Page1第十三章軸對稱13.4課題學習最短路徑問題(第2課時)學習目標1.理解并駕馭如何依據在一條平行河岸的兩邊的兩個點的位置來確定兩岸邊的位置使路徑最短的問題.2.能利用軸對稱和平移解決實際問題中路徑最短的問題.3.在運用軸對稱和平移學問解決問題的過程中,進一步培育和發展邏輯思維實力和推理論證的表達實力.學習過程一、自主學習1.如圖(1).要在燃氣管道l上修建一個泵站,分別向A,B兩鎮供氣.泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短?圖(1)問題:(1)此問題轉化成數學問題是:.

(2)如何找到泵站的位置P?(3)為什么在P點的位置修建泵站,就能使所用的輸氣管線最短呢?二、深化探究問題1:如圖,A和B兩地在一條河的兩岸,現要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直.)思索:1.這是個實際問題,你準備首先做什么呢?將A,B兩地抽象成兩個點,將河流抽象為兩條平行的直線.這個問題事實上就變成了什么問題呢?就是在河兩岸分別選兩點M,N,使得AM+MN+NB的和最小的問題.同時MN與河岸是垂直的.2.“如何找到M,N這兩個點就是我們要探討的問題了?那如何使這個和最短呢,假如不是中間有條河隔著,干脆連接AB就可以了!由于河兩岸平行,故橋長MN是一個定值,無論橋架在何處,MN是必經路途,要使從A到B的折線最短,只需AM+BN最短即可.為此我們不妨先走一個橋的寬度,沿什么方向呢?3.請在下圖中完成作圖.問題2:你能證明一下假如在不同于MN的位置造橋M1N1,距離是怎樣的,能證明我們的做法AM+MN+NB的和是最短距離嗎?利用下圖試一下.問題3:還有其他的方法選兩點M,N,使得AM+MN+NB的和最小嗎?試一試.三、練習鞏固問題:如何在四邊形ABCD內取一點O,使得點O到四邊形四個頂點的距離和最小.證明:嘗試另取不同于O的一點P,證明一下.四、反思小結1.通過這節課的學習,你獲得了哪些數學學問和方法?學到哪些解決問題的思路.2.你還有什么懷疑?在小組內提出來共同解決,解決不了的小組提出來全班解決.3.這節課你參加了哪些數學活動?談談你獲得學問的方法和閱歷.參考答案一、自主學習答案:(1)直線l同側有2個點A,B,在直線l上求作一個點C,使AC+BC最短.(2)作A關于直線l的對稱點D,連接BD交直線l于C,連接AC,BC,則AC+BC最短.(3)理由是:在直線l上任取一點E,連接AE,BE,DE,∵A,D關于直線l對稱,∴AC=DC,同理AE=DE.∵AC+BC=DC+BC=BD,AE+BE=DE+BE,∵BE+DE>BD,∴AC+BC<AE+BE.∵E是隨意取的一點,∴AC+BC最短.二、深化探究問題1:作AA1垂直于直線b并且使得AA1等于河的寬度,連接A1B與直線b交于點N,過點N作MN垂直于直線b,交直線a于點M.問題2:由于M1N1=MN=AA1;由平移的性質可知:AM=A1N,AM1=A1N1.又依據“兩點之間,線段最短”可知A1N1+N1B>A1B,所以,AM1+N1B>AM+NB.所以,AM1+N1B+M1N1>AM+NB+MN.問題3:從B沿與河岸垂直的方向走一個河岸的距離作BB1垂直于直線a,并且使得BB1等于河的寬度,連接B1A與直線a交于點N,過點N作MN垂直于直線a,交直線b于點M.三、練習鞏固O是線段AC,BD的交點.證明:假設存在不同于點O的交點P,連接PA,PB,PC,PD,那么PA+PC>AC,即PA+PC>