專題08銳角三角形及其應用

目錄

題型特訓-精準提分

題型01銳角三角函數與三角形綜合

題型02銳角三角函數與四邊形綜合

題型03銳角三角函數與圓綜合

題型04銳角三角函數與圓及四邊形綜合

題型05銳角三角函數與圓及三角形綜合

題型06銳角三角函數與函數綜合

題型0712345模型

題型08銳角三角形應用-仰角俯角問題

題型09銳角三角形應用一方位角問題

題型10銳角三角形應用-坡度坡角問題

題型11銳角三角形應用-與不易測量相關問題

題型12銳角三角形應用-與可調節的滑動懸桿問題

■中考逆襲-高效集訓

（時間：60分鐘）

題型特訓-精準提分

題型01銳角三角函數與三角形綜合

1.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，在銳角三角形4BC中，tanA=b,BC=遮，線段BD、CE分別是力C、4B

邊上的高線，連接DE,則三角形4DE面積的最大值是.

2.（2023?河南南陽?三模）小明參加了學校組織的數學興趣小組，在一次數學活動課上，他們對兩塊大小不

等的等腰直角三角板擺放不同的位置，做了如下探究:

圖2圖3

（1）將兩塊三角板的直角頂點重合，如圖1,在△力CB和ADCE中，入4cB=乙DCE=90。,AC=BC,DC=CE,

當點力在線段4B上時（點。不與點4,8重合），

①由題意可得△4CD三ABCE,其依據是：；

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

②直接寫出4。與BE的數量關系.

（2）將兩塊三角板的銳角頂點重合，如圖2,在AACB和△￡?（：￡1中,NC4B=lCDE=90°,AC=AB,CD=DE,

點A與線段DE不在同一直線上，（1）中4。與BE的數量關系是否仍然成立？若不成立，請求出新的數量關

系；

（3）將小三角板的銳角頂點與大三角板的直角頂點重合，如圖3,在AACB和AEDC中,〃CB=NEDC=90°,

"=BC=4,CD=ED.將△EDC繞點C在平面內旋轉，當點。落在邊48上時，滿足sin/BCE=個，請

直接寫出4D的長.

3.(2023?重慶沙坪壩?二模)等邊△ABC中，點。為直線28上一動點，連接DC.

(1)如圖1,在平面內將線段DC繞點C順時針方向旋轉60。得到線段CE,連接BE.若。點在4B邊上，且DC=V5,

tanzXCD=求BE的長度；

(2)如圖2,若點。在28延長線上，點G為線段DC上一點，點尸在CB延長線上，連接FG、AG.在點。的運動

過程中，若NG力F+N4BF=180。，且FB-BD=AC,猜想線段CG與線段OG之間的數量關系，并證明你的

猜想；

(3)如圖3,將ABDC沿直線BC翻折至AABC所在平面內得到△BDC,M點在邊上，且將MA

繞點力逆時針方向旋轉120。得到線段AN,點H是直線ZC上一動點，將△MNH沿直線翻折至△MN”所在

平面內得到AMATH,在點D,H運動過程中，當最小時，若48=4,請直接寫出DN0的面積.

題型02銳角三角函數與四邊形綜合

4.(2023?山東青島?一模)【閱讀與思考】

我們知道，四邊形具有不穩定性，容易變形.如圖1,一個矩形發生變形后成為一個平行四邊形，設這個平

行四邊形相鄰兩個內角中較小的一個內角為a,我們把上的值叫做這個平行四邊形的變形度.

【探究與應用】

(1)若矩形發生變形后的平行四邊形有一個內角是120°,則這個平行四邊形的變形度是

(2)若矩形的面積為Si，其變形后的平行四邊形面積為，試猜想Si，S2,熹之間的數量關系，并說明理由；

(3)如圖2,在矩形A2CZ)中，E是邊上的一點，5.AB2^AE-AD,這個矩形發生變形后為團

位為E的對應點，連接8送1，B]D「若矩形A8C。的面積為同i(a>0)的國力/16。1面積為標(m>0),

求Z4L1+乙410/1的大小.

5.(2023?吉林長春?模擬預測)【實踐操作】如圖①，在矩形紙片48CD中，AB=5cm,AD=3cm,E為邊AB

上一點，把A/IDE沿著DE折疊得到△4DE,作射線E4交射線OC于點尸,過點尸作F”1于點

(2)當AE=2cm時，CF=cm；

(3)【問題解決】如圖②，在正方形紙片A8CD中，取邊力B中點E,4。=3cm,將44DE沿著DE折疊得到4A'DE,

作射線交邊于點G,點F為CD邊中點，P是邊BC上一動點，將△CFP沿著FP折疊得到△LFP,當點L

落在線段4。上時，tan/CFP=.

6.(2023?吉林長春?模擬預測)【操作一】如圖①，在正方形48C。中，點M是48的中點，MN11BC交CD于點、

N.點E是4B邊上的一點，連結CE,將正方形紙片沿CE所在直線折疊，點B的對應點B,落在MN上.求乙CB'N

的大小.

ADADAD

￡

BCBCBc

圖①圖②圖③

以下是小明同學的部分解答過程,請你補充完整.

解：???四邊形4BCD是正方形，

AD||BC,Z5=4BCD=ND=90°,AB=BC=CD.

???MNWBC,

MB=NC,乙MNC=ZD=90°

???M是4B的中點,

1I

???MB=-AB=NC=-BC

22

由折疊，得CB=CB'

1

CN=-

2

在RtaB'CN中,

si^CB'N=^=|

乙CB'N=度.

【操作二】在圖①的基礎上繼續折疊，如圖②，點F是CE邊上的一點，連結4尸，將正方形紙片沿4F所在直

線折疊，點。的對應點。'落在MN上.求證：ABCEGDAF.

【應用】在圖②的基礎上，如圖③，G、”分別是CE、4F的中點，順次連接G、D'、H,若=2,直

接寫出點H、G之間的距離.

7.(2023?浙江寧波?一模)【基礎鞏固】

(1)如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上與點B不重合的任意一點，EF=AE,^AEF=90°,點

G是射線BC上一點，求證：ZFCG=45°.

證明思路：在上截取BK=BE,因為AB=BC,所以力K=CE,請完成接下去的證明;

【嘗試應用】

如圖在矩形中，點是邊上與不重合的任意一點，^AEF點

(2)2,4BCDEBCBtanzFCG=A—E=2,=90°,

G是射線BC上一點，求黑的值;

DC

【拓展提局］

(3)如圖3,在矩形2BCD中，點E是邊4。上一點，連結BE,作NEFG=NEBF,使點F,G分另U落在邊BC,

CD.上.若2BE=5BF,且tan/CFG=求sin/EFC的值.

圖1圖2圖3

題型03銳角三角函數與圓綜合

8.(2023?廣西梧州?二模)如圖，在A4BC中，。為4C上一點，以點。為圓心，。。為半徑作圓，與BC相切于

點C,過點4作4。18。交B。的延長線于點。，且=/-BAD.

(1)求證：力B為O。的切線；

(2)若4B=10,sinNABC=p求4D的長.

9.(2023?廣東深圳?模擬預測)已知RtAABC中，ZC=90°,AB=10,且tan41=三，M為線段4B的中點,

4

作DM148,點尸在線段CB上，點Q在線段4C上，以PQ為直徑的圓始終過點M,且PQ交線段DM于點E.

(1)求線段DM的長度；

⑵求tcm/PQM的值；

(3)當AMPE是等腰三角形時，求出線段4Q的長.

10.(2023?浙江杭州?三模)如圖1,三角形力BC內接于圓。，點。在圓。上，連接4D和CD,CD交AB于點

E,^ADE+乙CAB=90°

c

B

圖1圖2

(1)求證：ZB是直徑;

(2)如圖2,點/在線段BE上，AC=AF,乙DCF=45°

①求證：DE=DA；

②若ZB=kAD,用含％的表達式表水cosB.

題型04銳角三角函數與圓及四邊形綜合

11.(2023?湖南永州?二模)如圖1,在正方形4BCD中，AC為對角線，點F,H分別在邊4。，力B上，CF=CH,

連結尸”交4C于點E.

(1)求證：4C平分NFC”；

(2)如圖2,過點A,H,尸的圓交CF于點P,連結交AC于點K,求證：吟=器;

(3)在(2)的條件下，當點K是線段"的中點時，求COSNHCF的值.

12.(2023?浙江杭州?模擬預測)如圖，在矩形4BCD中,AB=6,4。=9,點E是邊力。上一點，且AE=3,

點尸在邊4B上，過點B、F,E作圓。，交邊8c或其延長線于G,連接BE,GE,GF,設BF=武0(光＜6).

備用圖1

⑴求tan/FGE的值；

(2)若BG=EG,求x的值;

(3)若x=2,求弧EF的長;

(4)若圓。經過矩形的兩個頂點時，直接寫出x的值.(注：sinl90=cos750=ptan27°=；)

342

13.(2023?江蘇揚州?三模)已知在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,點。是邊4B上的一點(不與點4重合),

以點。為圓心，。4長為半徑作圓，交射線于點G.

圖1圖2

(1)如圖1,當。。與直線BD相切時，求半徑的長；

(2)當。。經過點C時，求NOCB的正弦值.

(3)當。。與△BCD的三邊有且只有兩個交點時，求半徑。4的取值范圍;

題型05銳角三角函數與圓及三角形綜合

14.(2023?江西萍鄉?二模)如圖，48是。。的直徑，點C是圓上的一點，CD14。于點。,4。交O。于點尸,

連接4C,若力C平分NZMB,過點F作FG14B于點G交4c于點H.

(1)求證：CD是。。的切線;

(2)延長4B和DC交于點E,若4E=4BE,求cosN/MB的值;

⑶在(2)的條件下，求胃的值.

AF

15.(2023?廣東惠州?一模)如圖，P力是圓。的切線，切點為A,4C是圓。的直徑，連接0P交圓。于E.過

A點作AB1P。于點。，交圓。于B,連接BC,PB.

(1)求證：PO||BC；

(2)求證：PB是圓。的切線;

(3)若cosNPAB=呼，BC=1,求P。的長.

16.(2023?上海寶山?二模)如圖，已知半圓。的直徑力B=4,C是圓外一點，入4BC的平分線交半圓。于

點D,且N8CD=90°,聯結。C交BD于點E.

C

⑴當乙4BC=45。時，求0C的長;

(2)當乙4BC=60。時,求空的值;

(3)當A80E為直角三角形時，求sinzOCB的值.

題型06銳角三角函數與函數綜合

17.(2023?江蘇連云港?二模)在平面直角坐標系中，拋物線乙1：、=(1/+%+&&>。)與％軸交于

4(—2,0)、8(1,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線打對應的函數表達式；

(2)如圖1,點。為直線4C下方拋物線上的一動點，DMJ.AC于點M,DNIIy軸交2C于點N.求線段DM的最大

值和此時點。的坐標；

(3)如圖2,將拋物線L：y=ax2+x+c(a>0)沿著x軸向左平移后得到拋物線G，若點P是拋物線打與功在

x軸下方的交點且tan/ACP=求拋物線打對應的函數表達式.

18.(2023?山東泰安?二模)如圖,在平面直角坐標系中，一次函數y=ax+b(a*0)與反比例函數y=三也手Q

且x>0)交于4、B兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點，連接04、OB.若。A=2可；sinN/lOC=鬻，

點B的坐標為(ni,-8)

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；

(2)連接。B,若點P是y軸上一點，且ABOP是以。B為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標.

19.(2023?山東濟南?二模)如圖，點B坐標為(-1,0),點A在x軸的正半軸上，四邊形8DR4是平行四邊形，

DF1X軸于點凡BD=3V5,tanzDBX=2,反比例函數y=>0)在第一象限內的圖象經過點。，與AE

（1）求反比例函數解析式及C點坐標；

（2）若線段BD上一點P,使得=求點P的坐標；

（3）過點C作CG||y軸，交DE于點G,點M為直線CG上的一個動點，H為反比例函數上的動點，是否存在這

樣的點H、使得以C、H、M為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，求出所有滿足條件的M點坐標;

若不存在，請說明理由.

20.（2023?江蘇宿遷?二模）閱讀下列材料：

在九年級下冊“5.2二次函數的圖像和性質”課時學習中，我們發現，函數：y=aQ-k）2+h中a的符號決定

圖像的開口方向，|a|決定圖像的開口大小，為了進一步研究函數的圖像和性質，我們作如下規定：如圖1,

拋物線上任意一點（4）（異于頂點。）到對稱軸的垂線段的長度（力B的長度）叫做這個點的“勾距”，記作小；

垂足（B）到拋物線的頂點（。）的距離（20）叫這個點的“股高”，記作爪點（X）到頂點（0）的距離（2。

的長度）叫這個點的“弦長”，記作2；過這個點（4）和頂點（。）的直線（20）與對稱軸（B。）相交所成

的銳角叫做這個點的“偏角”，記作a.

圖2

由圖1可得，對于函數y=a/（a力0）：

（1）當勾距為定值時

2

@h=\am\>I=(1+a27n2)；股高和弦長均隨⑷增大而增大;

②tana=|^|；偏角隨|a|增大而減小;

(如：函數y=百久2中，當m=1時，h=\am2\—V3,I=m^l+a2m2)=2；tana=|^|=-y,a=30°)

(2)當偏角a為定值時

1

m|端J,勾距、股高和弦長均隨㈤增大而減小;

a(tana)2

1cSQ：

(如：函數y=/中，當a=45。時，zn=|二一|=1、h=II=1>I=If°A2j=V2)

IatanaIla(tana)zIla(sina)zI

利用以上結論，完成下列任務:

如圖2：已知以4為頂點的拋物線為=)萬一2產與y軸相交于點B,若拋物線%=匕)2的頂點也是4,

并與直線AB相交于點C,與y軸相交于點D.

(1)函數y=2/中，①當m=1時，h=,②當a=60。時，I=；

2

(2)如圖2：以4(2,0)為頂點作拋物線：=|(%-2)^y2=-力尸/與y軸相交于點鳥多與直線人8相交

于點C,與y軸相交于點D：

①當a>決寸，設S=AC-。。，隨a的取值不同，S的值是否發生改變，如果不變，請求出S的值，如果發生

改變，請直接寫出S的取值范圍；

②若點M在拋物線yi上，直線4M與先的另一個交點為N,記小BAM的面積為Si，ACAN的面積為S2,若4sl=

9s2,請求出a的值

題型0712345模型

21.(2023?廣東深圳?二模)如圖，A,B,C,。是邊長為1的小正方形組成的6義5網格中的格點，連接BD交

AC于點E,連接EF.給出4個結論：@BF=EF；②乙ABE=ZCFF；?tan^AED=2；?CA-CE=10.其

C.①③④D.②③④

22.(2023?河南鄭州?三模)如圖，把矩形紙片028C放入平面直角坐標系中，使OC分別落在x軸、y軸

上，連接OB將紙片沿。B折疊，使A落在A的位置，OB=*,tanABOC=|,則點4的坐標為（）

A-（一晨）B.（一級）C.（-1,2）D.（-y）V5）

23.（2022.江蘇無錫?一模）如圖所示的網格是正方形網格，則tan/PAB+tan/PBA=,/.PAB+

/-PBA=。（點A,B,尸是網格線交點）.

24.（2023九年級下?江蘇?專題練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線4B的解析式為y=-刀+小分別

交x軸，y軸于4B兩點，已知點C（2,0）.

（1）當直線4B經過點C時，m=；

（2）設點P為線段0B的中點，連接P4,PC,若NCP4=〃B。，則6的值是.

題型08銳角三角形應用一仰角俯角問題

25.（2024?江蘇南京?模擬預測）今年除夕夜小李和亮亮相約去看煙花，并測量煙花的燃放高度，如圖，小

李從8點出發，沿坡度i=5:12的山坡走了260米到達坡頂A點，亮亮則沿B點正東方向到達離A點水

平距離80米的C點觀看，此時煙花在與8、C同一水平線上的點。處點燃，一朵朵燦爛的煙花在點。的正

上方E點綻放，小李在坡頂A處看煙花綻放處E的仰角為45。，亮亮在C處測得￡點的仰角為60。，（點4、

8、C、。、E在同一平面內）.煙花燃放結束后，小李和亮亮來到煙花燃放地幫忙清理現場的垃圾，他們清

理時發現剛才燃放的煙花盒子上的說明書寫著煙花的燃放高度為430±5米，請你幫他們計算一下說明書寫

的煙花燃放高度（圖中DE）是否屬實？（參考數據：V2-1.414,V3~1.732）

26.（2024?江蘇南京?一模）如圖，山頂有一塔4B,在塔的正下方沿直線CD有一條穿山隧道EF,從與E點

相距80m的C處測得A,B的仰角分別為27。，22。.從與尸點相距50m的。處測得A的仰角為45。.若隧道

EF的長為323m,求塔4B的高.（參考數據：tan22°?0.40,tan27°?0.51.）

27.（2024?陜西商洛?一模）數學興趣小組在“測量教學樓高度”的活動中，設計并實施了以下方案:

課題測量教學樓2B的高度

A

測量方案示意圖

G

"1r

DB

測得數據CD=4.7m,LACG=22°,^BCG=13°

說明圖上所有點均在同一平面內

sin22°x0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40,

參考數據

sinl3°?0.22,cosl3°?0.97,tanl3°?0.23

請你依據此方案，求教學樓AB的高度.（結果保留整數）

28.（2024.陜西西安.三模）某校“綜合與實踐”活動小組的同學要測量兩座樓之間的距離，他們借助無人機設

計了如下測量方案：無人機在兩樓之間上方的點。處，點。距地面4C的高度為60m,此時觀測到樓48底部點

4處的俯角為70。，樓CD上點E處的俯角為30。，沿水平方向由點。飛行24m到達點F,測得點E處俯角為60。，

其中點4B,C,D,E,F,。均在同一豎直平面內.請根據以上數據求樓4B與CD之間的距離AC的長.（結

果精確到1m,參考數據：sin70°?0.94,cos70°~0.34,tan70°~2.75,V3?1.73)

題型09銳角三角形應用一方位角問題

29.（2023?貴州貴陽?模擬預測）如圖，為了測量河對岸A,8兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定

觀測點C,測得A,B均在C的北偏東37。方向上，沿正東方向行走100米至觀測點O,測得A在。的正北

方向，B在。的北偏西53。方向上.求A,B兩點間的距離（精確度到1米）.參考數據：sin37°?0.60,cos37°?

0.80,tan37°?0.75.sin53°?0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33

30.（2023?重慶?模擬預測）如圖，四邊形是某公園內的休閑步道.經測量，點B在點A的正東方向,

4B=100米，點C在點8的正北方向，點。在點A的西北方向，力。=200&米，點。在點C的南偏西60。

方向上.（參考數據：V2?1,414,73?1.732）

北

（1）求步道8c的長度；（精確到個位）

（2）甲以90米/分的速度沿2tBtCt。的方向步行，同時乙騎自行車以300米/分的速度沿4tB-CtD

的方向行駛.兩人能否在3分鐘內相遇？請說明理由.

31.（2023?重慶?模擬預測）如圖，一艘巡邏船以每小時50海里的速度從正北向正南方向進行巡邏，在點A

處測得碼頭C在其南偏東60。方向上，繼續向正南方向航行2小時到達點2處，測得碼頭C在其北偏東30。方

東

（1）求此時巡邏船所在點8處與碼頭C的距離；（結果保留根號）

（2）巡邏船在點B處發現其南偏東75。方向上的點D處有一只正在非法捕魚的漁船，于是立即調整方向以原速

朝著點。處行駛，同時，巡邏船與停靠在碼頭C的海監船取得聯系，漁船在碼頭C的南偏東15。方向上，海

監船得到命令后整理裝備用時10分鐘，然后以每小時80海里的速度朝漁船行駛.求海監船從碼頭C到達

漁船所在的點D處的時間；并據此判斷海監船能否比巡邏船提前到達。處.（結果精確到百分位,參考數據:

V2?1.41,73?1.73,&-2.45)

32.（2024?重慶?一模）如圖，車站A在車站8的正西方向，它們之間的距離為100千米，修理廠C在車站

B的正東方向.現有一輛客車從車站2出發，沿北偏東45。方向行駛到達。處，已知。在A的北偏東60。方

向，。在C的北偏西30。方向.

北

D

⑴求車站8到目的地。的距離（結果保留根號）

（2）客車在。處準備返回時發生了故障，司機在。處撥打了救援電話并在原地等待，一輛救援車從修理廠C

出發以35千米每小時的速度沿CD方向前往救援，同時一輛應急車從車站A以60千米每小時的速度沿2D方

向前往接送滯留乘客，請通過計算說明救援車能否在應急車到達之前趕到。處.（參考數據：V2?1.41,73?

1.73,76?2.45）

題型10銳角三角形應用-坡度坡角問題

33.（2024?河南周口?一模）2024年春節前夕，哈爾濱旅游市場的火熱帶動了全國“冰雪旅游”的繁榮，某地

準備依山建設一個滑雪場帶動本地旅游的發展.如圖，小山48的山腰CN上有一個平臺CD長為45m,從點C

看山頂A的仰角為63。，山坡DE的坡度為i=l:2.4,該地準備利用斜坡OE建設一個滑雪場，且OE的長度為

390m,若點。到地面BE的垂線段與BN構成的四邊形恰好為正方形時，且圖中各點均在一個平面內，求小

山4B的高度.（精確到整數,參考數據：sin63°?0.89,cos63°?0.45,tan63°?1.96）

A

BME

34.（2024.廣東江門.一模）甲、乙兩人去登山，甲從小山西邊山腳2處出發，已知西面山坡的坡度J=1:遮

（坡度：坡面的垂直高度與水平長度的比，SPtanB=1：V3）.同時，乙從東邊山腳C處出發，東面山坡的

坡度％=3:4,坡面AC=1000米.

（1）求甲、乙兩人出發時的水平距離8C.

（2）已知甲每分鐘比乙多走10米.兩人同時出發，并同時達到山頂A.求：甲、乙兩人的登山速度.

35.（2024?四川達州?模擬預測）如圖為某單位地下停車庫入口處的平面示意圖，在司機開車經過坡面即將

進入車庫時，在車庫入口CD的上方BC處會看到一個醒目的限高標志，現已知圖中8c高度為0.5m,AB寬度

⑴根據圖1求出入口處頂點C到坡面的鉛直高度CD；

（2）圖2中，線段CE為頂點C到坡面4D的垂直距離，現已知某貨車高度為3.9米，請判斷該車能否進入該車

庫停車？

36.（2023?山東青島?模擬預測）我國南水北調中線工程的起點是丹江水庫，按照工程計劃，需對原水庫大

壩進行混凝土加高，使壩高由原來的162米增加到173米，以抬高蓄水位.如圖是某一段壩體加高工程的

截面示意圖，其中原壩體的高為BE,背水坡坡角NB4E=68°,新壩體的高為DE,背水坡坡角ADCE=60°.求

工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的寬度4c.（結果精確到1米.參考數據：sin68°?0.93,cos68°?

0.37,tan68°?2.50,V3?1.73）.

題型11銳角三角形應用-與不易測量相關問題

37.（2024.安徽合肥?一模）如圖，為了測量湖泊東西方向的距離測繪員在湖泊正東方向的。處（8,A,

。在同一直線上）利用無人機升空測量，當無人機恰好在點。的正上方C處時,測得湖泊東岸A的俯角/ECA

為65。，測得湖泊西岸8的俯角/ECB為22。，此時無人機距離地面的高度CO為200m,求湖泊東西方向的

星巨離AB.（sin65°?0.91,cos65°?0.42,tan65°?2.14,sin22°?0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40,

結果保留1位小數）

38.（2024?浙江溫州?一模）【問題背景】

一旗桿直立（與水平線垂直）在不平坦的地面上（如圖1）.兩個學習小組為了測量旗桿的高度，準備利用

附近的小山坡進行測量估算.

如圖2,在坡角點C處測得旗桿頂點A的仰角N4CE的正切值為2,山坡上點。處測得頂點A的仰角乙4DG的

正切值為：，斜坡CD的坡比為"兩觀測點CD的距離為15m.

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學習小組成員對問題進行如下分解，請探索并完成任務.

（1）計算C,。兩點的垂直高度差.

（2）求頂點A到水平地面的垂直高度.

【問題解決】

為了計算得到旗桿AB的高度，兩個小組在共同解決任務1和2后，采取了不同的方案：

小組一：在坡角點C處測得旗桿底部點B的仰角NBCE的正切值為|；

小組二：在山坡上點。處測得旗桿底部點B的俯角NGDB的正切值為巳.

（3）請選擇其中一個小組的方案計算旗桿4B的高度.

39.（2023?海南海口?二模）小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道48進行實地測量.如

圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15。方向上，他沿西北方向前進100百米后到達

點。，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60。方向上，點A、B、C、。在同一平面內.

⑴填空：/-BAC=°,^ADC='

（2）求點D到點A的距離；

（3）求隧道48的長.（結果保留根號）

題型12銳角三角形應用-與可調節的滑動懸桿問題

40.（2024?遼寧盤錦?一模）圖1是一臺實物投影儀，圖2是它的示意圖，折線B-X-。表示固定支架，4。垂

直水平桌面。E于點。，點B為旋轉點，BC可轉動，當BC繞點B順時針旋轉時，投影探頭CD始終垂直于水平

桌面。E,經測量：AO=6.4cm,CD=8cm,AB=40cm,BC=45cm.

(參考數據：sin70°~0.94,cos70°~0.34,sin40°~0.64,cos40°?0.77)

圖1圖2圖3

⑴如圖2,AABC=70°,BCWOE.

①填空：Z-BAO=°；

②投影探頭的端點。到桌面OE的距離為cm.

（2）如圖3,將（1）中的BC向下旋轉，當乙4BC=30。時，求投影探頭的端點。到桌面。E的距離.

41.（2023?四川成都?模擬預測）桌面上的某創意可折疊臺燈的實物圖如圖①所示，將其抽象成圖②，經測

量N8CD=70。，4CDE=155。,燈桿CD的長為30cm,燈管。E的長為20cm,底座28的厚度為3cm.不考

慮其它的因素，求臺燈的高（點E到桌面的距離）.（結果精確到1cm；參考數據：V2?1.41,sin70°~

0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75）

￡

圖①圖②

42.（23-24九年級下.江蘇蘇州?階段練習）有一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，圖1是臺燈的平面

示意圖，其中點B,E,D均為可轉動點，現測得4B=BE=ED=CD=18cm,經多次調試發現當點B,E都

在CD的垂直平分線上時（如圖2所示）放置最平穩.

圖1圖2

（1）求放置最平穩時燈座CD與燈桿DE的夾角的大小；

（2）當A點到水平桌面（CD所在直線）的距離為42cm-43cm時，臺燈光線最佳，能更好的保護視力.若臺

燈放置最平穩時，將乙4BE調節到105。，試通過計算說明此時光線是否為最佳.（參考數據：sinl5°=0.26,

cosl5°=0.97,tanl5°=0.27,g=1.73）

中考逆襲-高效集訓

（時間：60分鐘）

一、單選題

1.（2024.遼寧盤錦.模擬預測）點P（sin3（T,tan45。）關于x軸的對稱點為Q,點。關于原點的對稱點為

則M的坐標為（）

A.CTB.（-1（1）

C.D.以上答案都不對

2.（2023?浙江溫州?模擬預測）如圖，飛行員在空中觀察地面的區域是一個圓，當觀察角度為50。，飛機的

飛行高度為1000米時，觀察區域的半徑是（）米.

'50。

1000

A.1000tan25°C.1000tan50°D.1000sin25°

tan25°

3.（2024.山西大同.一模）中考新考法：真實問題情境?實物，如圖是橢圓機在使用過程中某時刻的側面示意

圖，已知手柄4。1滾輪連桿48,且4。=20cm,48=160cm,連桿48與底坐的夾角為60。，則該橢圓機

的機身高度（點。到地面的距離）為（）

A.80V2cmB.80V3cmC.（80V2+20）cmD.（80V3+10）cm

4.（2023?安徽?模擬預測）如圖，AB為半圓。的直徑，點。為圓心，點C是弧上的一點，沿CB為折痕折疊

品交于點連接CM,若點/為的黃金分割點貝！JsinNBCM的值為（）

5.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，在菱形4BCD中，AD=5,tanB=2,E是4B上一點,將菱形4BCD沿

DE折疊，使B、C的對應點分別是9、C,當NBEB'=90。時，則點C，到BC的距離是（）

BC

A.5+V5B.2V5+2C.6D.3V5

6.（2023?浙江杭州?二模）如圖，已知ANBC內接于O。，^BAC=0（0<0<60°）,BC=6,點尸為AABC的

重心，當點A至UBC的距離最大時，線段P。的長為（）

tan