阿波羅尼斯圓與蒙曰圓七大題型匯總

題型ik氏國與軌跡

題型2阿氏圄與圓雉曲線

題？WJ

題2

35阿氏圄與立體幾何

題型6楠圄中的蒙曰國

題型7雙離,與檢物線中的拿日國

題型1阿氏圄與軌跡

即上塾重點

阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點A,B,設P點在同一平面上且滿足篝=4當4>0且時，P點的軌跡是個圓,稱

之為阿波羅尼斯圓.（4=1時P點的軌跡是線段4B的中垂線

題工（2021下.陜西寶雞.高三統考階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發

現:“平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值M4W1）的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的

名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直角坐標系。。夕中，4（—2,0）,B（4,0）,點P滿足借

\PB\

=y.則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）

A.4兀B.8兀C.12兀D.16兀

變或他1級

［題目|1［（2023上?浙江金華?高三階段練習）已知圓C的直徑AB=6,點M滿足\MA\=21MBi.記點M的軌

跡為W,設W與。交于P,Q兩點，則|PQ|=.

頷目團（江蘇省海高三模擬考試數學試題）在平面直角坐標以為中，已知點4（1,0）出（4,0）,若直線2-夕

+m=0上存在點P使得\PA\=-j-|FB|,則實數m的取值范圍是.

〔題目0（2021?湖南衡陽?校聯考一模）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題:平面內到

兩定點距離之比為常數后伏>0#片1）的點的軌跡是圓，后人將此圓稱為阿氏圓.若平面內兩定點A、口間

的距離為4,動點P滿足段=V3,則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為；PA-PB最大值是

題目④（2019上?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知AB是平面上兩個定點,平面上

I8

的動點滿足獸=獸=M，若對于任意的館23,不等式13VM瓶卜恒成立，則實數k的最小

\CB\\DB\

值為.

〔題目可（2023上?山東?高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）我們都知道:平面內到兩定點距離之比等于定

值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點A（-L,0）和

B（2,1）,且該平面內的點P滿足|24|=2\PB\，若點P的軌跡關于直線mx+ny-2=0（m,n>0）對稱，

則2+互的最小值是（）

mn

A.10B.20C.30D.40

1題目⑤（多選）（2023上?貴州貴陽?高三清華中學校考階段練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里

得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現:平面內到兩個定點的距離之比為定

值"4>0,且4W1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系2。沙中，4（—2,0）,

口（4,0）,點P滿足*=］.設點P的軌跡為曲線C,則下列說法正確的是（）

A.。的方程為（rc+4）2+方=16

B.點AB都在曲線。內部

C.當三點不共線時，則=

D.若。（2,2）,則|PB|+2\PD\的最小值為4A用

題型2阿氏畫與4畫錐曲線

阿波羅尼斯圓的證明

【定理1】設P（2,沙），4（—a,0）,B（a,0）.若果=4（4>0且4A1）,則點P的軌跡方程是

riD

卜一”力2+才=（竽工『，其軌跡是以（尸口O）為圓心，半徑為丁=M的圓.

證明:由_B4=APB及兩點間距離公式，可得（6+a）?+才=#［（力一Q）2+才］,

化簡可得（1—不）力2+（1—矛）#_|_2（1+/l2）aa;+（1—矛）d=0①，

（1）當4=1時，得力=0,此時動點的軌跡是線段AB的垂直平分線；

⑵當4W1時,方程①兩邊都除以1—才得1+才+2a（1+褒+&2=0,化為標準形式即為：

（廣含4+萬（雞）二點P的軌跡方程是以（碧Q,。）為圓心，半徑為川碧頤.

圖①圖②圖③???

的2（2021上?北京?高三北京市八一中學校考期末）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世

界光輝的科學成果,它將圓錐曲線的性質網羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地，他證明過這樣一個命題：

平面內與兩定點距離的比為常數>0且看片1）的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓,現有橢

圓「:名+*=1（a>90）,4B為橢圓「長軸的端點，C、。為橢圓「短軸的端點，動點河滿足電”

a2b2\MB\

=2,△MAS的面積的最大值為8,4MCD的面積的最小值為1,則橢圓「的離心率為.

孌式的1統

［題目|11（2021.安徽黃山?統考一模）在平面上給定相異兩點A,B,設點P在同一平面上且滿足制~=九當

4>0且4片1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故我們稱這個圓為

阿波羅尼斯圓.現有雙曲線W2=l（a>0,6>0）,厘用分別為雙曲線的左、右焦點，A,B為雙曲線虛

ab

軸的上、下端點，動點P滿足獸■=2,△/MB面積的最大值為4.點在雙曲線上，且關于原點。對

\PA\

稱，Q是雙曲線上一點，直線■和QN的斜率滿足則雙曲線方程是；過￡的

直線與雙曲線右支交于兩點（其中。點在第一象限），設點M、N分別為瓦月、ADE用的內心，則

\MN\的范圍是.

意目團（2021上.吉林通化.高三梅河口市第五中學校考期末）古希臘數學家阿波羅尼斯（約公元前262-

190年），與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數學家;他的著作《圓錐曲線論》是古代數學光輝的科學成

果,它將圓錐曲線的性質網絡殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他發現“平面內到兩個定點4B的距離

之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿

氏圓.比如在平面直角坐標系中，4（0,1）、3（0,4）,則點P滿足；1=/所得P點軌跡就是阿氏圓；已知點

。（—2,4）,Q為拋物線y2=8x上的動點,點Q在直線，=—2上的射影為H,M為曲線0+2）2+才=4上

的動點，則y|MC|+\QH\+\QM\的最小值為.貝+\QH\+\QM\的最小值為.

［題目0（2022下?浙江?高三校聯考開學考試）公元前3世紀，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中明確給出了

橢圓和圓的一個基本性質：如圖,過橢圓（或圓）上任意一點P（不同于A,B）作長軸（或直徑）的一條垂

線段，垂足為Q,則為常數k.若此圖形為圓，則fc=；若k=］,則此圖形的離心率為

f1

題目0（2022.湖北.荊門市龍泉中學校聯考二模）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375

年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐

曲線的光學性質:如圖甲，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波,經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一

個焦點，其中法線，表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線,如圖乙，橢圓。的中心在坐標原點,焦

點為E（—c,0）,E（c,0）（c>0）,由后發出的光經橢圓兩次反射后回到E經過的路程為8c.利用橢圓的光學

性質解決以下問題：

(1)橢圓。的離心率為.

(2)點P是橢圓。上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為I,再在I上的射影〃在圓/+才=8上,

則橢圓。的方程為______.

題型3阿氏質求菲標型最值

川一期重點

當題目給了阿氏圓和一個定點，我們可以通過下述方法快速找到另一個定點，便于計算，令圓。與直線。4

相交于M,N兩點設點E為OA上一點，且滿足需=九由阿氏圓定理給=腦器=九則AN=ANE

PENEME

^OA-R^A(R-OE),AAOE=(1+4)72—。4①

同理入河=4皿=7?+04="0￡；+7?),.?"0￡；=(1-#五+。人②

由①②消。4得：24OE=272,即=4即R=4OE,由①②消R得：。4=7OE,

Okj

因此，滿足條件的點E在阿氏圓的圓心和定點力的連線上，且條=才或綜=不.

網］3(2022?全國?高三專題練習)已知點P是圓O—4y+@—4)2=8上的動點，A(6,—1),。為坐標原點，則

PO+2PA的最小值為.

題目Q(2022.全國.高三專題練習)已知圓。：(z-l)2+(沙一1)2=1,定點P是圓。上的動點，B(2,0),。是

坐標原點，則V2PO+PB的最小值為.

〔題目0(2021?全國?高三專題練習)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他對圓錐曲線有深刻系統的研究，主

要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點

M與兩定點A,B的距離之比為4(4>0"21),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面我們來研究與

此相關的一個問題，已知圓。32+夕2=1上的動點”和定點A(-y,0),B(L1),則2\MA\+\MB\的最小

值為()

A.V6B.V7C.V10D.Vn

遒瓦區（2023下?廣東東莞?高三東莞實驗中學校考開學考試）對平面上兩點A、B,滿足篇■=4（4片1）的

點P的軌跡是一個圓,這個圓最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，命名為阿波羅尼斯圓，稱點A,B是此

圓的一對阿波羅點.不在圓上的任意一點都可以與關于此圓的另一個點組成一對阿波羅點，且這一對阿波

羅點與圓心在同一直線上，其中一點在圓內，另一點在圓外，系數4只與阿波羅點相對于圓的位置有關.已

知A（l,0），6（4,0）,。（0,3）,若動點P滿足5V=［，則2|PD|+\PB\的最小值是

\PB\2

ICE（2021.江西贛州.統考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞

歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：

已知動點”與兩定點4B的距離之比為取＞0,4W1）,那么點”的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

已知在平面直角坐標系中，圓0：/+夕2=1、點力（_1,0）和點9卷）,河為圓0上的動點,則2|苗4|

~\MB\的最大值為（）

AB巫C3

A，2B2C-萬D.亨

Wt回（2022上.湖北恩施.高三恩施土家族苗族高中校聯考期末）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里

得、阿基米德齊名他發現:“平面內到兩個定點48的距離之比為定值4（4^1）的點的軌跡是圓”.后來，人

們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，4-2,1）,

B（—2,4）,點P是滿足4=］的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為；若點Q為

拋物線E：靖=4,上的動點，Q在9軸上的射影為則方|四+四+四|的最小值為.

題型4阿氏B0與向量

幽&（2022?全國?高三專題練習）已知反7=6,47=248,點。滿足力方=，^4+---N方，設

9—x+y2（2+9）

/0，夕）=|萬|,若/（，,?/）＞/（羯％）恒成立,則/（，0,夕0）的最大值為.

蜃目口〕（2020下?河北石家莊?高三石家莊二中校考階段練習）已知點力（0,1）,B（l,0）,C（t,0）,點D是直線

AC上的動點，若\AD\＜2\BD\恒成立，則最小正整數t=.

題目0（2019上?浙江?高三統考期末）已知落日是平面內兩個互相垂直的單位向量,若向量3滿足厄-4

制，則向+日—目+2仁—用最小值為.

題目3（2019?浙江寧波?浙江省寧波市鄴州中學校考模擬預測）已知向量區旗滿足同="=同=1,。

日=1,則卜+荊+/怩一日的取值范圍是.

穎目Q（2018?江蘇揚州?校考三模）已知等邊AAB。的邊長為2,點P在線段AC上，若滿足就?國—24+

1=0的點P恰有兩個,則實數4的取值范圍是

MB5〕（2019?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學校考階段練習）在^ABC中，A=120°,AB=2AC=6,點。滿

足助=肝丁4方，則I助?的最小值為

+x+y??------

題型5阿氏HI與立體幾何

題5（2019?浙江?校聯考一模）如圖，48是平面a的斜線段,A為斜足，點。滿足sinZCAB=AsinZCBA（A>

0）,且在平面a內運動，則（）

A.當4=1時，點。的軌跡是拋物線B.當4=1時，點。的軌跡是一條直線

C.當4=2時，點。的軌跡是橢圓D.當4=2時，點。的軌跡是雙曲線拋物線

變費他1’級

頻目工（2022?全國?高三專題練習）如圖，在長方體ABGD-45CQ1中，AB=2AO=244i=6,點E在

棱上，BE=2AE,動點P滿足8?=遮_?區若點P在平面ABCD內運動，則點P所形成的阿氏圓的

半徑為;若點P在長方體ABCD-ABG2內部運動，F為棱CA的中點，M為CP的中點,則三

棱錐M-BCF的體積的最小值為.

題目0（2021上.山東荷澤.高三統考期末）古希臘數學家阿波羅尼斯發現:平面上到兩定點人、8距離之比

1）是常數的點的軌跡是■個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息,解決下

面的問題:在棱長為2的正方體ABCD-中，點P是正方體的表面AD。4"包括邊界）上的動

點,若動點P滿足24=2PD,則點P所形成的阿氏圓的半徑為；若后是CD的中點，且滿足AAPB

=/EP。,則三棱錐P—ACD體積的最大值是

阿波羅尼奧斯

題目區（2020下.河北石家莊.高三石家莊二中校考開學考試）棱長為36的正四面體ABCD的外接球與內

切球的半徑之和為，內切球球面上有一動點則上陽十得陽。的最小值為

O

題目⑷（2022?全國?高三專題練習）已知正方體ABCD—4BQQ1的棱長為1,點P為側面BBQQ內的動

點，且R4=2PB,則點P所形成的軌跡圖形長度為.

題豆回（2021.貴州貴陽.統考模擬預測）在平面內，已知動點P與兩定點A,B的距離之比為4（4>0/片1）,

那么點P的軌跡是圓,此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類似結論.如圖,三棱柱ABC-A^C,

中，4A，平面ABC,AB=BC=2,BBi=值,AABC=90°,點M為48的中點，點P在三棱柱內部或

表面上運動，且|E4|=2|PM|,動點P形成的曲面將三棱柱分成兩個部分，體積分別為%,%（％<%）,

題型6橢圜中的蒙日國

在橢圓上,任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸

短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1.

如圖1,設橢圓的方程為t+￡=l（a>b>0）,則橢圓兩條互相垂直的切線24,P8交點P的軌跡是蒙日

ab

圓：/+才=口2+/.

證明:證法一（解析法+韋達定理）:①當題設中的兩條互相垂直的切線PA,PB斜率均存在且不為0時，可

設P（g,y0）（zo片土a且沙0片土b），過P的橢圓的切線方程為y-y0=k（2-3）（%片0）,由

（y-yo=k（x-xo）,

《22y2得（/取+的為2—2ko2（kg—為）0+Q2（kg—泱）2-Q2b2=o,

［薪+至=1，

由其判別式值為。得（舄一。2）昭一2g%k+需一/=0（/一。2。0）,

2_?2

??,kPA,kPB是這個關于k的一元二次方程的兩個根，???kPA?kPB=當,

x（）—a

2_72

2

由已知PA^PB,：.kPA-kPB=-l,：.晉一-=-1,.?.域+加=a?+d，.?.點p的坐標滿足方程/+y

x0—a

^a2+b2.

②當題設中的兩條互相垂直的切線上4,有斜率不存在或斜率為0時,可得點P的坐標為（土a,b）或

（a,土6）,此時點P也在圓/+/=/+&2上.

綜上所述:橢圓W+W=l（a>b>0）兩條互相垂直的切線必，PB交點P的軌跡是蒙日圓：/+娟=&2

ab

+b2.

證法二（橢圓的切線方程+切點弦方程+點在公共曲線上）：

①當題設中的兩條互相垂直的切線Q4,PB斜率均存在且不為。時，設P（g,加）（g片±&且為。土6）,切

點力⑶，%）‘吟紡）（硒網例‘°）,則切線PA等+*=1'PB；”.

???P（W在切線出,上,???普+爺=】,管+黃=1,由兩點確定一條直線得直線，的

方程為苦+券=1.

azb

kPAkPB==乎的，kOAkOB=--—={kPAkPB)(kOAkOB)=當,

\ayi八ay?)a%例電力住2a

;,%)(i=1,2)即在圓的方程為號+4=1,又在直線AB:=1上，+普—

ababab

等+誓）1可得點若―“）（巧Iza?%；。%（2）+/（舄—a”。，

,,_沙曲_/（舄一a2）_/（>一￡）,,談一廿_力

“。外。8―_一/（若_冷—若_冷，?不/—

\,yj（JA,yjO13J4?,EPA'pPb22'

aXQ-a

22

由已知PA_LPB,：.kPA-kpB=-l,：.%=—1,.?.舄+*=a?+/,.?.點p的坐標滿足方程x+y

Xo-a~

=a2+b2.

②當題設中的兩條互相垂直的切線Q4,PB有斜率不存在或斜率為0時,可得點P的坐標為（土a,6）或

（a,±6）,此時點P也在圓，2+才=口2+/上.

綜上所述:橢圓5+4=l（a>b>0）兩條互相垂直的切線P4,PB交點P的軌跡是蒙日圓：/+娟=口2

ab~

+b2.

先給出幾個引理，然后給出證法三--蒙日圓的幾何證法.

吼色（2020?山東?高三專題練習）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理,該定理的內容為:橢圓上兩條互相

垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓.若橢圓C：+式=1（a

a+1a

>0）的離心率為則橢圓。的蒙日圓方程為（）

A./+才=9B.x2-\-y2=7C.x2-\-y2=5D.rr2+?/2=4

變質他13因

題目Q（2022.全國?高三專題練習）已知橢圓C：^-+y2=l,M是圓/+/=3上的任意一點,MA,MB濟

別與橢圓切于4求△AOB面積的取值范圍.

【題目區（2022?全國?高三專題練習）設橢圓（+￥=1的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為C,曲線。的

54

兩條切線P4、PB交于點P,且與。分別切于A、B兩點，求才?屈的最小值.

［題目叵〕（2020下?江西景德鎮?高三統考階段練習）蒙日圓涉及的是幾何學中的一個著名定理，該定理的內容

為:橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓，若橢圓C:

—+幺=l（a>0）的蒙日圓為/+/=6,則a=（）

CLI/CL

A.1B.2C.3D.4

題目（2022.全國.高三專題練習）給定橢圓C：鼻■+與=l（a>6>0）,稱圓心在原點。、半徑是，

ab

的圓為橢圓。的“準圓”.已知橢圓。的一個焦點為F（V2,0），其短軸的一個端點到點F的距離為遍.

（1）求橢圓。及其“準圓”的方程；

⑵若點A是橢圓。的“準圓”與，軸正半軸的交點，B,。是橢圓。上的相異兩點，且C軸，求施?

說的取值范圍；

（3）在橢圓。的“準圓”上任取一點P（s,t）,過點P作兩條直線。，如使得。與橢圓。都只有一個公共點,

且七Z2分別與橢圓的“準圓”交于“，N兩點.證明:直線AW過原點O.

1題目回（2019.安徽滁州.安徽省定遠中學校考一模）已知橢圓C：g+￡■=l（a>6>0）的長半軸長為V2,

ab

點（l,e）（e為橢圓。的離心率）在橢圓。上.

（1）求橢圓。的標準方程；

（2）如圖，P為直線①=2上任一點,過點P橢圓。上點處的切線為24,,切點分別A,B,直線劣=a與

直線_R4,分別交于Al,N兩點，點、M,N的縱坐標分別為?71,n，求nm的值.

22

題目回（2019?河南?校聯考模擬預測）已知橢圓O：%+4=l（a>b>0）的左、右頂點分別為4B,點P在

ab

橢圓。上運動，若△248面積的最大值為2通，橢圓。的離心率為十.

（1）求橢圓。的標準方程；

（2）過B點作圓E：x2+（,一2）2=產，（0<r<2）的兩條切線，分別與橢圓。交于兩點C,。（異于點⑻，當

r變化時,直線CD是否恒過某定點?若是，求出該定點坐標，若不是，請說明理由.

題型7雙曲線與拋物線中的蒙日圜

塾量點

蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣

22

【定理1】雙曲線1―9=l(a>b>0)的兩條互相垂直的切線Q4,交點P的軌跡是蒙日圓：/+娟=

ab

【定理2】拋物線娟=2p2(p>0)的兩條互相垂直的切線以，PB交點P的軌跡是該拋物線的準線：x=-^

(如圖4,可以看作半徑無窮大的圓).

注意:雙曲線中只有當a>b時才有蒙日圓,此時離心率e滿足1<e<0；拋物線的蒙日圓恰好為其準線

(直線可以看作半徑為無窮大的圓).總結可得如下的蒙日圓定理：

【定理3】過圓錐曲線外一點作兩條互相垂直的切線，那么這一點的軌跡是一個圓,這個圓被稱為蒙日圓，又

叫外準圓.

-ABD-

證明:設圓錐曲線「的方程為A/+2B致+32+2。/+2坳+F=0,其中系數矩陣BCE滿秩(即

.DEF.

系數行列式力0).

設平面內有一點P(，。，加)，P不在「上.過P作「的切線，當切線斜率存在時，設切線斜率為％，則切線方

程可設為夕=k(，—g)+%.聯立曲線方程，消去沙得

(A+2Bk+C7c2)ic2+2[(Uo—kg)(B+Ck)~\~D~\~Ek\x+C(y°—kxO)"+2E(y。—kxQ)+F=0,

為書寫方便，令G=y。-kg,由切線與圓錐曲線只有一個交點可得△=0,即：

{AC-B2)G2+2(BE—CD)Gk+(CF-E2^+2(AE—BD)G+2(BF-DE)k+AF-D2=Q,

觀察上式，當把G=u。-A:,。代入之后可知前三項都含有k2,可寫出二次項系數為(AC-B2)赤+

2

2(CD-BE)x0+CF-E.同理，第一、四、六項含有常數項，可以寫出常數項為(AC—&)瑞十

2

2(AE—BD)y0+AF-D.1?兩條切線互相垂直，斜率之積為-1,因此由韋達定理得

22(

^AC-B^+2(CD-BE)X0+CF-E-

22

(AC—d)舄+(AC-B)yl+2(CD-BE)x0+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-lf=Q.

當切線斜率不存在時，很明顯兩條切線分別為，=應，y=y0.聯立c=與「的方程，得到Q/+

2(Bx/E)y+Axl+2Dx0+F=0,由A=0得(AC—+2(CD-BE)x0+CF—E?=0,同理，

2

(AC-BP)*+2(AE-BD)yo+AF-D^O,

兩個方程相加，恰好得到此時P的坐標滿足方程

2222

(AC-B)xl+(AC-B)^+2(CD-BE)Xo+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-D^0,

???無論切線斜率是否存在，P的軌跡方程均為

222

(AC-B)^+(AC—停)筑+2(CD—BE)我+2(AE-BD)y0+CF-E+AF-D=0(**).

習慣上用工，沙表示動點坐標,上式的g,為均改為，，外得到P的軌跡方程

(AC-B2)x+(AC-B2)y+2(CD—BE)缶+2(AE—BD)y+CF-E2+AF-D2=0(**).

???/和y2的系數相同，且缺少含xy的項，方程(**)表示一個圓,即P的軌跡是一個圓(實圓、點圓、虛圓均

可).證畢.

說明：(1)令A=&2,B=0,C=a2,D=E=0,F=—代入(**)可得橢圓片,+4

ab

的蒙日圓方程：會+才=a2+R定理1得證.

22

(2)令人=*,6=0,C^-a2,D=E=。，F=—代入(**)可得雙曲線與—*=l(a>0,6>0)

ab

的蒙日圓方程：/+”=a2—牝當時，a?—川>0,雙曲線的蒙日圓存在.但當a=b時，a?—r=0,

方程退化為一個點(0,0).此時易證過(o,0)的直線要么和雙曲線有兩個交點,要么沒有交點(???雙曲線

關于中心對稱)，,過(0,0)無法作雙曲線的切線，自然也不存在兩條互相垂直的切線.而當aVb時，a?-

/V0,于是方程表示一個虛圓(無法在坐標平面上表示)，平面內不存在雙曲線的兩條互相垂直的切線.

綜上,只有當a>6時(或離心率1<eV6時),雙曲線才有蒙日圓.定理2得證.

(3)令A=B=0,C=l,D=—p,E=F=0,代入(**)可得拋物線*=2pc(p>0)的蒙日圓方程：c=

-f.這恰好是拋物線的準線方程，因此拋物線的蒙日圓是其準線.這也可以從蒙日圓的一般方程中看出，

因拋物線滿足AC-呼=0,.??蒙日圓方程的二次項系數為。，方程退化為一條直線.定理3得證.由此還能

得出一個推論:過拋物線準線上的一點作拋物線的兩條切線,這兩條切線互相垂直.

吼工(2023.陜西西安?統考一模)數學家加斯帕爾?蒙日創立的《畫法幾何學》對世界各國科學技術的發展影響

深遠.在雙曲線C:考~—4=l(a>0,6>0)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,它的圓

ab

心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與虛半軸長的平方差的算術平方根，這個圓被稱為蒙日圓.已知雙

曲線。的實軸長為2函，其蒙日圓方程為小+才=4.

(1)求雙曲線。的標準方程；

(2)設點P(3,l)關于坐標原點的對稱點為Q,不過點P且斜率為g的直線與雙曲線。相交于M,N兩點,

O

直線PM與QN交于點，求直線OD的斜率值.

要亮他1,級

題目工(2020上.陜西西安.高三校聯考階段練習)定義橢圓C:冬+鳥=l(a>6>0)的“蒙日圓”方程為

ab’

/+“=4+也己知拋物線"=4y的焦點是橢圓。的一個短軸端點,且橢圓。的離心率為答.

(1)求橢圓。的標準方程和它的“蒙日圓”E的方程；

⑵若斜率為1的直線，與“蒙日圓”E相交于AB兩點，且與橢圓。相切，。為坐標原點，求△O4B的面

積.?M

題目區（2023上?廣東清遠?高三統考期末）法國數學家加斯帕爾?蒙日創立的《畫法幾何學》對世界各國科學

技術的發展影響深遠.在雙曲線宅-q=l（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個

圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與虛半軸長的平方差的算術平方根，這個圓被稱為蒙日

圓.已知雙曲線。：告一卷■=l（a>6>0）的實軸長為6,其蒙日圓方程為x2+y2=1.

ab~

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）設。為雙曲線。的左頂點，直線Z與雙曲線。交于不同于。的兩點，若以EF為直徑的圓經過點

。，且DGLEF于G,證明:存在定點使為定值.

：題目⑶（2020下?山西?高三統考階段練習）已知拋物線E：/=2如過點（1,0,過拋物線E上一點P（g,y。）

作兩直線PM,PN與圓。：/+⑨—2）2=1相切,且分別交拋物線E于M、N兩點.

（1）求拋物線E的方程,并求其焦點坐標和準線方程；

（2）若直線的斜率為一心,求點P的坐標.

題目⑷（2019?河北石家莊?校聯考一模）已知拋物線。:d=2p,（p>0）上一點P（g,2）到焦點F的距離

|PF|=2x0.

（1）求拋物線。的方程；

（2）過點P引圓M:（c—3丫+才=產（0<「<蓼）的兩條切線Q4、PB,切線與拋物線。的另一交點

分別為A、線段AB中點的橫坐標記為力，求力的取值范圍.

題目Q（多選）（2023?全國?模擬預測）已知P是定圓C（。為圓心）上的一個動點，人是不在圓。上的一個定

點.若點加滿足戶必=瘧苕（4CR）,且（后+礪）?化N—存）=0,則點河的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線（單支）

題目0（2022?河南關B州?統考模擬預測）在圓（,—3）2+（夕—4）2=/（r>0）上總存在點p,使得過點p能作

橢圓《+才=1的兩條相互垂直的切線，則『的取值范圍是（）

A.（3,7）B.[3,7]C.（1,9）D.[1,9]

W1回（2022?江蘇?模擬預測）在平面直角坐標系①。?/中，若直線。+ay+3=0上存在動點P,使得過點

P的橢圓的兩條切線相互垂直，則實數a的取值范圍是（）

O

題目⑷（2021.上海虹口.統考二模）己知橢圓。的方程為曰+才=1.

?M

（）設是橢圓。上的點,證明:直線等+“謠/=與橢圓。有且只有一個公共點；

1M{XM,VM）1

（2）過點NQ,2）作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為A、B,點N在直線上的射影

為點Q,求點Q的坐標；

（3）互相垂直的兩條直線k與L相交于點P，且"/2都與橢圓。只有一個公共點，求點P的軌跡方程.

題目可（2020.全國.校聯考三模）法國數學家加斯帕爾?蒙日發現:與橢圓1+g=l（a>b>0）相切的兩

ab

條垂直切線的交點軌跡為/+才=（?+/,這個圓亦被稱為蒙日圓,現將質點P隨機投入橢圓C："+“=

1所對應的蒙日圓內，則質點落在橢圓外部的概率為？（附:橢圓W+￡=1的面積公式為S=a版）

ab

（）

A.*B.卓C.1-嚕D.1-容

ezo