重難點15函數綜合難題(復合函數、零點、高斯函數等)十二大題型匯總

題型解讀

1!^/滿分技巧/

技巧一.函數零點的方向有：直接法、零點存在性定理法、圖象法.

1.直接法即由人乃=。求得函數的零點.

2.零點存在性定理法即利用f(a)"(b)<0來判斷零點所在區間.

3.圖象法即利用圖象來判斷函數的零點.

技巧二.關于復合函數的零點的判斷問題，

1.先將零點問題轉化為方程的解的問題；

2.解答時要采用換元的方法，利用數形結合法，先判斷外層函數對應方程的解的個數問題，繼而求解內層函

數對應方程的解.

技巧三.復合方程解的個數問題的解題策略為：

L要能觀察出復合的形式，分清內外層；

2.要能根據復合的特點進行分析，將方程問題轉化為函數的交點問題；

3.通過數形結合的方式解決問題.

技巧四.求解復合函數零點問題的技巧：

1.數形結合法.分別作出的圖象；

2.若已知零點個數求參數的范圍，則先分析關于的方程的解的個數，再根據個數與的圖象特點，分配每個函

數值被幾個對應，從而確定每個函數值的取值范圍，即方程的根的情況，進而求解參數的范圍.

技巧五.利用二次函數的零點分布求參數，一般要分析以下幾個要素：

1.二次項系數的符號；

2.判別式；

3.對稱軸的位置；

4.區間端點函數值的符號.

5.結合圖象得出關于參數的不等式組求解.

技巧六.復合函數y=f(g(x))單調性滿足同增異減，

1.即若外層函婁好(t)與內層函數g(x)均單調遞增，則y=〃g(x))單調遞增,

2.若外層函數f⑷與內層函數g(x)均單調遞減，貝3=f(g(x))單調遞增，

3.若外層函婁好⑴單調遞增，內層函數久式)單調遞減，貝3=/(g(x))單調遞減，

4.若外層函數f⑴單調遞減，內層函數g(x)單調遞增，貝如=f(g(x))單調遞減，

注意內層函數和外層函數的定義域的對應.

卻叫題型提分練

題型1抽象復合型零點個數問題

?類型1中檔難度

「一%2+2%%>0

【例題1-112023上?重慶九龍坡?高一重慶市育才中學校考階段練習)已知函數/(%)=+W二0，

則函數y=f(f(x)-1)的零點個數是()

A.3B.4C.5D.6

>

【變式1-1J1.（2022上?陜西寶雞?高一校考期末塔函數f（久）=[2'n則函數g（“）=/（/?）

1%十4%+，工0U,

的零點的個數為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式（2023上?全國?高一專題練習）已知定義在（0,+8）上的f（x）是單調函數目對任意xe（0,+?））

恒有f（7（%）+log到）=3，則函數/（久）的零點為（）

A-；C.2D.4

【變式1-1】3.（多選）（2023上?河北石家莊?高一石家莊二中校考階段練習）已知函數/Q）=

*°，下列關于函數y=/[/（x）]+1的零點個數的說法中，正確的是（）

A.當k>1,有1個零點B.當k〉1時，有3個零點

C.當k<0時，有9個零點D.當/c=一4時，有7個零點

【變式1-1]4.（多選）（2023上?全國?高一專題練習）已知函數y=/（久）和y=9（>）在[-2,2]上的圖象如

圖所示，則下列結論正確的是（）

A.方程f（g（x））=。有且只有6個不同的解B.方程g（f（為）=。有且只有3個不同的解

C.方程/（/（切）=。有且只有5個不同的解D.方程g（gO））=。有且只有4個不同的解

「3%Tx<1

【變式1-1]5.（2023上遼寧鞍山?高一鞍山一中校考期中）已知函數/（%）=之’I，則函數尸⑴=

、X-1

/[/（%）]+2的零點個數是（）

A.4B.3C.2D.1

?類型2高檔難度

【例題1-2](多選X2023上?山東煙臺?高一校考期末)已知函婁好⑴=>J，若g(x)=/(/(%))+

1,則()

A.當a>0時，g(%)有4個零點B.當a>0時，g(%)有5個零點

C.當aV0時，g(%)有1個零點D.當aV0時，g(x)有2個零點

【變式1-2】1.(多選)(2023上?四川綿陽?高一綿陽中學校考期末)已知函婁好⑺='廳：函

IeI乙,xu

數g(x)=/(/?)-m,則下列結論正確的是()

A.若x=0,貝Uf(f(x))=0B.若/'(/(久))=0,貝！]x=0

C.若m=4,則g(x)有3個零點D.若3<m<4,則g(x)有5個零點

【變式1-2】2.(多選)(2023上?河北石家莊?高一石家莊二中校考階段練習)已知函數f(x)=

F?°,下列關于函數y=/[/?]+1的零點個數的說法中，正確的是()

A.當k>1,有1個零點B.當k>1時，有3個零點

C.當k<0時，有9個零點D.當/c=-4時，有7個零點

【變式1-2】3.(多選)(2023上?江蘇鎮江?高一江蘇省鎮江第一中學校考階段練習)已知函數/(%)=

I}'"W：，則方程/(/(%))-m=0(meR)實數根的個數可以為()

I11nxIfxu

A.4B.6C.7D.9

【變式1-2】4.(多選)(2023上?廣東茂名?高一校聯考階段練習)已知函數/(無)=乂2—ax,則下列判斷

正確的是()

A.若f(x+2)為偶函數，則a=4

B.若xG[0,m],f(x)的值域為[0,詞,則0<m<1

C.若關于比的方程|/(x)|=x+1有4個不同的實數根，則a<-1或a>3

3

D.VaeR,關于x的方程f(〃久))=ax-a?/不可能有3個不同的實數根

【變式1-2]5(多選I2023上?遼寧?高一沈陽市第五十六中學校聯考期中圮知函數f(x)=,

x.?A-II,?yvU

則下列說法正確的是()

A.函數/(比)在(-2,0)u(3,+8)上單調遞增

B.若方程/(久)=a有3個不等的實根修，久2,叼，則a的取值范圍是(0,3)

C.若方程/(x)=a有3個不等的實根%1，%2，%3，則+x2+X3的取值范圍是(4,6)

D.方程/(/(久))=〃久)有4個不等的實根

【變式1-2】6.(多選)(2023上?吉林長春?高一吉林省實驗校考期中)已知函數八支)=

｛倒;二匕六。，則下列說法正確的是()

A.當m<—2,n<—2時，f(m+n)-f(m)+f(n)+8

B.對于v%ie(o,+oo),vx2G(-8,o),，％)-y(%2)|<3

C.函數y=/(/(%))+a(aeR)可能有6個不同的零點

D.若滿足不等式久)-a)N。成立的整數x恰有兩個，則整數a的取值有9個

【變式1-2]7.(2023上?重慶?高一四川外國語大學附屬外國語學校校考階段練習)已知定義在R上的函數

f(x)=/log"2+2%log2券+log2陪>0恒成立，

(1)求a的取值范圍

(2)判斷關于訪程f(f⑺)=9x在xe[1,+8)上是否有實根？并證明你的結論.

題型2二次復合型零點個數問題

【例題2】(多選)(2023上?湖北荊州?高一洪湖市第一中學校聯考階段練習)已知函數/⑴=|(0X-1|,

則下列關于x的方程[/(x)]2-2kf(x)+k=。的命題正確的有()

A.存在實數k，使得方程恰有1個實根

B.不存在實數k，使得方程恰有2個不等的實根

c.存在實數k，使得方程恰有3個不等的實根

D.不存在實數k，使得方程恰有4個不等的實根

【變式2-1]1.（2023上?山東青島?高一校考階段練習）已知函數〃久）是定義在（-8,0）u（0,+8）上的偶

無一1|,0<x〈2

工/'（%_2）x>2，則函數9（%）=8（70））2-6f（x）+1的零點個數為.

1]g（—[+]%<0

【變式2-1]2.（2023?全國?高一專題練習）已知函數/。）=小，「八，則函數y=f2M-

⑷+g。

3/0）+2的零點個數是（）

A.6B.5C.4D.3

【變式2-1]3.（2023下?云南紅河?高一開遠市第一中學校校考階段練習）已知"X）=ft了0,則

函數y=3產（嗎—2/0）的零點個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2-1]4.（2023上?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第二十三中學校考階段練習）設定義域為R的函數

1%—11%>0

的=曾:.。，則關于X的函數y=3產⑺-2/⑺的零點個數為

'log{x+1）—1V%〈1

【變式2-1】5.（2。23下遼寧高一校聯考階段練習）已知函數必）=[但；>>，（。>。且

aK1）的最小值為一1.

Q）求a的值；

（2）設函數。（久）=6[/（x）]2+m/（x）-m2（m>0）,求。（久）零點個數.

【變式2-1]6.（2020上?陜西延安?高一校考期末）已知於）=?暨丫:，則函數y=2/2（x）-3/（x）+1

I2'X],x<0

的零點個數是（）

A.5B.4C.3D.2

題型3抽象復合型最值取值范圍問題

【例題3-1](2023上?安徽?高一校聯考階段練習)已知函數f(久)=%+1,g(x)=0+I)2,h(x)=x2-

(t+l)%,te/?，設MO)=乃弋亍號弋，則關于x的方程h(M(x))+t=0的實根個數最小值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

l

【變式3]1.(2023上?江蘇淮安?高一校考階段練習)已知函數“久)=5Gxt'彳工〉2，若函數F。)=

2(10))2-mf(x),且函數尸(x)有6個零點,則非零實數m的取值范圍是

【變式3-1]2.(2023上?江西?高一江西省撫州市第一中學校考階段練習)已知函數〃久)=+2|(aeR),

Ix—a|

若函數g。)=/(/(%))-2有3個零點，則滿足條件的a的個數為()

A.0B.1C.2D.3

【變式3-1]3.(2023上?福建廈門?高一福建省廈門第二中學校考階段練習)已知函數八支)=

『1二u,若丫=/(/(%)+1)_巾有兩個不同的零點，則實數機的取值范圍是

【變式3-1]4.(2023上?上海?高一上海市建平中學校考階段練習)已知定義在R上的函數/■(>)=e2x—

2aex+a?+統，其中a>0,如果函數/'(x)與f[f(x)]函數的值域相同，貝！|a的取值范圍是

【變式3-1]5.(2023上?江蘇連云港?高一江蘇省灌云高級中學校聯考期中)已知函數/0)=log2x+

l,g(x)=2久一2.

⑴求方程1/0)1=歷0)|的解的個數(不要求詳細過程，有簡要理由即可)；

⑵求函數/0)=[f(%)]2-好(/)+2在區間[2,4]上的最大值；

(3)若函數%0)=,且函數y=：%(|g(x)|)-1的圖象與函數y=46-施-1的圖象有3個不同的

交點，求實數b的取值范圍.

題型4二次復合型最值取值范圍問題

?類型1中檔難度

【例題4-1[(2023上?遼寧沈陽?高一遼寧實驗中學校考階段練習)已知函婁好(x)=，若

關于X的不等式[f(x)]2-m/(x)-n2<。恰有兩個整數解,則實數小的最小值是()

A.-21B.-14C.-7D.-6

【變式4-1]1.(2023江蘇?高一專題練習)若函數/(久)=L史)+：：>0，若關于x的方程產⑺+

bf⑺+36+1=0有4個不同的實數根，則實數b的取值范圍是()

A?(-5,一|)B.

C.(-5,-11D.[-5)-|]

【變式4-1】2.(2022上?陜西渭南?高三校考期末)已知函婁好(乃=|log2|x-1||，且關于x的方程[/(x)]2+

afM+2b=0有6個不同的實數根，若最小的實數根為-3,貝必+b的值為()

A.-2B.4C.6D.8

【變式4-1】3(多選)(2023上?遼寧沈陽?高一遼寧實驗中學校考階段練習圮知函數八久)的定義域為(0.4),

其圖象關于直線刀=2對稱，當2Wx<4時，/(x)=|log2(4-x)|,且方程/。)=a有四個不等實根

久1，久2,久3,久4aL<X2<X3<X4),則下列結論正確的是()

A.Yt=lxi=8

B./(%)的單調減區間為(0,1]和[2,3]

C.若方程,(乃]2—恰+D/Q)+b=0有5個不同的實根，貝心>1

D.x3x4+好+嶺的取值范圍是(11,爺

【變式4-1]4.(2023上?江西南昌?高一南昌二中校考階段練習)如果函數y=的定義域為R,且存在

實常數a，使得對定義域內的任意x,都有f(x+a)=f(-久)恒成立，那么稱此函數具有"P(a)性質”.

(1)已知y=/(x)具有"P(0)性質"，且當x<。時，/(%)=O+m)2,求y=/(x)在[0,1]的最大值；

(2)已知定義在R上的函數y=h(x)具有"P(2)性質”，當x>1時，h(x)=|x-4|.若函數FQr)=/i2(x)-t-

h(x)+t有8個零點，求實數珀勺取值范圍.

ri2%+2_11Y<o

【變式4-1]5.(2023上福建三明?高一三明一中校考階段練習)已知函數f|og引；/'若關

于x的方程[/(x)]2+m/(x)+2-。恰有6個不同的實數根，則實數?n的取值范圍是()

A.(-8,_￡)B.[―3,—2V2)

C?ST)U(-藍,-2V2)D.(-8一芝)u[-3,-2V2)

【變式4-116.(2023上?甘肅白銀?高一校考期末)已知人久)為偶函數，g(久)為奇函數，且滿足f(x)-g(x)=

2x4T.

Q)求f(x),gO)；

(2)若方程(%)=(g(x))2+2m+9有解，求實數m的取值范圍.

?類型2高檔難度

r|3x-21x<2

【例題4-2】(2023上?四川涼山高一校聯考期末)設函數〃久)=工;，若方程尸⑺-吹久)-

IX-1,

a+3=0有6個不同的實數解，則實數a的取值范圍為()

A-B.(W3)D.(3,4)

【變式4-2]1.(2022上?重慶北倍?高一西南大學附中校考期末)已知函數/(%)=[“a_1)x>1,

若函數y=/2(x)+2af(x)+2-。在。+8)有6個不同零點，則實數a的取值范圍是()

A.(-00,-3)U(一唱，一2)B.(-8,一芋)U(1,+8)C.(-3,-2)U(1,芋)D.(-8,-2)U(1,+8)

flnx+1,0<x<1

【變式4-2]2.(2023上?廣西河池?高一校聯考階段練習)已知函數/(%)=2Y、1，若方程

I1

2產(%)_(1+2a)/(x)+a=0恰有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是()

A.(—oo/O)B.(—co,0]U{1}C.[1,+oo)D.(0,1)

【變式4-2]3.(2023上?浙江寧波?高一鎮海中學校考期中)已知/(%)=-M+2|%|+1,若方程[/(WK+

mfM+n=0(m,nGR)恰好有三個互不相等的實根，則實數機的取值范圍為()

A.m<—3B.m<-2

C.m<-3或>—2D.m=-2或m<—3

【變式4-2]4.(多選)(2023上?山西太原?高一山西大附中校考階段練習)已知函數f(x)=

—%2—4%—3%〈0

，若方程恰有個不相等的實數根，則實數的值可能是()

|Og1X,x>0~[/OOF+mf⑸+1=066

2

A57C

BD11

--一

333

(3X+1x<0

【變式上重慶高一重慶十八中校考階段練習)設函數,若關于

4-2]5.(2023??f(x)=Lxj)x-Qx

的函數次久)=f2(x)-(a+1)/(%)+1恰好有五個零點.則實數a的取值范圍是

【變式4-2]6.(2023上福建福州?高一福州四中校考期中)已知/(%)為偶函數、gQ)為奇函數，且滿足

f(x)-g(x)=21T.

⑴求/Q),g(x)；

(2)若方程(x)=[5(%)]2+2m+9有解，求實數m的取值范圍.

題型5已知定義域值域問題

【例題5](2023上?陜西西安?高一統考期中)定義max{a,6}={:建〉設函婁妤Q)=%+1,g(x)=

(%+I)2；記函數/0)=max{/O),g(X)},且函數/(久)在區間|m,n|的值域為[0,1],則區間|m,n|長度的最

大值()

A.1B.-C.-D.2

24

【變式5-1]1.(2023上?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考階段練習)若函數y=%2-2%-3的定

義域為[-1,可，值域為[-4,0]則實數珀勺取值范圍為()

A.l<t<3B.l<t<3

C.—1VtV3D.-1<t<3

【變式5-1]2.(多選)(2022上云南曲靖?高一校考期末)已知函數/(%)=/—2%在定義域[-1,訂上的

值域為[-1,3],則實數t可以取值有()

A.1B.2C.3D.4

【變式5-1J3.(2023上廣東東莞?高一校聯考階段練習)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x<0

時，f（久）=x2+2x.

⑴求出函數f(x)在R上的解析式，并補出函數叫)在y軸右側的圖象；

(2)①根據圖象寫出函數f(x)的單調遞減區間；

②若xe[0,爪]時函數〃久)的值域是[0,1],求m的取值范圍.

【變式5-1]4.(2023上?山東?高一山東聊城一中校聯考階段練習)已知函數=ln|^的圖象經過點

(1,ln2),函數g(x)=Inm-xln3.

⑴求n的值；

(2)求f(%)的定義域；

(3)若三判,刀2e(。,+8),/(x)在區間上的值域為[g(x2),gOi)],求爪的取值范圍.

【變式5-1]5.(2023上?福建莆田?高一莆田一中校考期中)已知/(X)=品

(1)判斷并用定義法證明/(久)在(0,+8)上的單調性；

(2)若/'(X)在|m,n]上的值域為L，,,求n-ni的取值范圍.

【變式5-1]6.(2023上?福建?高一校聯考期中)定義min{a,b}=1'：：：若函數f(x)=min[%2-3%+

3,-|x-3|+3),則f(x)的最大值為；若f(x)在區間加,汨上的值域為小2],貝(Jn-巾的最大值

為

題型6定義域與值域相同問題

【例題6](2023上?山東淄博?高一校考期中)已知函數f0)=-x2+mx-m.

Q)若函數八久)的值域是(-8,0],求實數爪的值；

(2)若函數/(x)在[-1,0]上單調遞減，求實數nt的取值范圍;

(3)是否存在實數小，使得/(久)在［2,3］上的值域恰好是［2,3］?若存在，求出實數小的值；若不存在，說明理

由.

【變式6-1］1.(2023上?四川成都?高一校聯考期末)已知函數f(久)=Ini-3e，+4)的定義域為R.

(1)求實數a的取值范圍；

(2)若三以幾eR，使得f(x)在區間［叫出上單調遞增，且值域為［皿汨，求實數a的取值范圍.

【變式6-1］2.(2019上?廣東陽江?高一校考階段練習)已知函數f(久)=|1-J(無>0).

(1)當0<a<b且/'(a)=f(b)時,求證：ab>1；

(2)是否存在實數a,6(a<b),使得函數y=/(x)的定義域、值域都是［a,切，若存則求出a,b的值;若不存在,

請說明理由.

【變式6-1］3.(2023上?山東荷澤高一統考期中)已知函婁好(久)=片辛是定義域在(-2,2)上的奇函

數.

⑴求a,b;

(2)判斷〃久)在(0,2)上的單調性，并予以證明.

⑶函數g(x)=/+2尤+1(%20),若g(x)在|m,n］上的值域是|m,汨，求m,n的值.

【變式6-1］4.(2023上?陜西西安?高一長安一中校考期中)已知函數/⑺=也.

(1)若函數9。)=嚴0)+m/(x),xG［1,9］,是否存在實數小，使得g(x)的最小值為0?若存在，求出租的

值；若不存在，說明理由；

(2)若函數h(x)=幾-/(*+3),是否存在實數a、b(a<b),使函數以%)在［a,加上的值域為［a,b］?若存在,

求出實數九的取值范圍；若不存在，說明理由.

【變式6-1J5.(2023上?云南?高一云南師大附中校考期末雙寸于定義域為/的函數如果存在區間［g詞￡/,

同時滿足下列兩個條件：

①/0)在區間［犯汨上是單調的；

②當定義域是［科詞時，f(x)的值域也是［科詞，則稱［血,詞是函數y=/(久)的一個“黃金區間”.

⑴請證明：函數y=1-1(%>0)不存在“黃金區間"；

(2)已知函數y=%2-4%+6在R上存在“黃金區間”，請求出它的“黃金區間”；

(3)如果［犯詞是函數y=(a：；-m豐0)的一個“黃金區間"，請求出n-m的最大值.

題型7定義域與值域“伴隨性”問題

?類型1中檔難度

【例題7-1］(多選)(2023上?江蘇南京?高一校聯考階段練習)已知函數“為的定義域為D,若存在區間

［m,n］￡D，使得/(久)同時滿足下列條件：

①/'(%)在［6,詞上是單調函數；②/'(%)在［血詞上的值域是［3機,3間.

則稱區間［科汨為函婁好(x)的"倍值區間".

下列函數中存在“倍值區間”的有()

A./(x)=2x2B.f(x)=|

C./(%)=%+|

【變式7-1］1.(2023上?北京?高一北京市十一學校校考期末)設函婁好⑴的定義域為。,若函數f3滿足

條件：存在［a,W,使/⑺在［㈤上的值域是旨『則稱f(x)為"倍縮函數"，若函數f(x)=

1。92(2久+2*為"倍縮函數"，則實數6的取值范圍是()

A］*)B.(0*"(0,［］D.(-2，l

【變式7-1J2.(2023上河南鄭州?高一河南省實驗中學校考階段練習)已知函數"%)=loga(2^+t)(a>

0且a41),若存在實數71(機<n),使函數y=f(x)在［血詞上的值域恰好為［2m,2?i］,貝1］珀勺取值范圍

為

(1

【變式7-1］3.(2023上浙江寧波?高一余姚中學校考期中)已知函數〃為=%x

(1)若關于f(X)的方程八支)=a有解，求實數a的取值范圍；

(2)若存在正實數a,b(a<b),使得函數/(比)的定義域為［a,b］時，值域為［ma,mb］(小豐0),求實數6的取

值范圍.

【變式7-1J4.(2023上?江蘇?高一統考期中)已知函數f(久)=%2-(a-1)久+1為偶函數，函數g(x)=京

的定義域為(-8,-l)U(l,+8).

(1)判斷并用定義證明gQ)在區間Q+8)上的單調性；

(2)解不等式g(x-1)+g(3x)<0；

(3)若存在實數a,b(l<a<6),使得g(x)在區間［a,加上的值域為［含,a］,求實數4的取值范圍.

【變式7-1］5.(2023上?河南信陽?高一信陽高中校考階段練習)設。eR,函數f(久)=言.

⑴若a=1,求證：函婁好(均為奇函數；

(2)若a<0,判斷并證明函數f⑺的單調性；

⑶若a<0,函數/(x)在區間［叫得⑺<九)上的取值范圍是俁，品(卜eR),求然］范圍.

【變式7-1］6.(2023上?山東?高一山東聊城一中校聯考階段練習)已知函數〃x)=In含的圖象經過點

(1,ln2),函數1g(x)=Inm—xln3.

⑴求n的值；

(2)求/(久)的定義域；

⑶若泰1，%2G(0,+8),f(>)在區間即久21上的值域為［g(>2)，g(久1)］，求爪的取值范圍.

【變式7-1］7.(2023上?遼寧阜新?高一阜新市高級中學校考階段練習)設函數“切=loga(〃-b)(a〉0

且a*1,6GR),已知/'⑵=1,f(loga6)=2.

(1)求/(久)的定義域；

(2)是否存在實數"使得”支)在區間［叫詞上的值域是［2機-A,2n-A］?若存在，請求出4的取值范圍；若不

存在，請說明理由.

?類型2高檔難度

【例題7-2］（多選）（2021上廣東廣州?高一廣州大學附屬中學校聯考期中）一般地，若函數"比）的定

義域為以川，值域為,則稱［a,〃為〃久）的，倍跟隨區間"；特別地，若函數〃久）的定義域為以川，

值域也為［a,b］,則稱［a,回為/（久）的"跟隨區間".下列結論正確的是（）

A.若［1,句為f（%）=%2-2%+2的"跟隨區間"，則b=3

B.函婁好。）=2-1存在"跟隨區間”

C.若函數/0）=m-/E存在"跟隨區間"，則me0］

D.二次函數f（久）=-jx2+比存在"3倍跟隨區間"

【變式7-2］1.（多選）（2023上?山東濰坊?高一統考階段練習）已知函數"久）的定義域為。，且阿0UD,

若函數f（x）在久G&6］的值域為依見也］,則稱［a,切為/。）的2倍美好區間”.特別地，當k=1時，稱［a,b］

為/⑸的“完美區間"，則（）

A.函數/（久）=—義產+%存在"3倍美好區間"

B.函數f（x）=-［+3不存在"完美區間”

C.若函數〃久）=m-eE存在"完美區間"，則機e（/0］

D.若函數f（x）=哼F存在"完美區間"，則爪G（2,+8）

【變式7-2］2.（2020上?山東濟南?高三校考期中）一般地，若“X）的定義域為［a,切，值域為［9枷，則

稱［a,切為f（x）的2倍跟隨區間"；特別地，若f（久）的定義域為［a/］,值域也為［a，W,則稱［a,b］為f（x）的

"跟隨區間".

（1）若［1,以為/0）=x2-2x+2的跟隨區間，貝必=

（2）若函數“無）=爪-/E存在跟隨區間，則山的最大值是

【變式7-2］3.（2023上?山西太原?高一山西大附中校考階段練習）已知函數f0）=3及，函數次久）是f（久）

的反函數.

⑴若gOn/+2x+m)的值域為R,求實數小的取值范圍；

(2)是否存在實數幾，便得函數k(x)=4-幾-叫竽巴。>0)在回切上的值域為［2a,2b］?若存在，求出實

數九的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【變式7-2J4.(2023上?湖南?高一衡陽縣第一中學校聯考階段練習)已知函數/(久)=loga(^-2t)(a>0

且aHl).

(1)若。<a<1,且t=1,求f(x)的定義域；

(2)若a>1,函數f(x)的定義域為。，存在［皿汨UD，使得f(x)在［派詞上的值域為［2犯2詞，求實數珀勺取

值范圍.

【變式7-2】5(2023上?浙江寧波?高一浙江省寧波市勤州中學校考階段練習股aeR，函數f(%)=尚言］.

⑴若函數/(久)為奇函數，求a的值；

⑵若a豐0,函婁好(X)在區間［犯汨上的值域是偌門(fceR),求相取值范圍.

【變式7-2］6.(2023上?四川綿陽?高一綿陽中學校考期末)已知函數f(x)=loga(3-久),以乃=

loga(3+x)(a>0,aH1),記F(x)=/(%)—g(久).

(1)求函數F。)的定義域；

(2)是否存在實數a，使得當xe［m.n］^,F(x)的值域為［1-\ogn,1—log。詞?若存在，求出實數a的取值

范圍；若不存在，則說明理由.

【變式7-2】7.(2023上?江蘇鹽城?高一鹽城中學校考階段練習)設函數f(久)的定義域為D,若函數f(x)滿

足條件：存在［a,切1。，使人切在［a,b］上的值域為［n1a,小切(其中mG(0,1］),則稱f(x)為區間［a,切上的

"小倍縮函數”.

(1)若存在［a,b］aR,使函數f(x)=log2(2"+t)為［a,b］上的1倍縮函數"，求實數珀勺取值范圍；

(2)給定常數k>0,以及關于x的函數f(x)=|1-,是否存在實數a,b(a<b)，使f(久)為區間［a,句上的"1

倍縮函數”.若存在，請求出a,6的值；若不存在，請說明理由.

【變式7-2】8.(2023上?四川內江?高一四川省內江市第六中學校考階段練習)已知函婁妤0)=m。>

。).

⑴當0<a<b,且f(a)=/(b)時,求十+他勺值；

(2)若存在區間［a,切￡D(。為函數定義域)，使人支)在區間［a,加上的值域也為&切，則稱為。上的精

彩函數，［a,句為函數〃久)的精彩區間.求f(x)是否存在精彩區間?如不存在，說明理由；

(3)若存在實數a、b(a<6)使得函數y=f(x)的定義域為［a,句時,值域為［ma,mb］(mH0)，則稱區間［a,b］為

f(x)的一個"羅爾"區間.已知函數f(%)存在"羅爾"區間，求實數小的范圍.

【變式7-2】9(2023上?江蘇南京?高一南京市第一中學校考階段練習)已知函數/(久)=logm^|,e［a.p］,

其中m>0,m^l,^>a>0.

(1)證明：a>3；

(2)若m=2,/(x)=-2,求實數x的值；

⑶問是否存在實數小，使得函婁好(久)的定義域為［a,0］時,其值域恰好為［logmOn/?-rn),logm(rna-m)］?

若存在，求出山的取值范圍；若不存在，說明理由.

【變式7-2】10(2023上?陜西西安?高一西安市鐵一中學校考階段練習在函數定義域內若存在正實數叫九,

使得函數在區間［皿,可上的值域為［皿+九n+4］則稱此函數為"2檔類正方形函數"(其中4eR),已知函

XX

數f。)=log3［2/c-9-(k-1)3+fc+2］.

(1)當k=0時,求函數y=f(x)的值域；

(2)當%>。時，是否存在kG(0,1),使得函數f(x)為"1檔類正方形函數"?若存在，求出實數k的取值范圍，

若不存在，請說明理由.

題型8非復合型已知零點個數求取值范圍問題

?類型1中檔難度

【例題8-1］(2022上?云南曲靖?高一校考期末)已知偶函數/⑺滿足/⑶=/(2-x),且當xG［0,1］時,

/(x)=2X-1.若函數y=f(x)-loga%恰有4個零點，貝！|a=()

A.5B.4C.3D.2

【變式8-1]1.(2023上?天津西青?高一天津市西青區楊柳青第一中學校考期末)已知函數f(x)=

f|2%—2|(x<2)

[旦(；22)，若函數丁=〃)一人有3個不同的零點，則實數k的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)

【變式8-1]2.(2022上?湖北孝感?高一校考期末)已知函數f(x)=產[匯一3大邛，若方程f⑺=k

有3個實數解，則實數k的取值范圍為()

A.(―4,—3]B.[―4,—3]C.(—4,0)D.[—3,0)

【變式8-1]3.(2022上?云南I缶滄?高一校考期末)已知函數/(%)=<<見若存在實數b，使得

k.乙，xNa,

方程“X)-b=。有兩個不同的解，則實數a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(2,+oo)

C.(2,4)D.(4,+oo)

【變式8-1]4.(2023上?湖北?高一湖北省仙桃中學校聯考階段練習)已知函數f。)=3,+x+1,g(x)=

3

10g3x+x+l,h(x)=x+x+1的零點分別為a,b,0則()

/^.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【變式8-1]5.(2023上河南洛陽?高一校聯考階段練習)若函數人久)=[%2_4^+w]>1有3個零

點，則實數小的取值范圍是()

A.[|,1)B.(-oo,0)u[1,+oo)

C.[1,2)D.[川U[2,+8)

【變式8-1]6.(多選)(2022上?云南曲靖?高一校考期末)已知函數/⑺=9：J)：￡。，關于萬的方

程f(x)-t=0的實數解的個數，下列說法正確的是()

A.若方程無實數解，則t<-4

B.若方程恰有一個實數解，貝！It<-4

C.若方程恰有兩個實數解，貝肛>0

D.若方程有三個實數解，貝!|-4<t<0

【變式8-1】7.（多選）（2023上?廣東深圳?高一校考期中）已知定義在R上的偶函數/（%）滿足+2）=

f（2-%）,且當x￡[一2,0]時，f（久）=一；，若在工￡[-2,6]內關于X的方程f（久）一log*+2）=0恰有3個

不同的實數根則a的可能取值是（）

A.4B.5C.6D.8

?類型2高檔難度

【例題8-2]（2023上?黑龍江?高一校聯考階段練習）已知a>0,且a片1,函數f（乃={J[低嚏:,

若關于x的方程/（乃=1有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是（）

A.（0,1）B,（1,竽）C.（1,竽]D.（1,V5]

【變式8-2]1.（2023上?江蘇蘇州?高一蘇州市蘇州高新區第一中學校考階段練習）設函數是定義在R

上的奇函數對任意x￡R都有/'（x）=/（2-x）目當％e（0,1]時/（久）=2工一1.若函數g（x）=/（%）-logax

（其中a>1）恰有3個不同的零點，則實數a的取值范圍（）

A.5<a<9B.1<a<9

C.a>9D.1<a<5

【變式8-2]2.（2023上?四川南充?高一四川省周中東風中學校校考階段練習）設函數/（%）=

忙X2"1‘置如⑺=1嗎（％+1），若方程八%）=9⑺有3個實數解,則實數a的取值范圍為（）

A.（5,7）B.[5,7]C.（3,5）D.[3,5]

【變式8-2]3.（2023?全國?模擬預測）已知函數f㈤=L個,若存在爪6（2,8）,使得方

程f（X）=爪一9有兩個不同的實數根且兩根之和為6,則實數k的取值范圍是

【變式8-2J4.（2023上?內蒙古赤峰?高一校考階段練習）已知函數g（x）=mx2-2mx+n（m>0,n>0）,

在xG[1,2]時最大值為1,最小值為0.設/（*）=哼.

（1）求實數zn,71的值；

（2）若存在xe,使得不等式g（2，）-fc-4^+1<0成立，求實數k的取值范圍；

⑶若關于x的方程”|1。93對）+晶-3a-1=0有四個不同的實數解，求實數a的取值范圍.

題型9非復合型兩點的和差積商問題

?類型1中檔難度

—2丫2+4xxV2

||（X_2力,2，若關于X的方程/0）=t有

{0g

四個實根%1，%2，%3，*4（久1<X2<X3<右），則久1+久2+2*3+比4的最小值為（）

A.-B.-C.10D.9

22

【變式9-1J1.（2023上?山東濟寧?高一嘉祥縣第一中學校考階段練習）已知函數f（久）=《我已;:黑，

若正實數a,b,c互不相等，且Aa）=f（b）=/（c）,貝Uabc的取值范圍為（）

A.（l,e+1）B.（e,e+1）C.（：,e）D.Q,e+1）

【變式9-1]2.（2023上?四川成都?高一校考期中）已知函數/（%）=產13%+上/。，若互不相等的

I11n%Ifxu

實數%1,%2，%3，%4滿足/（%1）=/（%2）=/（%3）=/（%4），則%1+%2+%3+%4的取值范圍是（）

A.2,e+-jB.1,-3+e+&]C.l,e+-jD.（-2,-3+e+&）

【變式9-1】3.（多選）（2023上?云南昆明?高一校考階段練習）已知函數/（?=，/0,若

互不相等的實數與，冷，久3，處滿足f01）=f（久2）=f（￡）=/（X4）,則下列說法正確的是（）

3

A.%】+打=—5，%3+%4=1

B./+冷=—3,X3X4=1

C.%1+%2+%3+%4的取值范圍是（―1，—3+e+/]

D.+X3X4的取值范圍是（1月

【變式9-1J4.（多選）（2023上?云南?高一云南師大附中校考期末汜知函婁好⑺=:°，