PAGE1-主題3排列、組合、二項式定理1．排列與組合解決排列與組合問題應留意3點(1)“分類”與“分步”要明確，保證分類要不重不漏，分步要環環相扣，如T1，T4.(2)分組安排中提防“均分”問題，避開重復計數，如T2.(3)關注限制條件，采納特別元素(位置)優先安置的策略，如：相鄰問題捆綁法；間隔問題插空法；定位問題優先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采納隔板法等等．如T3，T4，T5.1．(2024·沈陽市東北育才學校第五次模擬)某地區高考改革，實行“3＋2＋1”模式，即“3”指語文、數學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中隨意選擇兩門學科，則一名學生的不同選科組合有()A．8種 B．12種C．16種 D．20種C[若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種組合；若一名學生物理和歷史都選，則有Ceq\o\al(1,4)＝4種組合．因此共有12＋4＝16種組合．故選C.]2．(2024·長春市高三質量監測一)要將甲、乙、丙、丁4名同學分到A，B，C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到A班的分法種數為()A．6 B．12C．24 D．36B[甲和另一個人一起分到A班有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種分法；甲一個人分到A班的方法有：Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種分法，共有12種分法，故選B.]3．5位同學站成一排照相，其中甲與乙必需相鄰，且甲不能站在兩端的排法總數是()A．40 B．36C．32 D．24B[由題意得，甲與乙必需相鄰的狀況種數為：Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48種，甲分別站在兩端且與乙相鄰的種數為：Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種，所以滿意題意的排法總數是Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝48－12＝36種．故選B.]4．從1,3,5,7,9中任取2個數字，從0,2,4,6中任取2個數字，一共可以組成________個沒有重復數字的四位數．(用數字作答)1260[若取的4個數字不包括0，則可以組成的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4個數字包括0，則可以組成的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).綜上，一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260.]5．如圖所示，用4種不同的顏色對圖中5個區域涂色(4種顏色全部運用)，要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數為________．96[按區域1與3是否同色分類，分兩類．(正確分類是解決本題的關鍵)第一類，區域1與3同色：先涂區域1與3，有4種方法，再涂區域2,4,5(還有3種顏色)，有Aeq\o\al(3,3)種方法．此時涂色方法共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種)．其次類，區域1與3不同色：第一步，涂區域1與3，有Aeq\o\al(2,4)種方法；其次步，涂區域2，有2種涂色方法；第三步，涂區域4，只有1種涂色方法；第四步，涂區域5，有3種涂色方法．此時涂色方法共有Aeq\o\al(2,4)×2×1×3＝72(種)．故由分類加法計數原理知，不同的涂色種數為24＋72＝96(種)．(先涂區域1和3是化解本題難點和避開易錯點的關鍵)]2．二項式定理解決二項式定理問題應留意3點(1)二項綻開式(a＋b)n的通項公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr為第r＋1項，利用它可求綻開式中的特定項，如T1.(2)二項式系數與二項綻開式中項的系數不同，前者指的是Ceq\o\al(r,n)，而后者指的是除字母外的系數，二項綻開式中項的系數問題常與特別化思想聯系在一起，留意賦值法求值的應用，如T2，T4.(3)需熟知二項式定理的原理及推導過程，對于一些非二項式綻開式中項的系數問題，可轉化為二項式定理問題，如T3，T4.1．eq\f(1－x10,x2)的綻開式中的常數項為()A．－45 B．1C．45 D．90C[eq\f(1－x10,x2)的綻開式的通項為Tr＋1＝eq\f(C\o\al(r,10)－xr,x2)＝(－1)rCeq\o\al(r,10)xr－2，令r－2＝0，可得r＝2，所以eq\f(1－x10,x2)的綻開式中的常數項為(－1)2Ceq\o\al(2,10)＝45.故選C.]2．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋…＋a9＋a10的值為()A．－20 B．0C．1 D．20D[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝Ceq\o\al(9,10)×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.]3．(2024·全國卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的綻開式中x3的系數為()A．12 B．16C．20 D．24A[綻開式中含x3的項可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數為Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝4＋8＝12.]4．設二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(n)(n∈N*)綻開式的二項式系數和與各項系數和分別為an，bn，則eq\f(a1＋a2＋…＋an,b1＋b2＋…＋bn)＝()A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1)C．2n＋1 D．1C[二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(n)(n∈N*)綻開式的二項式系數和為2n，各項系數和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(n)＝eq\f(1,2n)，則an＝2n，bn＝eq\f(1,2n)，eq\f(a1＋a2＋…＋an,b1＋b2＋…＋bn)＝eq\f(22n－1,1－\f(1,2n))＝2n＋1，故選C.]5．(2024·晉冀魯豫名校聯考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x＋2))eq\s\up12(6)的綻開式中的常數項為________．－76[三項式(a＋b＋c)n綻開式的通項公式為Ceq\o\al(x,n)Ceq\o\al(y,n－x)axbycn－x－y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x＋2))eq\s\up12(6)的綻開式中的常數項為：26＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(1)·(－x)1·24＋Ceq\o\al(2,6