，若N3PC=124。，貝Ij/A=.

【分析】由條件可知3RC尸平分/ABC和—ACB,利用三角形內角和可求得/A.

【詳解】解：???點P到AABC三邊的距離相等，

3尸平分/A3C,CP平分NACB,

ZA=18O°-（ZABC+ZACB）,=180°—2（/P3C+/PC3）

=180°-2x（180°-ZBPO=180°-2x（180°-124°）=68°故答案為：68°.

【點睛】本題考查角平分線的性質與判定，掌握角平分線的交點到三角形三邊的距離相等是解題的關鍵.

例2.（2023秋?山西太原?八年級校考期末）已知：如圖，尸是“RC內一點，連接PB,PC.

（1）猜想：/BPC馬NABP、N4CP、NA存在怎樣的等量關系？證明你的猜想.（2）若NA=69。，PB、PC分

別是/ABC、—ACB的三等分線，直接利用（1）中結論，可得NBPC的度數為.

【答案】（1）NBPC=/A+NABP+NACP,證明見解析（2）106。

【分析】（1）根據三角形內角和定理得到NA+NABC+NACB=180。，ZBPC+Z.CBP+ZBCP=180°,再結合

ZCBP=ZABC-ZABP,ZBCP=ZACB-ZACP即可得到結論；（2）先根據三角形內角和定理和角三等分線的

定義得到ZABC+ZACB=111。，ZABP=^ZABC,ZACP=^ZACB,再代入（1）中結論求解即可.

【詳解】（1）解：猜想：ZBPC=ZA+ZABP+ZACP,

證明：由題意得：ZA+ZABC+ZACB=180°,ZBPC+ZCBP+ZBCP=180°,

?；NCBP=ZABC-ZABP,ZBCP=ZACB-ZACP,：.ZBPC+ZABC-ZABP+ZACB-ZACP=180P,

21

ZBPC+（ZABC+ZACB）-（ZABP+ZACP）=180°,?.ZBPC+180°-ZA-（ZABP+ZACP）=180°,

：.ZBPC=ZA+ZABP+ZACP-,

（2）解：-：ZA=69°,PB、PC分別是/ABC、/ACS的三等分線，

AZABC+ZACB=180°-ZA=nr,ZABP=-ZABC,ZACP=-ZACB,

33

ZBPC=ZA+1（ZABC+ZACB）=69o+37°=106°.故答案為：106°.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，角三等分線的定義，熟知三角形內角和為180度是解題的關鍵.

例3.（2023秋?河南濮陽?八年級校考期末）模型認識：我們學過三角形的內角和等于180。，又知道角平分

線可以把一個角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進行下面的探究活動.

如圖①，在AABC中，BP、CP分別是/A3c和—ACB的角平分線.

解決問題：（1）若NABC=40。，ZACB=80°,貝|/3PC=；（直接寫出答案）

⑵若ZBAC=100°,求出NBPC的度數；

拓展延伸：（3）如圖②，在四邊形A3C。中，BP、CP分別是/ABC和NOCB的角平分線，直接寫出—3PC

與44+ND的數量關系.

【答案】（1）120。（2）140。（3）NBPC=1（ZA+ZD）

【分析】（1）根據角平分線的定義和三角形內角和定理可得N2PC的度數；

（2）根據角平分線的定義和三角形內角和定理可得NBPC的度數；

（3）根據角平分線的定義和四邊形內角和定理可得/BPC與/A+/Q的數量關系.

【詳解】（1）解：尸、CP分別是/ABC和NAC2的角平分線，乙48c=40。，ZACB=8Q°,

：.NPBC=!ZABC=1x40°=20°,ZPCB=^-ZACB=1x80°=40°.

2222

ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°-20°-40°=l20°；故答案為：120°；

⑵?：BP、CP分別是NA8C和/AC8的角平分線，

:./PBC=』NABC,NPCB=gNACB.

22

/.ZJBPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°-1（180°-ZBAC）=90°+ZBAC,

'：ZBAC=100°,ZBPC=90°+^ZBAC=90°+1x100°=140°；

（3）；BP、CP分別是NA8C和NOCB的角平分線，/.AABC,NPCB=gNDCB.

：.ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°-；（360°-ZA-ZD）=；（ZA+Z￡?.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和定理，多邊形的內角和公式，此類題目根據同一個

解答思路求解是解題的關鍵.

例4.（23-24八年級?山東青島?期末）【基礎探究1】（1）如圖1,44BC中，3尸平分/ABC,CP平分/ACB,

探求NBPC與NA之間的數量關系；

【基礎探究2］（2）如圖2,AABC中，叫、是/ABC的三等分線，M、C￡是—ACB的三等分線,

則NBRC與-A之間的數量關系是；

【基礎探究3】（3）如圖3,“BC中，BR、BP］、8乙是/ABC的四等分線，/、CP?、C4是—ACB的

四等分線，則/2乙。與-A之間的數量關系是；

【拓展與探究】（4）如圖4,AABC中，電、BP］......BP-、叱-是/ABC的〃等分線，/、CP2.......

CPn.2、CPn_x是ZACB的n等分線，請用一個等式表示NBRC、ZBP^C、/A三者之間的數量關系是；

【探究與應用】（5）A4BC中，BR、BP”……、8^023是—ABC的2024等分線，涌、CP。、……、CP2023

是-ACB的2024等分線，若8C與鳥儂C的和是/A的7倍，則/期。旌=______

AAAA

圖1圖2圖3圖4

12ZB.=135。；NA(4)

【答案】（1）ZBPC=90°+-ZA（2）^BPC=60°+-^A(3)+

ZBP{C+ZBP^C=180°+（5）105

【分析】本題考查三角形的內角和定理，〃等分線的定義.

,由角平分線得到/PBC=g/A3C,

（1）由三角形的內角和定理可得40C+NACB=18O。-NA

23

NPCB=|zACB,從而ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°-1(ZABC+ZACB)=90°+1ZA:

22

(2)由三等分線可得/[BC=/ABC,ZP^B=-ZACB,從而

22

NBgC=180°-N￡BC-N[C2=180。-§(ZABC+ZACB)=60°+jZA；

(3)同(2)思路即可求解；

1n—1n—11

(4)同(2)(3)思路即可ZB￡C=-180。+——ZA,仍。=——180°+-ZA,兩式相加即可解答；

nnnn

(5)同(4)思路可得ZB8C+NB鳥022c=180。+NA,又NBRC+NB/2c=7ZA,即可求得NA=30。，同

理有，騎―180。+舞|乙4,即可解答.

【詳解】解：(1),/ZA+ZABC+ZACB=180°,，/ABC+NACB=18(F—NA,

;3尸平分/ABC,CP平分/ACB,/.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZBPC=180°-ZPBC-NPCB=180°--ZABC--ZACB

22

=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=90°+1zA.

(2)???26、B乙是/ABC的三等分線，〃、C￡是NACB的三等分線，

22

AZPBC=-ZABC,NRCB=—NACB,

33

222

.?.ZBP.C=180。一/P】BC-ZP^CB=180°--ZABC--ZACB=180°--(ZABC+ZACB)

222

=180°--(180°-ZA)=60°+-ZA.故答案為：ZB^C=60°+^ZA

(3):、BP。、8A是/ABC的四等分線，/、CP。、C4是，ACB的四等分線，

ZHBC=-ZABC,ZP.CB=-ZACB,

44

ZBP.C=180°-ZP.BC-AP3CB=180°-；NABC-；NACB=180°-(ZABC+ZACB)

=180°-1(180°-ZA)=135°+^-ZA.故答案為：/B居C=135。+：/4

(4)：期、BP,.............BP-、地-是/ABC的〃等分線，*、CP2.............CPn_2,CL-是—ACB的

n—11n—11

〃等分線，A=——ZABC,/P_]BC=—ZABC,/RCB=——ZACB,ZP_CB=-ZACB,

nnnnn{n

n—1n—1

.?.NBRC=180。一“BC-/RCB=180°-=ZABC-=ZACB

nn

24

=180°--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA)=--180°+—ZA,

nnnn

ZBPC=1800-ZP_BC-ZP^CB=1SO0--ZABC--ZACB

nXntnn

1117—11

=180。——(ZABC+ZACB)=180°——(180°-ZA)=------180。+—NA,

nnnn

1n—\n~l1

ZB/^C+ZBP^C=-180°+——ZA+------180°+-ZA=180°+ZA.

nnnn

故答案為：ZBPXC