；題型必刷?大題仿真卷

大題仿真卷05(A組+B組+C組)

(模式：5道解答題滿分：78分限時：70分鐘)

0---------------A組.鞏固提升-----------?>

一、解答題_

1.如圖，在四棱錐尸中，底面是邊長為2的菱形，且/。/8=60。，PA=PD=C，且

PB=2.

AB

(1)求證：平面尸/Z)_L平面/BCD；

(2)設E為PC的中點，求平面EBD與平面PAD所成銳二面角的大小.

【答案】(1)證明見解析；

(2)arccos—.

7

【分析】(1)由已知可得尸“結合尸可得尸A/_L平面4BCD,再結合面面垂直的判定定

理即可證結論.

(2)以M為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得EAD的一個法向量，平面尸4D的一個法向量，利用向

量法可求平面EBD與平面PAD所成銳二面角的大小.

【解析】(1)取4D中點連接BM、PM.

因為PA=PD=母,所以所以尸M=])=7V22-12=1,

因為底面48CD是邊長為2的菱形，且/。/3=60。，

所以△48。是等邊三角形，所以且=百，

又PM=\,PB=2,所以尸笈=尸河2+臺新2,所以8M.

又由于且5”、4。是平面4BCZ)上的兩條相交直線，

故PA/JL平面48CZ).

又由于PMu平面尸,

所以平面尸40_L平面/BCD.

(2)以〃'為坐標原點，MA>MB-9為x、V、z軸正方向建立空間直角坐標系.

Z\

E

C

y

則P(0,0,l),4(1。0),5(0,V3,0),C(-2,V3,0),n(-1,0,0),

進而有E-1,

2'21

于是麗=(1,后0),DE=。李j

設平面EAD的法向量為々=(x),z),

6y=0

DBn{=x+?

則，1,令x=g\貝!Jy=_l,2=6,

■y+—z=0

2

所以平面防。的一個法向量*=(后

又平面PAD的一個法向量后=(0,1,0)，

々?%V7

故COS4,%=

7，

因此平面EBD與平面PAD所成銳二面角的大小為arccos——.

7

2.己知函數/口)=夕2，+5是定義域為R的偶函數.

⑴求實數a的值;

(2)已知關于x的方程2"/(x)+2)-左=0在xe[0,+⑹上有解，求實數人的取值范圍.

【答案】(1)。=1

(2)^>4

【分析】⑴由/(-%)=f(%)可構造方程求得。的值;

(2)利用換元法令”2，,xe[0,+8),從而得到方程/+2/+1一人=0在此1時有解，再分參數，求出右邊的

值域即可.

【解析】(1)由偶函數定義知：/(—X)-/(x),

即夕2-*+'=。-2-'+2、="2'+2一，，:.a=l.

2r

(2)由(1)知/(X)=2，+3,

2J(/(x)+2)-￡=0,gp2X\lx+^+l\-k=Q,

即(2*『+l+2x2,一左=0,令t=2，”［0,+8),則此1,

貝|J方程/+2f+l-左=0在fNl時有解，

則a=產+2/+1,令g(/)=(/+l『2(1+1)~=4,t>4,則上24.

3.2024年法國奧運會落下帷幕.某平臺為了解觀眾對本次奧運會的滿意度，隨機調查了本市1000名觀眾,

得到他們對本屆奧運會的滿意度評分(滿分100分)，平臺將評分分為

［50,60)、［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］共5層，繪制成頻率分布直方圖(如圖1所示).并在這些評分中

以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了

⑴求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數；

(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概

率；

(3)己知這1000名觀眾的評分位于［50,80)上的均值為67,方差為64.7,位于［50,100］上的均值為73,方差

為134.6,求這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差.

【答案】(1)68

27

(2)—

-95

⑶這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差分別為87,17.7.

【分析】(1)根據百分位數的定義求解即可；

(2)先求出［90,100］的人數，利用對立事件結合古典概型求解即可；

(3)根據題意利用分層抽樣的平均數和方差公式運算求解.

【解析】(1)V20x0.35=7,

...第35百分位數為第7,8兩個數的平方數竺產=68

(2)由圖1可知，圖2中［90,100］有2人,

所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分設為

事件A,

所以P(/)=l-與=1-史=幺.

(3)由題意可知：落在設0,80)的頻率為0.1+0.25+0.35=0.7,落在［80,100］的頻率為0.3,

因為這1000名觀眾的評分位于［50,80)上的均值為67,方差為64.7,

位于［50,100］上的均值為73,方差為134.6,

所以［=67,s：=64,7,x=73,？=134.6,

設這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差分別為兀局,

0.70.3

所以元=73=x67+?x解得：X=87,

0.7+0.30.7+0.322

0.7回7+@-73）1+晨

s2[s；+（87-73）[=134.6,

0.7+0.3

解得：s；=17.7.

這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差分別為87,17.7.

22

4.在平面直角坐標系xoy中，己知橢圓「：才+皆=1(°>0)的左、右焦點為耳、F2.

(1)若直線/：苫+丁-4=0與y軸相交于點？/,工到直線/的距離為2逝，求砧?瓦萬；

(2)若。=1,點A為橢圓「上的任意一點，設橢圓「的上、下頂點分別為〃1,初2，記片鳥的面積為H，

監的面積為$2,若￡>$2,求|。旬的取值范圍；

(3)若。=1,過點8(1,3)的直線與橢圓交于尸、。兩點(尸在0的上方)，線段尸。上存在點使得

\BP\力\MP，求|,阿|,+|,訝,怕勺最小值.

【答案】⑴函?不=-64

⑵苧)

⑶嚕

【分析】小問1：使用點到直線的距離公式結合向量的數量積求解，

小問2：表示出三角形的面積，利用橢圓的標準方程代入消元求解出相應的變量的范圍，進而求出的

范圍，

小問3：首先設直線尸。的方程，再設“國,必),。(%,%)，?(%,%),利用條件啟=總結合韋達定理

將M（x°,%）的橫坐標/用斜率上表示出來，再將m代入直線方程，求出為和斜率左的關系，進而利用斜率

左，求出M（x。,外）滿足的直線方程，然后根據直線尸0的斜率不存在時，尸=］，-1］

BP\\MP\1（3、

由胃=置=］，解出滿足斜率存在時的直線方程，最后利用將軍飲馬的思路，求對稱點求出

I孫I+M段的最小值.

【解析】（1）由已知耳（。⑼，因為/：x+y-4=o,

|Q+O—4/~/、

所以巴到直線/的距離d」/,「=2后,所以”=8,所以外8,0,

VI2+12

又因為N（0,4）,所以恒=（8,0）,可=（一8,4）,誠?百=8x（-8）+0x4=-64；

（2）當a=l時，「：［+＜=1,則￡（一1,0）,g（1,0）,

設孫NO,則岳=；區段.帆=河，邑=曰監弧巾|=；.26.國=6忖，

因為品＞$2,所以帆＞石國，EP/＞3x\又因為1+。=1,所以丁=311一；

所以31-亍＞3f,所以0vx2v$網=商+/卜+3

（3）顯然點8（1,3）在橢圓外，設尸（再,％）,0（工2,%）,Af（x0,y0）,

22

當直線尸。的斜率存在時，設直線尸。的方程為＞-3=左（》-1）與橢圓方程亍+g=l聯立消去九化簡得

（4左2+3）尤2+（24左一8左2）尤+4kz-241+24=0,

_8甘-24k

x+x

l2-4r+3

則由A=（24左一8左2丫一4卜左2+3）（4-一24左+24）＞0,

4左2-24左+24

X[X

24F+3

BP\MP\1-巧=玉々

得"2+2?-2>0,所以">6-1或"v-Vi-1，由-^77=^7^，可得

BQ|W|1-x2x0-x2

8k2-2Ak8后2-48左+48

解得Xo=\+寧二2x牛4介2+3-4a2+34左—8

2—（X]+X2）、8甘-24k4人+1

2一

4左—8\4人+3

,0=左（%-1）+3=左T+3=而？消去％可得"""。，

4左+1

當直線尸。的斜率不存在時，P0：x=l,尸［,,

\BP\MP\1（3、

由位=置=§，可得滿足方程/+5-4=°，

所以點n滿足直線x+4y-4=0,且位于橢圓的內部，設尸2（1,0）關于直線工+外-4=0的對稱點為

n-923

m=——

。（加,〃），貝上m-\1"J17

m+\,n24

+4-——4=0n二——

2217

又%（-1,0）,所以|孫|+\MF21=|孫|+\MD\>|7^Z）|=

8734

17

【點睛】在第三小問中利用直線尸。的斜率為“橋梁”求解出點M滿足的直線方程是解決這一問題的關鍵點.

5.對于集合4={%,出，。3,…,2且"eN*,定義N+/={x+y|工€//€/且》片訓.集合/中的元素個

數記為當|/+4=空心時，稱集合N具有性質:r.

⑴判斷集合4={1,2,3},4={1,2,4,5)是否具有性質r,并說明理由；

⑵設集合8={l,3,p,4}(，qeN,且3<p<q)具有性質「，若3+3中的所有元素能構成等差數列，求P、4

的值；

(3)若集合/具有性質「，且/+/中的所有元素能構成等差數列，問：集合/中的元素個數是否存在最大

值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)集合4具有性質「，集合4不具有性質r,理由見解析

(2)P，4的值分別為4,5或5,9

(3)存在最大值，最大值為4

【分析】(1)根據集合/具有性質「的定義進行判斷，可得答案；

(2)寫出3+3中的所有元素，分類討論，結合等差數列的性質，列出相應的方程組，解得答案；

(3)一數列新定義得在集合/+/中，a1+a2<a1+a3<---<an^+an<an_l+an,得到%+%-2=出+冊用，由

此分類討論，可確定〃的取值，可得答案.

【解析】(D4+4={3,4,5},|4+閡=3,故集合I具有性質

4x3

4+4={3,5,6,7,9},區+闋=5<;一,故集合4不具有性質r

(2)因集合B具有性質「，

故忸+司=6,5+3={4,1+°,1+%3+p,3+q,p+公,

(i)^4<l+p<l+q<3+p<3+q<p+q,

1+q<3+〃<

則，2(/l+〃：)=4+(:l+q、)，解得{「夕_=4,

20+q)=(l+p)+(3+p)q

經檢驗，符合題意，故的值分別為4,5.

(ii)若4<1+P<3+夕<1+9<3+9<夕+9，

3+p<l+q

則2(l+p)=4+(3+0，解得〃.

/、/\/、\Q=y

2(3+。)=0+。)+(1+0)

經檢驗，符合題意，故的值分別為5,9.

(3)不妨設,,,<1<%，

則在集合/+/中，a1+a2<a1+a3<---<an_2+a?<%+an.

又4+N中的所有元素能構成等差數列，設公差為d,

則"=(%+%)-(%+。2)=(%+%)一(。"-2+%)，

即d=%-g=-an_2，故%+*=/+.

當〃>5時，&，。3，。"-2，。"一1是集合力中互不相同的4項，

從而|/+/|<映』，與集合/具有性質「矛盾.

當〃=5時，2a3=a2+a4,即a2M3M4成等差數列，且公差也為d,

故Z+4中的元素從小到大的前三項為1+%，。1+4，。1+%，

且第四項只能是4+。5或%+。3.

(i)若第四項為％+。5，則/+%+4=%+%，從而%-。4="=。3-。2，

于是/+%=/+%，故恒+/|〈咚“，與集合/具有性質：r矛盾.

(ii)若第四項為電+。3，則％+%+□=%+〃3,故％+2d=電.

另一方面，(〃4+。5)-(。1+?)=9",即。5=%+74.

于是％+〃5=2al+72=2a2+32=a3+a4,

故M+與集合A具有性質:r矛盾.

因此，77<4.

由(2)知，〃=4時，存在集合/具有性質「，

故集合A中的元素個數存在最大值，最大值為4.

【點睛】本題考查了數列的新定義問題，綜合考查了學生的閱讀理解接受并理解新信息的能力,解答的關

鍵是理解新定義的含義并能依此解決問題，其中還要注意分類討論與整合的思想方法.

?>------B組?能力強化----------O

一、解答題

1.如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構成，半圓柱體底面直徑BC=4,/8=/C,NBAC=90°,D為

TT

半圓弧BG的中點.若異面直線9和/C所成角的大小為7,求:

A

(1)該幾何體的體積；

⑵直線BD和AB所成角的大小.

【答案】(1)8亞+40兀

71

⑵2

TT

【分析】(1)利用空間向量的坐標運算根據直線8。和/C所成角的大小為二，求出幾何體的高，進而可

4

求體積；

(2)利用向量的坐標運算證明直線3。和垂直，即可求解.

【解析】(1)連接4。，由題意得&。關于平面對稱，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設44]=h,

則A(0,0,0),B(0,2V2,0),C(2>/2,0,0),DQ&,2應,h),

所以麗=(2V2,0,/?),AC=(2V2,0,0),

因為異面直線BO和/C所成角的大小為

解得〃=2&，

\BD\-\AC\跖廬血V2

V=--AB-AC-h+--n-(—y-h

222

=--2V2-2V2-2V2+--7i-22-2V2=872+4V2TT；

22

(2)BD=(2V2,0,2VI),AB=(0,2A/2,0),

因為麗.刀=0，

JT

所以直線和43所成角的大小為

2.已知函數/(x)=Gcos2x+sinxcosx,

(1)若f(a)=]^-,求。；

（2）如果關于x的方程=m在區間（0/）上有兩個不同的實數根，求實數加的取值范圍

（由A[

【答案】（1）a=----^左左或。=—&k兀,左EZ；（2）加E{0}D1——,A/3UV3,l+——

124I2JI2J

【分析】（1）化簡得到〃x）=sin12x+（j+等，計算/■,）=與叵.\?20+三|=3解得答案.

（2）g（x）=|〃x）卜sin[2x+q）+t,畫出函數圖像，根據函數圖像得到答案.

【解析】(1)/(x)=V3cos2x+sinxcosx=+cos2x)+；sin2x=sinf2x+yj+

2

/(〃)=5山(2〃+工]+@=匕旦.sin(2a+^]=-

「I3J22I3J2

TTTTTT)7TTCTT

2a-\——=——F2k?；?aH——=----F2k兀,故。=----^左乃或。=——卜k兀，ksZ

3636124

(2)設g(x)=/(x)|=5,2彳+：|+菖

sin

則g(x)=

.7l\6「a2乃

-sin2xH-------,xG—,—

I3j2[23.

畫出函數圖像，根據圖像知：心=0或（加＜1+且或1-立〈加〈百

22

【點睛】本題考查了三角函數求值，函數的零點問題，畫出函數圖像是解題的關鍵.

3.為了了解廣大消費者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關性，某汽車APP采用問卷調查形式對400

名消費者進行調查，數據顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃

油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃油車的4倍.

購車意向

年齡段合計

愿意購買新能源車愿意購買燃油車

青年

中老年

合計

(1)完善2x2列聯表，請根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，分析消費者對新能源車和燃油車的意向購買

與年齡是否有關；

(2)采用分層隨機抽樣從愿意購買新能源車的消費者中抽取9人，再從這9人中隨機抽取5人，求這5人中

青年人數的分布和期望.

2n(ad-bcY

附:V=---------------------------------------------------n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【答案】(1)列聯表見解析，有關

(2)分布列見解析，y

【分析】(1)根據題意分別求出愿意購買新能源車的中年人數和青年人數以及愿意購買燃油車中年人數和

青年人數，即可補全列聯表，再根據/公式計算出，根據表格即可判斷；

(2)先求出抽取9人中青年人數和中年人數，求出青年人數的可能取值及其對應的概率，即可求出分布列,

再由數學期望公式即可求解.

【解析】(1)中老年共有150人，且愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃油車的2倍，

所以愿意購買新能源車的中老年人數為100人，愿意購買燃油車的中老年人數為50人，

青年共有250人，愿意購買新能源車是愿意購買燃油車的4倍，

所以青年中愿意購買新能源車為200人，愿意購買燃油車為50人，

故2x2列聯表如下：

年齡段購車意向合計

愿意購買新能源車愿意購買燃油車

青年20050250

中老年10050150

合計300100400

零假設:消費者購買新能源車和燃油車的意向與年齡無關,

n(ad-bc)2400(200x50-100x50)2

Z2?8.889>6.635=x

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~250x150x300x100001

根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷〃。不成立,

即認為消費者購買新能源車和燃油車的意向與年齡有關；

2

(2)愿意購買新能源車的共有300人，青年人與中老年人的比例為

所以分層隨機抽樣抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，記這5人中,

青年的人數為X,則X的可能取值為2,345,

「3

2r二工尸(X=3)=2

尸(X=2)=,=42'1)C：21'

50

eV1福5尸"5)=罟rr』i

所以X的分布列如下:

X2345

51051

P

42211421

則E(X)=2X2+3XW+4X』+5X-!-=W

'/422114213

所以這5人中青年人數的期望為

22

4.已知橢圓｝=的下頂點為A,右焦點為尸，離心率為苧，P是橢圓C上一動點，當

直線/P經過點尸時，原點。到直線/尸的距離為也.

2

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵設直線/尸與圓相交于點M(異于點A),M關于。的對稱點記為N,直線/N與橢圓C

相交于點。(異于點A).

①若|/尸|=2|/叫，求△/尸。的面積；

k

②設直線ACV、尸。的斜率分別為匕、《，試探究廣}是否為定值，并說明理由.

【答案】（1）［+必=1

⑵①至1;②證明見解析

9

【分析】（1）運用橢圓的離心率公式以及點到直線的距離公式，解方程可得。，b,c,進而得到所求橢圓

方程；

（2）①設直線/P的斜率為左，則直線/P的方程為了=h-1,聯立橢圓方程可得尸的坐標，聯立圓方程可

得新的坐標，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求得0的坐標，由|/尸|=2|/時可得無，求得p,Q

坐標，以及|/以，由△/尸。的面積為:|力斗以。|,計算可得；②運用兩點的斜率公式，分別計算線AW

的斜率為勺，直線尸。的斜率為左2，即可得證.

【解析】（1）據題意，橢圓。的離心率為魚，即￡=也.

2a2

當直線/尸經過點尸時，直線/P的方程為±+4=1,即6x-cy-6c=0,

c-b

由原點。到直線z尸的距離為心，可知產7,即產，=4

2yjb2+tc22yjb2+c22

聯立可得，a=2,c=6故〃=/一,2=1.

所以橢圓C的方程為二+F=l.

4-

（2）①據題意，直線/P的斜率存在，且不為0,

設直線/P的斜率為左，則直線/尸的方程為尸船-1,

2

聯立?+/=1,整理可得(1+4/)/-8履=0,

8k

所以》=0或》=

1+4左2

8k4k2~r

所以點尸的坐標為1+4/'4/+1,

聯立y=AX-1和/+>2=1,

整理可得(1+/b2-2h=0,所以x=o或

1rft

(2kk2-r

所以點M的坐標為[1+左2'后

顯然，是圓。的直徑，故

所以直線/N的方程為k

k

［±-i

用代替人得點。的坐標為刀上，弓一

8k4_r、

即。-

左2+4'4+左2,

①由|，尸|=2］，〃|可得，xp=2XM,

8k二2?普解得』f

即

1+4左2

根據圖形的對稱性，不妨取左=交，

2

'A51A(oB7、

則點尸，2的坐標分別為［卷一「周一，；)

故|蟲=竽，園=孚.

所以A/P0的面積為［/尸=J_XtAX還=竺/.

21112399

222

lr-1lr+1Jr-1

②直線■的斜率.虧=丁

4F-14-r

4左2+14+42_左2一1

直線尸。的斜率幻=

8k—8k5k

1+4左2左2+4

得證.

【點睛】知識點點睛：本題主要考查橢圓的方程和性質，考查直線和橢圓方程聯立，以及直線與圓的方程

聯立，解方程求交點，考查直線的斜率公式的運用以及“設而不求，整體代換的思想”，化簡整理的運算能力,

計算量較大，屬于中檔題.

5.已知。為實數，/(x)=(x+a)ln(x+l).對于給定的一組有序實數(后,加)，若對任意為，x2e(-l,+oo),

都有［g-〃再)+加］［g-〃％)+?。軳O,則稱伍，加)為/(x)的“正向數組”.

⑴若a=-2,判斷(0,0)是否為f(x)的“正向數組”,并說明理由；

(2)證明：若化加)為“X)的“正向數組”，則對任意x>T,都有近-”x)+〃7W0；

(3)己知對任意/,(7'伉)J-(%))都是/(x)的“正向數組”，求a的取值范圍.

【答案】(1)(0,0)不是/(力的“正向數組”;

(2)證明見解析；

(3)。的取值范圍是(-叫1].

【分析】(1)代入有〃x)=(x-2)ln(x+l),根據函數性質得到〃x)的正負時不同取值情況即可；

(2)假設存在%>-1,使得辰-/(%)+加>0,通過正向數組定義轉化得對任意x>-l,6-/(x)+加20恒成立,

設尸(x)=(x+a)ln(x+l)-Ax-加，再利用函數的性質即可證明假設不成立；

(3)代入有r(xo)x-/(x)+/(xo)-xor(xo)>O恒成立或八%)x-/(x)+/(%)-％/(%)V0恒成立,設

g(x)=/(x)-r(x0)x,求出g(x0)是g(x)的最大值或最小值時。的取值范圍即可.

【解析】⑴若a=-2,/(x)=(x-2)ln(x+l),

對住,優)=(0,0),即[AX1-/(X1)+777][AX2-/(X2)+7H]=/(X1)./(X2),

而當％e(0,2),尤2?僅,+8)時，

/(X])=(X[-2)ln(x1+1)<0,/(x2)=(x2-2)In(x2+1)>0,

即/(』)?/(xJ<0,不滿足題意.

所以(0,0)不是〃x)的“正向數組”.

(2)反證法:假設存在％>T,使得質-/(力+%>0,

V化加)為〃x)的“正向數組”，

對任意芯>-1，都有[Ax0-/(x0)+m\-\lcc'o-f(x'o)+m]>0.

，對任意x>T,6-/(x)+機20恒成立.

令尸(x)=(x+a)ln(x+l)-Ax-m,則尸(x)40在上恒成立，

F((x)=ln(x+l)+工+；=ln(x+l)+——^+(1-左),

設G(x)=F'[x)=ln(x+l)+--；+(1一)),

G'(H=」一-a—1x+2—a

')x+1(x+l)2(x+l)2，

則當。>1時，G(無)在(Ta-2)上為負,在(“-2,+8)上為正,

所以G(x)=〃(x)在(T,a-2)上單調遞減，在(“-2,+動上單調遞增;

若尸，(a-2)<0,當X--1,尸<x)f+8,當x-?+8,N(X)->+8,

即存在戶'(X])=尸'(%2)=0，使斤'(X)在(-1,西)上為正，在(占,%)上為負，在(工2,+8)上為正，

所以FQ)在(T,xJ上單調遞增，在(再,％)上單調遞減，在(乙，+8)上單調遞增，

又當Xf-l,尸(x)f-8,當Xf+8,尸(x)f+8,則F(x)的值域為R；

若/("2)20,r(x)>r(a-2)>0,F(x)在(-1,+8)上單調遞增,

又當XT■-1,尸(x)f-oo,當xf+8,F(x)->+oo,則F(久)的值域為R.

當時，G(x)=(2「0,G(x)=F(x)在(T+8)上單調遞增,

又當F(x)T?-00,當Xf+8,9(x)f+oo,

必存在尸(不)=0,使斤'(X)在(-1,再)上為負，在(X],+8)上為正，

所以FQ)在(-1,再)上單調遞減,在(西,+8)上單調遞增,

又當XfT,尸(X)f+8,當xf+8,/(x)f+8,貝I]F(X)的值域為[尸(國),+8).

由值域可看出，與尸(x)VO在(-L+S)上恒成立矛盾.

一對任意x>-l,都有foc-/(x)+機40.

(3)V(/'(X。)都是“X)的“正向數組”，

.對任意X],x2e(T,+8),都有

[/'(%)再-)+"%)-％](%)][尸(%)&-f(%)+/(%)-)[20,

則，'(%)尤-〃%)+，(％)-％/'(入0)2。恒成立或/'(尤0)》-，(無)+，(%)-%/''(%)40恒成立,

即/(X)-/(%)無4/(尤0)-/(%)無0恒成立或/'(力-，(龍()卜。/(%)-/?0)/恒成立,

設g(x)=/(x)-1f(尤o)x=(尤+a)ln(x+l)-1f(xo)x,

則/(%)-廣(%)%=8(%)，

即g(%)是g(x)的最大值或最小值.

l

g'(x)=/'(x)_/'(Xo)=ln(x+l)+^^一/'(X0)=ln(x+l)+^^+[l_/'(x())],

人"T"J.Jx-I*J.

,,

jag^xo)=/(x0)-/(x0)=o.

當a>l時，由(2)可得，8@)=(》+°)1!1(_￥+1)--'。0)_￥=尸@)+加的值域為R,無最大值或最小值;

當aVI時,g〈x)=ln(x+l)+合+[1-尸(％)]在(-1,+8)上單調遞增,

又g'(Xo)=/'(Xo)-/'(Xo)=O,則g'(x)在(T,%)上為負，在(%,+」)上為正,

所以g(x)=/(x)-&)x在(-1,%)上單調遞減，在(x。,+動上單調遞增,

則g(X。)是g(X)的最小值，滿足g(x)=/(x)-最(%)X2/(X。)-廣(%)%,

此時對任意X],x2G(-1,+<?),都有

xXXxXxxxxx

[_f(o)1-/(1)+/(o)-J'(o)][/*(o)2-/(2)+/(o)-xof'(xo)]>0.

二。的取值范圍是(-8』.

【點睛】關鍵點睛：本題第2問的關鍵是運用反證法，通過函數的圖象與性質推理出與假設矛盾的結論，

最后即得到證明；本題第3問的關鍵是理解“正向數組”的變形推理得到/(x)-//'(x0)x。恒

成立或/(力-/'(%),"/)-/(%區恒成立,并構造函數g(x)=/(x)(x°)x,得到g(x0)是g(x)的

最大值或最小值，最后結合前面的證明得到結果.

o-----------c組?高分突破-----------<>

一、解答題

1.已知在△4BC中，角42,C所對的邊分別為“，瓦C,且滿足a=J5b,a>c,

siib4+cos(5+C)=cos(5-C)；

⑴求角C的值；

(2)若△4BC的面積為:，求△4BC的周長.

【答案】(l)c=:

4

⑵1+6

【分析】(1)由$3+儂(8+。)=3(8-。)，利用兩角和差的余弦公式化簡得siiL4=2sin5sinC,再根據

題中條件利用正弦定理進行化簡求出sinC="l,最后根據角的大小關系，確定角C的值；

2

■JT

(2)由4=回，C=~,借助余弦定理求出6=c,即△/BC為等腰直角三角形，再根據ZUBC的面積為

),求出。,6,c的值，即可得到的A/BC的周長.

【解析】(1)由題意得：siib4+cos^cosC-sin5sinC=cos^cosC+sinBsinC,

BP：sirk4=2siiiSsinC,

?/a=41b，/.siib4=V2sin5，

6

又sin5wO,因止匕sinC=?,

2

因為Q〉c,因此/>C,故C為銳角，

IT

因此。=%

4

JT

(2)由Q=y/2b，C=—,

則由余弦定理：c?=G+b?—2abcosC=2b?+b?—Zxjib?X叵=b?,得：b=c,

2

因此可得：B=C=，71N=7Tg,因此，ZUBC為等腰直角三角形，

42

又S=N=：得:b=c*，"=$/卜閆=1

因此，△4BC的周長為1+VL

2.已知△N2C和所在的平面互相垂直，AD1AE,AB=2,AC=4,/A4c=120。，。是線段2c

的中點，AD=43.

(1)求證：ADLBE；

⑵設/E=2,在線段/￡上是否存在點尸(異于點A),使得二面角4-8尸-C的大小為45。.

【答案】(1)證明見解析

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)根據余弦定理計算3c=2后，根據勾股定理得到月。2確定平面H8E,得到證

明.

(2)建立空間直角坐標系，計算各點坐標，平面4BF的一個法向量為7=(0,1,0),平面C2廠的一個法向

量為的=。，周一,2，根據向量的夾角公式計算得到答案.

\)

【解析】⑴BC2=/162+/152-2^C-745-cosl20°=4+16+8=28,故BC=2后,

BD=yf7,則BO?=/32+AC)2,故/。1/8,

又N￡)_LZE,平面ZBE,AEcAB=A,故/D_L平面48E,

8Eu平面48E,i^ADLBE,

(2)△NBC和所在的平面互相垂直，則平面/8Cn平面4DE=AD,

4。1ZE且4Eu平面4DE,故NE_L平面4BC,

如圖所示：以AB,AD,AE分別為xj,z軸建立空間直角坐標系，

ZM

則4(0,0,0),5(2,0,0),C(-2,273,0),設尸(0,0,a),ae(0,2],

平面Z8F的一個法向量為%=(0,1,0),

—.fw,?BC=2y/3y-4x=0

設平面CBE的一個法向量為%=(x,%z),則^____.-

n2-BF=—2x+az=0

，解得“=26,不滿足題意.

綜上所述：不存在點尸，使二面角的大小為45。.

3.為幫助鄉村脫貧，某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量y（單位:

g/m3）與樣本對原點的距離x（單位：加）的數據，并作了初步處理，得到了下面的一些統計量的值.（表

99999

￡(x,-q2

XyU之(%-盯Z(x,-可(凹-刃E(%-謂乂%-刃

Z=1Z=1Z=1i=li=\

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

（1）利用樣本相關系數的知識，判斷歹=。+爪與/=，+。哪一個更適宜作為平均金屬含量了關于樣本對原點

的距離X的回歸方程類型？

⑵根據（1）的結果回答下列問題：

（i）建立了關于X的回歸方程；

（ii）樣本對原點的距離X=20時，金屬含量的預報值是多少？

（3）已知該金屬在距離原點x米時的平均開采成本少（單位：元）與％＞關系為少=100（y-lnx）（14x4100）,

根據（2）的結果回答，x為何值時，開采成本最大？

【答案】（i）y=c+4

X

⑵（i）y=100-—；（ii）99.5g/m3

X

⑶10

【分析】（1）根據所給數據求出相對應的相關系數，即可判斷；

（2）（i）由（1）及所給數據求出力、a,即可得到回歸方程；（ii）將x=20代入計算即可；

（3）依題意，可得獷=100（）（100-J-lrw］,令/（x）=100-?-lnx,利用導數求出函數的單調性，即可

求出函數的極大值點，從而得解.

9

2（占-可（%-刃

26.13

【解析】（1）因為＞=。+區的線性相關系數4=i=l?0.898,

1~99760x14.12

區（占一亍一刃2

V/=1i=l

9

￡(%-筋)(%-刃

一1.40

y=c+4的線性相關系數弓i=l?-0.996,

ri~~9V0.14xl4.12

X￡(%-琦￡(力-刃2

i=lZ=1

；用＜同，

..y=c+-更適宜作為平均金屬含量V關于樣本對原點的距離x的回歸方程類型.

X

9

.