第2節(jié)動圓相切(一)

前言：“動圓相切問題”是動點(diǎn)與圓的結(jié)合，按運(yùn)動的分式可分別“圓心為動點(diǎn)”、“直徑為動線段”兩大類，從不

同的運(yùn)動方式考慮恰當(dāng)?shù)姆椒ǖ玫较嗲?

知識導(dǎo)航

圓心為動點(diǎn)

切線判定：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.

即計算圓心到直線的距離d,當(dāng)滿足d=r時，即圓與直線相切.計算線段長度可考慮多用三角函數(shù)與相似三角形.

引例1：如圖，直線1的解析式為y=-苧居點(diǎn)P坐標(biāo)為(40),以點(diǎn)P為圓心，1為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)P以每秒

2個單位的速度向右移動時，時間t為何值時圓P與直線1相切？

解析：過點(diǎn)P作PHL直線1,垂足為H點(diǎn)，當(dāng)PH=r=l時，即可得圓P與直線1相切.

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(20)或(2,0)時，PH=1,

-2-(-4)2-(-4)

L=---=1^2=2=3,

綜上所述，t的值為1或3.

弓I例2:在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)O在對角線AC上，圓O的半徑為2,如果。O與矩形ABCD

的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段AO長的取值范圍是_________

解析：圓o的半徑為2,可得AO取值范圍是?<2。<當(dāng)

直徑為動線段

切線判定定理：過半徑外端且垂直于該半徑的直線是圓的切線.

根據(jù)相切得到的垂直關(guān)系確定直徑或動點(diǎn)的位置，用三角函數(shù)表示線段長，由線段之間數(shù)量關(guān)系列方程得解.

引例3:在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,連接BD,點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)

B出發(fā)以每秒2個單位向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到終點(diǎn)時另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.以PQ中點(diǎn)O為圓心，PQ為直

徑作圓，運(yùn)動時間t為何值時，圓。與BD相切？

解析：當(dāng)PQLBD時，圓。與BD相切,

由題意得：DP=t,DQ=5-2t,若PA±BD,即京=:代入得：三=:，解得：t=?故當(dāng)t的值為時，圓0

DQ4b—ZC41414

與BD相切.

真題演練

1.如圖，直線a，b,垂足為H,點(diǎn)P在直線b上，PH=4cm,0為直線b上一動點(diǎn)，若以1cm為半徑的。。與直

線a相切，則OP的長為.

2以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y=-x+b與。O相交，則b的取值范圍是()

A.O<b<2y/2B.-2V2</?<2V2

C,-2V3<&<2V3D.-2V2</><2V2

3.如圖，直線1:y=-"+1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(m,0)是x軸上一動點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心，2個

單位長度為半徑作OM,當(dāng)。M與直線1相切時,則m的值為.

4如圖，直線y=-江-3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，以1個單位

長度為半徑作。P,當(dāng)。P與直線AB相切時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

5.如圖.AAOB中，ZO=90°,AO=8cm,BO=6cm,點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā)，在邊AO上以2cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)

動，與此同時，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，在邊BO上以1.5cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動，過OC的中點(diǎn)E作CD的垂線EF,

則當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動了s時，以C點(diǎn)為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切.

6.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=12,點(diǎn)D在邊BC上，CD=5,BD=13.點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)，當(dāng)

半徑為6的。P與4ABC的一邊相切時，AP的長為

7.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(a,0)(a<0),點(diǎn)C是以0A為直徑的。B上一動點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)為P.當(dāng)點(diǎn)

C在。B上運(yùn)動時，所有這樣的點(diǎn)P組成的圖形與直線y=-《久-1有且只有一個公共點(diǎn)，則a的值等于

8.如圖,正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點(diǎn)P是BC邊上的動點(diǎn)，連結(jié)PM,以點(diǎn)P為圓心,PM長為

半徑作OP.當(dāng)。P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為.

9.已知如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=V3x-2遮與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)P是直線A

B上一動點(diǎn)，OP的半徑為1.

(1)判斷原點(diǎn)。與。P的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵當(dāng)。P過點(diǎn)B時，求。P被y軸所截得的劣弧的長；

(3)當(dāng)。P與x軸相切時，求出切點(diǎn)的坐標(biāo).

10.如圖在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿對角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，速度為4c

m/s,過點(diǎn)P作PQLBD交BC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點(diǎn)N落在射線PD上，點(diǎn)。從點(diǎn)D出

發(fā)，沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為3cm/s,以O(shè)為圓心.0.8cm為半徑作0O，點(diǎn)P與點(diǎn)O同時出發(fā)，設(shè)它們的

運(yùn)動時間為t(單位s)(0<t<》

(1)如圖1,連接DQ平分/BDC時，t的值為;

(2)如圖2,連接CM,若小CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；

(3)請你繼續(xù)進(jìn)行探究，并解答下列問題：

①證明：在運(yùn)動過程中，點(diǎn)O始終在QM所在直線的左側(cè)；

②如圖3,在運(yùn)動過程中，當(dāng)QM與。O相切時，求t的值；并判斷此時PM與OO是否也相切？說明理由.

11.如圖，在RtAABC中,/ACB=9(T,AC=2cm,AB=4cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，在BC邊上以每秒Wcm的速度

向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q也從點(diǎn)C出發(fā)，沿C-A-B以每秒4cm的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒(0<t

<|),連接PQ,以PQ為直徑作。O.

⑴當(dāng)t=泄，求4PCQ的面積；

⑵設(shè)。O的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑶當(dāng)Q在AB上運(yùn)動時，。0與RtAABC的一邊相切，求t的值.

第2節(jié)動圓相切(一)

1.3cm或5cm.

2D.

解析:確定兩個相切的時刻，當(dāng)b=±2?時，直線與圓相切，故若直線與圓相交，則b的取值范圍是-2&<b

<2夜，故選D.

3.2-2*或2+2V5.

解析：點(diǎn)M到直線1的距離為2,即可得圓M與直線1相切.過點(diǎn)M作MHXAB交AB于H點(diǎn)，當(dāng)圓M與

直線1相切時，MH=r=2,tanNABO=/.BH=4,BM=2V5

M點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時，點(diǎn)M坐標(biāo)為(2-2V5,0),

M點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時，點(diǎn)M坐標(biāo)為(2+2V5,0),

綜上，m的值為2-2而或2+2V5.

4.(一”，0)或(-1,0).

解析：若圓P與AB相切，則點(diǎn)P到直線AB的距離為1,

可得AP=|,又點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4,0),

故點(diǎn)P坐標(biāo)為(-￡，0)或(-1,0).

y

5解析：易證CD〃AB,當(dāng)圓C與直線EF相切時,

CF=r=1.5cm,CE=-CF=-x-=—,

4428

1515171717

CO=2CE=—,AC=8--=—^t=—^2=—

444f48f

6.y3V13.

解析：當(dāng)圓p與BC邊相切時，過點(diǎn)P作PH_LBC交BC則PH=6,^UEADHP^ADCA,DPDA=PH=C=卷

解得：DP=^DA=^,.-.AP=^.

當(dāng)圓P與AB邊相切時，過點(diǎn)P作PMLAB交AB于M點(diǎn)，則PM=6,過點(diǎn)D作DNLAB交AB于點(diǎn)N,易證

ABND^ABCA,可得：—="，解得：DN=2的？,易證△AMP^AAND,—="，解得：AP=3g.綜上,AP

ACABAQDN

的長為葭或：3g,

ry3V10

10

解析：確定點(diǎn)P軌跡，考慮AP=2AC始終成立，可得點(diǎn)P軌跡是以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓，若圓與直

線y=-夫-1相切，則半徑等于點(diǎn)O到直線y=-緊-1的距離，用面積法可求d=甯，故r=嘴，則a=

3V10

10

y

解析：圓不可能與AB、BC邊相切.

當(dāng)圓P與CD相切時，即PM=PC

如圖所示，設(shè)BP=x,貝!j.PM=V42+x2,PC=8-居則+*=8-%,解得x=3.

當(dāng)圓P與AD相切時，即PM=r=8,解得.PB=4百.綜上,BP的長為3或4禽

解析：⑴過點(diǎn)0作OHLAB于點(diǎn)H,可得(OH=V3,.\0H>r,故點(diǎn)。在圓外.

⑵記圓P與y軸另外一交點(diǎn)為C,連接PC,則NBPC=120。,則弧BC=1-271-1=拳故圓P被y軸截得的弧長

(3)圓P與x軸相切，即點(diǎn)P到x軸距離為1即可，|yp|=1,

當(dāng)yp=-1時，y/3x-2V3=-1,解得：x2

當(dāng)yP=l時，V3x-2V3=1,解得：久=2+今

故切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-爭0）或（2+爭0）.

10.解析:⑴由題意得：PB=4t,PQ=3t,BQ=5t,CQ=8-5t,.若DQ平分/BDC,則CQ=PQ,即8-5t=3t,解得：t=l,

故t的值為1；

⑵過點(diǎn)M作MHXBC交BC邊于點(diǎn)H,

若小CMQ是以CQ為底的等腰三角形，則H為CQ中點(diǎn)，則=|CQ=等,MQ=PQ=3t,

8一5t

易證器=3代入得：*=那得：”篇故t的值為

⑶①由于點(diǎn)o與直線MQ均為運(yùn)動的，可取對角線BD為參照物.過點(diǎn)O作OELBD交BD于點(diǎn)E,則

OD=3t,OE^-OD又MN=PQ=m?4t=3t,；.OE<MN,.?.點(diǎn)O始終在QM所在直線的左

55544

側(cè).

②過點(diǎn)。作FGLBD交BD于點(diǎn)F,則FGXMQ,垂足記為G,

若圓。與四邊形相切，

貝！JOG=FG-FO=3t-^=^=0.8,解得：t=

即當(dāng)t=gs時，圓與QM相切,

此時若圓。與MP也相切，則MO平分/PMQ,即tan/OMG=tan22.5。,

nr13e9412T—innA416

DF=-DrlO=-x-=—,又P8=4x-1

553533

AFlcP=.10——29x-4=—34,GQ=—34

5315y15

43426一

...MG=3x；-套="又OG=r=0.8cm,

???tanNOMG=^tan22.5。,

此時PM與圓。不相切.

2

H.解析：⑴當(dāng)t=1時，CP=^-cm.CQ=2cm,SPCQ=|xyX2=ycm.

(2)當(dāng)0<t<2時，PQ2=PC2+CQ2=(V3t)2+(4t)2=19t2,

PQ兀,

_c219

.?.PQ—y/19t,r=