重難點15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1定義法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型3坐標法求最值（范圍）問題】..........................................................5

【題型4與平面向量基本定理有關的最值（范圍）問題】.........................................6

【題型5與數量積有關的最值（范圍）問題】....................................................7

【題型6與模有關的最值（范圍）問題】........................................................8

【題型7平面向量中參數的最值（范圍）問題】..................................................8

【題型8極化恒等式】.........................................................................9

【題型9矩形大法】..........................................................................10

【題型10等和（高）線定理】....................................................................11

?命題規律

1、平面向量中的最值與范圍問題

平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的

交匯組合；其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系

數的范圍等.

?方法技巧總結

【知識點1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相關知識將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結合平面圖

形的特征直接進行判斷；

（2）“數化"，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.

2.平面向量中的最值（范圍）問題的常用解題方法：

（1）定義法

①利用向量的概念及其運算將所求問題進行轉化，得到相應的等式關系；

②運用基木不等式、二次函數求其最值（范圍）問題，即可得出結論.

（2）坐標法

①建立適當的直角坐標系，把幾何圖形放在坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標；

②將平面向量的運算坐標化，進行相應的代數運算和向量運算；

③運用適當的數學思想方法如：二次函數、基本不等式、三角函數等思想方法來求解最值(范圍).

(3)基底法

①適當選取一組基底，利用基底轉化向量；

②寫出向量之間的聯系，根據向量運算律化簡目標，構造關于設定未知量的關系式來進行求解；

③運用適當的數學思想方法如：二次函數、基本不等式、三角函數等思想方法來求解最值(范圍)，

即可得出結論.

【知識點2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

|￡+斤+耳_斤=2(|浦+時).

證明：不妨設在=￡,而=3,貝!］又=%+B,DB=a-b,

匹卜定=R+.第2+2a4+W①，

|喝2=麗?=(1可=@-2屋3+同2②，

①②兩式相加得：

\AC［+\DB［=2(@+W卜2(畫2+1石0.

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：［君=+一--------極化恒等式

平行四邊形模式：=「-|0同［.

2.幾何解釋：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的;，即:.I=(如圖).

⑵三角形模型：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即

/2一應聲（〃為2C的中點X如圖）.

極化恒等式表明，向量的數量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關

系.

【知識點3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面內任一點到其對角線端點距離的平方和相等.

即：已知點。是矩形/BCD與所在平面內任一點，可以得到：O^+OC2=OB2+OD2.

【知識點4等和（高）線定理】

1.等和（高）線定理

⑴由三點共線結論推導等和（高）線定理：如圖，由三點共線結論可知，若蘇=%51+〃加U,〃eR）,

則%+〃=1,由AOAB與LOAE相似，必存在一個常數k,keR,使得OP'^kOP,則

OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k；反之也成立.

（2）平面內一個基底｛51,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//O3（/,Z/eR）,若點P在直線N8上或在平

行于N8的直線上，貝IU+〃=M定值）；反之也成立，我們把直線48以及與直線N8平行的直線稱為等和（高）

線.

①當等和線恰為直線時，k=\-,

②當等和線在。點和直線之間時，蛇（0,1）；

③當直線4B在。點和等和線之間時，任（1,+8）；

④當等和線過。點時，A=0；

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值左1，左2互為相反數；

⑥定值k的變化與等和線到0點的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（24-25高三上?廣東?開學考試）已知單位向量無修的夾角為泰則|瓦-1（互-五）|（teR）的最小值為

()

A.|B.爛C.1D.1

Z24

【變式1-1]（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）如圖，已知點G是△4BC的重心，過點G作直線分別與ZB,AC

兩邊交于M,N兩點，設彳而=%同，AN=yAC,貝!|x+4y的最小值為（）

A.9B.4C.3D.|

【變式1-2]（23-24高一下?陜西西安?階段練習）點。是△ABC所在平面內一點，若出+方+而=0,AM

=久屈，AN=yAC,MO=AON,貝by的最小值為（）

124

A.-B.1C.-D.-

【變式1-3]（23-24高一下?上海?期末）已知向量2,注，滿足同=同=1,a-b=-|,c=xa+yb

（x、y￡R,y>0）,則下列四個命題中，正確命題的個數是（）.

①若x=l,則目的最小值為冬

②若久=1，則存在唯一的力使得方?工=0；

③若晅|=1,貝放+y的最小值為一1；

④若?=1,貝皈?c+c?石的最小值為一看

A.1B.2C.3D.4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】

【例2】（23?24高一下?重慶巴南?階段練習）在矩形ZBCD中，已知瓦F分別是BC,CD上的點，且滿足族=麗

存=2萬.若點P在線段BD上運動，且”=〃!E+m4/”,〃ER）,則1+4的取值范圍為（）

A[一級]B.[|,|]C.[|,1]D,[-1.|]

【變式2-1]（23-24高一下?浙江?期中）如圖，在四邊形48CD中，AB\\CD,AB=2CD,P為線段CD上一個

動點（含端點），AC=mDB+nAPf則m+九的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

【變式2-2]（23-24高一下?河南?階段練習）已知口45。。中，點尸在對角線4。上（不包括端點4C）,

點。在對角線5。上（不包括端點3,。），若羽=九荏+%而，而=超四+〃2前，記2周一〃1的最小

17

值為次，彳+丁的最小值為〃，則（）

19-19

AA.m=n=-B.m=n=-

oZ4Z

19-19

C.m=~-,n=-D.m=--,n=-

【變式2-3]（23-24高三下?云南?階段練習）已知。為△ABC的內心，角/為銳角，sin&=q，若而=〃

O

AB+AAC,貝!J〃+a的最大值為（）

A.-ZB.74C.~5D.6

【題型3坐標法求最值（范圍）問題】

【例3】（2024?河北滄州?一模）如圖，在等腰直角△2BC中，斜邊48=4a,點。在以8c為直徑的圓上

運動，貝獷話+而|的最大值為（）

A.4V6B.8C.6V3D.12

【變式3-1]（2024?四川成都三模）在矩形48CD中，48=5,2。=4,點E滿足2族=3而，在平面48CD

中，動點P滿足無?麗=0,則麗.加的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

【變式3-2]（2024?湖南永州?三模）在△48C中，N"B=120。，|XC|=3,|BC|=4,DC-~DB^0,^\\AB+AD\

的最小值為（）

A.6V^—2B.25/19—4C.3V3-1D.V19-2

【變式3-3]（2024?貴州貴陽?一模）如圖，在邊長為2的正方形4BCD中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點E,F.當點尸在劣弧EF上運動時，麗?市的取值范圍為（）

A.[1_-JB.[1-2^2,-1]

C.[-1,1-V2]D.[1-2vxi-

【題型4與平面向量基本定理有關的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?四川遂寧?模擬預測）在△4BC中，點歹為線段2C上任一點（不含端點），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,貝嶺+：的最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【變式4-1]（23-24高一下?廣西南寧?階段練習）在△ABC中，點。滿足麗=2沆，過點。的直線分別交

射線ZB,AC于不同的兩點跖N.設前='荏，麗=/，則在+九的最小值是（）

323

A.3B.1C.—D.—

loIO

【變式4-2]（23-24高一下?安徽六安?期末）在△A8C中，已知布?前=9,sinB=cosZsinC,SAABC=6,P

為線段4B上的一點，且而="嗇+嚕j，貝嶺+和勺最小值為（）

【變式4-3]（2024?全國?模擬預測）如圖所示，在△ABC中，M為線段8c的中點，G為線段4M上一點，

AG=2GM,過點G的直線分別交直線AB,4C于P,Q兩點.設屈=%而（久>。），左=y湎（y>0）,則京+崇

的最小值為（）

A

C36

D.

【題型5與數量積有關的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?陜西渭南?二模）已知菱形4BCD的邊長為LcosNB4D=初1為菱形的中心，E是線段AB上的

動點，則麗?麗的最小值為（）

【變式5-1]（2024?重慶?模擬預測）如圖，圓。內接邊長為1的正方形4BCD,P是弧BC（包括端點）上一

A.[1符B.[1,呼C.[1,用D.片,1]

【變式5-2]（2024?陜西安康?模擬預測）如圖，在平面四邊形4BCD中，△4BD為等邊三角形,

CB=CD=2BD=2,當點E在對角線AC上運動時，無?麗的最小值為（）

【變式5-3]（2024?全國?模擬預測）如圖，已知正六邊形2BCDEF的邊長為2,對稱中心為。，以。為圓心

作半徑為1的圓，點M為圓。上任意一點，則而?屈的取值范圍為（）

E

C.[—8,0]D.[-6^/3^,0]

【題型6與模有關的最值（范圍）問題】

【例6】（2024?安徽六安?模擬預測）已知平面向量入b,不滿足同=1,㈤=8，a-b=-l，（a-c^-c）

=30°,則?的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3V3

【變式6-1］（2024?湖南長沙?三模）在平行四邊形4BCD中，AC=2BD=4,點P為該平行四邊形所在平面

內的任意一點，貝1||訶|2+|麗仔+|而『+|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式6-2］（23-24高一下?天津?期末）如圖，在△4BC中，己知2B=2,AC=3,NA=120。，E,F分別

是力B,AC邊上的點，且族=久而，AF=yAC,且2久+y=l,若線段EF,BC的中點分別為M,N,則|而

|的最小值為（）

A.孝B.啜C.fD.需

【變式6-3］（23-24高一下?廣東廣州?期末）已知平面向量出b,e,且同=1,同=2.已知向量后與］所成

的角為60°,且后一同卻%|對任意實數唯成立，則同+磯+跟一同的最小值為（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5

【題型7平面向量中參數的最值（范圍）問題】

【例7】（23-24高一下?甘肅隴南?期末）已知平面向量為而滿足同=同=4,|4=21=-8,若E=4五+〃

貝眨4+〃的取值范圍是（）

A.[-竽，陷B.上亨,亨]C.卜亨，亨]D.[-2V6,2V6]

【變式7-1]（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期末）在△48C中，AB=6/C=8,48"=9/是N84C的平分

線上一點，且4/=8，若△ABC內（不包含邊界）的一點D滿足而=%四+"，則實數x的取值范圍是

（）

A-。，月B.（得給C.（-1）1）D.（一/

【變式7-2]（23-24高一下?四川成都?期末）在直角梯形4BCD中，AB1AD,DC//AB,AD=DC1,AB=2.E.F

分別為4B/C的中點，點P在以力為圓心，4D為半徑的圓弧0E上運動（如圖所示）.若麗=4而+〃而，

其中無“ER,則22—〃的取值范圍是（）

C.[—1,2]D.[—2,2]

【變式7-3]（23-24高一下?安徽蕪湖?階段練習）如圖扇形20B所在圓的圓心角大小為g,P是扇形內部（包

括邊界）任意一點，^OP=xOA+yOB,那么2（x+y）的最大值是（）

OA

A.2B.V3C.4D.2V3

【題型8極化恒等式】

【例8】（2024?重慶?模擬預測）已知△Q4B的面積為1/8=2,動點P,Q在線段AB上滑動，且|PQ|=1,則

OP■麗的最小值為.

【變式8-1]（2024?山東?模擬預測）邊長為1的正方形內有一內切圓，MN是內切圓的一條弦，點P為正方

形四條邊上的動點，當弦MN的長度最大時，兩?西的取值范圍是.

【變式8-2]（2024?湖北省直轄縣級單位?模擬預測）如圖直角梯形/BCD中，斯是CD邊上長為6的可

移動的線段，2。=4,AB=8V3,8c=12,則而?前的取值范圍為.

【變式8-3］（23-24高一下?廣東潮州?階段練習）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①@+石）2=原+2a

——2-2772T272tt_?->2_?-*2

-b+b；②（五一B）=a2-2a-b+b.由①■②得（2+B）—（a—fe）=?Bo五?/=（°+“）一（。一>）,我們把最

4

后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數量積化為“模”的運算.如

圖所示的四邊形2BCD中，BD=8AB-AD=48,E為BD中點.

（1）若COSAB2D=百，求△4BD的面積；

⑵若2族=詼，求而?麗的值；

（3）若P為平面4BCD內一點，求麗?（麗+而）的最小值.

【題型9矩形大法】

【例9】（2024?浙江紹興?一模）已知向量五，b,E滿足同二歷尸五七=2,（a-c）-（h-2c）0,則后一耳的

最小值為

V7-V3「V3

A.宇DB-CTD.日

【變式9-1］（23-24高三下?四川成都?階段練習）已知單位向量乙君滿足|22一引=2,若存在向量不，使得

（工―2①?0—3）=。，則間的取值范圍是（）

A?悸，苧+1]B.印—1月c.悸—1,苧+1]D.[V6-1.V6+1]

【變式9-2]（23-24高三上?四川資陽?階段練習）已知。為單位向量，向量反滿足：（a-e）-（a-5e）=0,則|五+。|

的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式9-3]（23-24高三上?貴州貴陽?階段練習）已知平面向量五，b,c,滿足|可=|瓦=港B=2,且

（a—2c）-（h-c）=0,貝！J|五一百的最小值為（）

【題型10等和（高）線定理】

【例10】（23-24高一下?重慶?階段練習）在平行四邊形4BCD中，E為CD的中點，BF=^BC,AF與BE交于

點G,過點G的直線分別與射線BA,BC交于點M,N,BM^ABA,BN^fiBC,貝壯+2〃的最小值為（）

A.1B.1C.|D.|

【變式10-1]（23-24高三上?河南?階段練習）對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對

稱都能給人以美感，在菱形48C。中，乙48。=120°,以菱形4BCD的四條邊為直徑向外作四個半圓，P是這

四個半圓弧上的一動點，^DP=WA+nDC,則2+〃的最大值為（）

3S

A.5B.3C.-D.-

【變式10-2]（23-24高一下?四川綿陽?期中）在扇形。力B中，AAOB=60°,C為弧4B上的一動點，若覺=x

OA+yOB,貝歸久+y的取值范圍是.

【變式10-3]（23-24高二上?上海浦東新?階段練習）正六邊形/8CDE/中，P是△CDE內（包括邊界）的

動點，設而=m同+n而，（m,nG/?）,則m+n的取值范圍是.

?過關測試

一、單選題

1.（2024?江蘇泰州?模擬預測）在平行四邊形4BCD中4=45。/3=1/。=魚，^AP=AB+xAD{x6/?）,

則|赤|的最小值為（）

A.|B.掾C.1D.V2

2.（2024?寧夏銀川?模擬預測）在△ABC中，~BD=2DC,過點。的直線分別交直線45、4C于點E、F,且

AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則m+2?i的最小值為（）

O

A.2B.V2C.3D.-

3.（2024?廣東東莞?模擬預測）己知在同一平面內的三個點4B,C滿足|4B|=2,2-窖>1,貝日尼+麗|

|C4|\CB\

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

4.（2024?天津河北?二模）△4BC是等腰直角三角形，其中AB12&|同|=1,P是△A8C所在平面內的一

點，^CP=XCA+MCB（4N0,〃NO且4+2〃=2）,則8?在而上的投影向量的長度的取值范圍是（）

A.（0,用B.惇,1]C.[1,V2]D.[V2,2]

5.（2024?安徽蕪湖?三模）已知。C:久2+y2-10%+9=0與直線/交于4B兩點，且。C被/截得兩段圓弧的

長度之比為1:3,若。為OC上一點，則瓦[?麗的最大值為（）

A.18V2+12B.16V2+16C.12&+20D.10V2+24

6.（2024?河北滄州?三模）對稱美是數學美的重要組成部分，他普遍存在于初等數學和高等數學的各個分

支中，在數學史上，數學美是數學發展的動力.如圖，在等邊△A8C中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個半圓，M是三個半圓弧上的一動點，若前=4萬+〃n，貝〃的最大值為（）

A.|B.苧C.1D.|

7.（2024?湖北?模擬預測）向量區加滿足（五,刃）=也\b\=|V3,且VteR,不等式區+時2歷-團恒成立.函

數/（*）=I.一田+|口一同（比6R）的最小值為（）

A.1B.1C.V3D.V5

8.（2024?四川成都?三模）已知正方形ABCD的邊長為1,M,N分別是邊AB,AD上的點（均不與端

點重合），記△4MN,△CMN的面積分別為Si，S2.若Si=|加?同川而?詬|,則S2的取值范圍

是（）

A.|）B.[V2-1,C,[i,|）D.[V2-1,I）

二、多選題

9.（2024?浙江寧波?二模）若平面向量五，立滿足向=1,回=1,同=3且3?工=B則（）

A.B+3+耳的最小值為2

B.B+B+W的最大值為5

C.忖一刃+才|的最小值為2

D.忸―辦+工|的最大值為履

10.（2024?山西晉中?模擬預測）在△ABC中，。為邊4C上一點且滿足而=河，若P為邊上一點，且

滿足而=4屈+〃尼，九〃為正實數，則下列結論正確的是（）

1

A.川的最小值為1B.加的最大值為五

C?抖擊的最大值為12D.抖5的最小值為4

A3MA

11.（2024,山東濰坊?二模）已知向量2,b,工為平面向量，同=L同=2,a-b=0,\c-a\=貝!]

（）

A.1<|C|<|B.五>白―勵的最大值為當空

Z4

C.—1<b-c<1D.若才=2花+曲，則4+〃的最小值為1—當

三、填空題

12.（2024?四川宜賓?模擬預測）己知點。,48在同一平面內且力為定點，