第2節相等角的構造

前言：在了解特殊角的基礎上，可構造相等角，若存在特殊位置關系，則從位置考慮；若無特殊位置關系，

可用三角函數度量并構造.

知識導航

構造相等角

(1)平行：兩直線平行，同位角、內錯角相等；

平行：Z1=Z3,Z2=Z3

(2)角平分線：角平分線分的兩個角相等；

角平分線：Z1=Z2

(3)等腰三角形：等邊對等角；

等腰三角形：Z1=Z2

(4)全等(相似)三角形：對應角相等；

全等三角形：Z1=Z2

(5)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

圓周角定理：Z1=Z2

(6)三角函數：若兩個角的三角函數值相等，則這兩個角相等；

三角函數：若tan/l=tan/2,則/1=N2

構造相等角，先考慮是否有特殊位置關系，作恰當的幾何構造，若無明顯位置關系，再考慮度量角，即用三角

函數值構造相等角.思路多未必是好事，挑出關鍵性條件確定恰當方法才是更重要的.

引例1：如圖，已知拋物線過點A(4,0),B(-2,0),C(0,-4).

⑴求拋物線的解析式；

(2)點C和點Ci關于拋物線的對稱軸對稱，點P在拋物線上，且/PAB=NCAG，求點P的橫坐標.

解析：(1)拋物線:y=1%2-x-4；

(2)由題意得:Ci坐標為(2,-4),

思路1:計算已知角三角函數值構造相等角過點Ci作JH±AC交AC于H點，由題意得點H(l,3),

HCi=42,HA=3Vx

1

tanNCAC]=[廁tanZ.PAB=

3

19

則由題意得：1

|4-m|3,

解得：mi=-1,m2=

.??點P的橫坐標為+_|.

思路2：巧用特殊角.

如圖構造等腰直角三角形AMC,

可得M點坐標為(4,-4),

AAMC是等腰直角三角形./MAC=45。,考慮tan/MAG=可知tan/SG=:，下同思路1求解P點坐

標.

弓I例2:如圖，拋物線y=ax?+6久+c與兩坐標軸相交于點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是拋物線的頂點，

E是線段AB的中點.

(1)求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；

(2)F(x,y)是拋物線上的動點：

①當x>l,y>0時，求4BDF的面積的最大值；

②當ZAEF=ZDBE時，求點F的坐標.

解析：⑴拋物線：y=-/+2x+3,D點坐標為(1,4);⑵①鉛垂法，當F坐標為(2,3)時，△BDF面積最大，最

大值為1；

②思路1:構造平行線.

過點E作EF〃:BD交拋物線于F點，

..?BD解析式：y=-2x+6,

可得EF的解析式為：y=-2x+2,

聯立方程：一/+2久+3=-2x+2,

解得：%i=2-V5,%2=2+V5(舍).

/.F點坐標為(2-V5--2+2V5).

將EF作關于x軸的對稱，如圖，交點亦為滿足條件的F點，且翻折后的直線解析式為：y=2x-2,

聯立方程：一/+2%+3=2x—2,

解得：%】=-V5,X2=V5(舍).

點坐標為(-V5>-2V5-2).

綜上，F點坐標為(2-V5--2+2有)或(-V5--2V5-2).

思路2:三角函數值.

由題意可得：tan/DBE=2,

設F點坐標為(m--m2+2m+3),

過F點作FH±x軸交x軸于H點則H點坐標為(m,0),FH=-m2+2m+3\,EH=\m-1|,由題意得：

x

tanzXFF=*=二；+31=?乎-2尸?_解得：=2-V5,x2=2+場舍)，乂3=-低4=遮(舍).

F點坐標為(2-V5--2+2遙)或(-V5--2V5-2).

引例3：若二次函數y=ax?++c的圖像與x軸、y軸分別交于點A(3,0)、B(0,-2),且過點C(2,-2).

(1)求二次函數表達式；

(2)在拋物線上(AB下方)是否存在點M,使/ABO=/ABM?若存在，求出點M到y軸的距離；若不存在，

請說明理由.

解析：⑴拋物線：y=|%2-2；

(2)思路1：構造全等三角形

作小AOB關于AB的對稱的^ANB,BN與拋物線的交點即為M點求N點坐標：構造△AEN-ANFB,

可得N點坐標為信，-H).

聯立方程：-%2--x-2=——x—2,

3312

解得:=0,%=V,

2O

即M點橫坐標為9，.?.M點到y軸的距離為J

思路2：構造等腰三角形

考慮直接分析/ABO=NABM并不容易，可尋找NABO的相等角.過點A作AH±x軸，延長BM與AH交于

H點，則NBAH=NABO=NABH,△ABH是等腰三角形，即AH=BH,設H點坐標為(3,m),

貝！IAH=-m,BH=J(3—0)2+(ni+2)2

令一根=J(3-0)2+(zn+2/,解得：m=

故H點坐標為(3，—彳).

由B、H兩點坐標求直線BH解析式：y=-^x-2,下同思路1,可求M點橫坐標為118.

引例4:如例已知點A(-l,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.

(1)求拋物線解析式；

(2)在x軸下方且在拋物線對稱軸上,是否存在一點Q,使NBQC=/BAC?若存在，求出Q點坐標;若不存在,

(2)思路：構造輔助圓

考慮到NBAC和/BQC所對的邊均為BC,故構造△ABC的外接圓，與該拋物線對稱軸的交點即為Q點

AABC外接圓圓心記為M點，

則M在線段AB的垂直平分線上，

即M點在拋物線的對稱軸上，

設M點坐標為(1,m),

根據MA=MC得：J(1+I)?+(m—0尸=J(1-0尸+(刊―

解得：m=-l,；.M點坐標為(1,-1),

圓M半徑為Vl2+22=V5,

MQ=V5,

???Q點坐標為((1，—1—代).

真題演練

L如圖，拋物線y=_|皿一4與x軸交于.A(xi,0),B(x2,0)兩點,y軸交于點C,且冷-與=共

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上一點D(1,-5),直線BD與y軸交于點E,動點M在線段BD±,當NBDC=/MCE時，求點

M的坐標.

2.如圖，已知拋物線yax2+bx+5經過A(-5,0),B(-4,-3)兩點與x軸的另一個交點為C,頂點為D,連結

CD.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點P為該拋物線上一動點(與點B、C不重合)，設點P的橫坐標為t.該拋物線上是否存在點P,使得/PBC

=ZBCD?若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的一邊AB在x軸上，/ABC=90。，點C(4,8)在第一象限內，AC與y

軸交于點E,拋物線y=lx2+bx+c經過A、B兩點與y軸交于點D(0,-6).

⑴請直接寫出拋物線的表達式；

(2)若點M是x軸上一點(不與點A重合),拋物線上是否存在點N,使NCAN=NMAN.若存在，請直接寫

出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

4.如圖，直線.y=-3x+3與x輒y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=c分別交y

軸的正半軸于點C和第一象限的點P,連接PB，得△PCB04BOA(。為坐標原點).若拋物線與x軸正半軸交點

為點F,設M是點C,F間拋物線上的一點(包括端點),其橫坐標為m.

(1)直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式；

(2)求滿足/MPO=NPOA的點M的坐標.

5.如圖，直線.y=-X+3與X軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=-x2+bx+c經過點B、C與x軸另

一交點為A，頂點為D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得^APB=NOCB?若存在，求出P點坐標；若不存在,請說

明理由.

6.如圖，二次函數y=x2+bx+3的圖像與y軸交于點A過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B,拋物

線過點C(1,0),且頂點為D,連接AC、BC、BD、CD.

⑴填空b=:

⑵點P是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1,直線PC交直線BD于點Q.若NCQD=/ACB,求點P的坐標.

第2節相等角的構造

1?解析(：1)初一/=戶=導，

解得：m=|.拋物線：y=|x2-|x-4.

(2)思路：化角度正切值為“k”

令泮一|久一4=0,解得：=-l，x2=4,

即A點坐標為(-go),B點坐標為(4,0).

考慮C(0,-4)、D(l,-5),連接BC,易證△BCD是直角三角形，

y

tan/BDC=—=^=4,

CDV2

若/MCE=/BDC,貝!]tanzMCF=4,kCE=

設CE解析式為：y=-^x-4,

又BD解析式為：y=|x-p

聯立方程：一卜一4="一?解得：x=||,

故M點坐標為管，-詈)

2.解析：⑴拋物線：y=%2+6x+5;

(2)①當點P在直線BC上方時，如圖，過點B作DC的平行線，與拋物線交點即為P點，得直線BP解析式為:

y=2x+5,

聯立方程：x2+6x+5=2x+5,解得：Xi=-4,x?=0,故P點坐標為(0,5).

②當點P在直線BC下方時，

思路1：利用三角函數值.

連接BD,可得BD_LBC,可得tanzBCD=|,

若/PBC=NBCD,貝！]需滿足tanzPBC=

但鑒于BC并非水平或豎直直線，故tan/PBC=l這個條件并不好用.考慮到B、C點坐標的特殊性，可以發

現，過點B作BM±x軸，易得△BMC是等腰直角三角形，即有/MBC=NMCB,

可轉化問題"NPBC=NBCD”為“NPBC+NCBM=NBCD+NBCM”，即ZPBM=ZDCM.

由題意得：tan/DCM=2,故tan/PBM=2,

轉化為直線BP的條件即為"BP=

可得直線BP解析式為：y=|%-1,

聯立方程：/+6x+5="-1,解得：=-4,%2=.故P點坐標為(一|，一)

ZZ\Z4/

綜上所述，P點坐標為(0,5)或

思路2:構造對稱.

不難發現，情況①中的直線BP和情況②中的直線BP是關于直線BC對稱，故兩個BP的k相乘為1,可知

情況②中的kBP=*可知BP解析式：y=lx-l.

同思路1求得P點坐標.

3.解析：(1)拋物線：y=-x2-|x-6;

(2)思路：角平分線構造相等角

①當M點在A點右邊時，作/CAM角平分線，與拋物線交點即為所求N點.令一|久一6=0,解得：

4Z

=4,久2=-2,故A點坐標為(-2,0),AN=6,BC=8.

即tan/CAB=*根據特殊角的結果，

可得tanZJVAB=tan|Z.CAB=

故直線AN解析式為：y-+1,

2

聯立方程:|X-|X-6=|%+1,解得:=-2,%2=學故N點坐標為得晉)

②當M點在A點左邊時，作/CAM角平分線，其所在直線與拋物線交點即為所求N點.

由題意可知此時AN與情況①中的角平分線互相垂直，可知AN解析式：y=-2x-4,

聯立方程：步一|久一6=-2%—4,解得：=一2,“2=奉故N點坐標為G一等

綜上所述，N點坐標為(?，?)，

4解析:(1)P(3,4),拋物線:y=-x2+3x+4;

(2)當M點在C、P之間的拋物線上時，

思路：構造平行

M點在C點位置時，PM〃OA,有/MPO=NPOA,此時M點坐標為(0,4);

當M點在P、F之間的拋物線上時，

思路：構造等腰三角形

延長PM與x軸交于點N,

若/MPO=NPOA^SOPN為等腰三角形，其中NP=NO,設N點坐標為(n,0),

貝［|NO=n,NP=J(n-3)2+(0-4)2=^/(n—3)2+16,

當NO=NP時，即n=7(n-3)2+16,解得：n=^,

直線PN解析式為：y=-gx+T,

聯立方程：一比2+2x+3=—+1,

解得：xt=3,X2=g.故M點坐標為管芍)

綜上所述，M點坐標為(0.4)或(m，詈).

5.解析：(1)拋物線：y=-%2+2久+3;

⑵由點坐標可知：/OCB=45。故P點需滿足/APB=45。,思路1：構造輔助圓.

過點A作AMLBC交BC于M點，以M點為圓心，MA為半徑作圓，與對稱軸的交點即為所求P點.

易求M點坐標為(1,2),且.MA=2a,故MP=MA=2Vx.\P點坐標為((1，2+2企).

此外在x軸的下方還有一個對稱的P點(1，-2-2V2).

綜上所述，P點坐標為((1，2+2/)或(1,-2-2V2).

思路2：利用特殊角的三角函數.

考慮到P點在對稱軸上且A、B兩點距離對稱軸距離相等，故對稱軸即N