第01講相交線

T模塊導航—素養目標。

模塊一思維導圖串知識L理解相交線的相關概念；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.利用鄰補角，對頂角的性質進行計算;

模塊三核心考點舉一反三3.識別三線八角.

模塊四小試牛刀過關測

模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

一、相交線

直線的位置關系：在同一平面內不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.

1.垂線

定義：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做

另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

示例：如圖所示，直線AB,CD互相重直，記作：“ABLCD"（或“CDLAB”），讀作“AB垂直于CD"（或“CD

垂直于AB”）.如果垂是是0,記作“AB_LCD,乘足為0”.

1

c

垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

【注意】

1）已知直線的垂線有無數條，但在同一平面內，過一點畫已知直線的垂線只能畫一條.

2）必須強調在同一平面內，若是在空間中，則經過一點與已知直線垂直的直線有無數條.

垂線段的定義：如圖，點P為直線外一點,PO，m,垂足為0,稱P0為點P到直線m的垂線段.

垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P

與直線m上的各點連線中，線段P0最短.

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

【注意】

1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，容易出現概念混淆的錯誤;

2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.

二、相交線中的角

1.對頂角與鄰補角

種類圖形頂點邊的關系大小關系

對頂角有公共一個角的兩邊分別是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

頂點兩邊的反向延長線

Xd

鄰補角X有公共兩個角有一條公共邊，且它們Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

頂點的另一邊互為反向延長線.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

【補充說明】

1）對頂角的特征：1）有公共頂點；2）兩個角的兩邊互為反向延長線.

2）若兩個角互為對頂角，則它們一定相等，但兩個角相等，則它們不一定為對頂角.

2

2.同位角、內錯角、同旁內角

角的名稱位置特征基本圖形圖形結構特征

同位角在截線的同側，在被截兩形如字母“F”

條直線同側

內錯角在截線的兩側，且夾在兩形如字母“Z”

條被截直線之間

同旁內角在截線的同側，在被截兩△形如字母“U”

條直線之間

【補充】如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構成8個角，簡稱為“三多之八角”，其中共有4對同

位角，2對內錯角，2對同旁內角.

O＞模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：相交線的相關概念

1.（23-24七年級下.湖南郴州?期末）下列說法不E理的是（）

A.兩點之間，線段最短

B.兩條直線相交，只有一個交點

C.兩直線平行，同旁內角相等

D.過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短

2.（2024七年級上.全國?專題練習）如圖，已知ONj_a，OM1所以OM與ON在同一條直線上的理由是

（）

A.兩點確定一條直線

B.經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線“

■N

C.過一點只能作一條垂線

D.垂線段最短Oa

3.（23-24七年級下?廣東東莞?期中）如圖，與乙2是對頂角的為（）

3

2

4.（2024七年級上.全國?專題練習）下列說法正確的有（）

①對頂角相等；

②互補的兩個角是鄰補角；

③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；

④若兩個角不是對頂角，則這兩個角一定不相等.

A.I個B.2個C.3個D.4個

5.（22-23七年級下?廣西南寧?期中）下列各圖中，乙1與乙2互為鄰補角的是（）

LV.\、

考點二：指出現實問題后的數學依據

6.（24-25九年級上?貴州貴陽?期中）如圖，A,B,C,D四點在直線1上，點M在直線1外,MC1L若MA=5cm,

MB=4cm,MC=2cm,MD=3cm,則點M到直線1的距離是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，欲在河岸AB上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C

處，可在圖中畫出CP垂直AB,垂足為P,然后沿CP鋪設，則能使鋪設的管道長最短，這種設計的依據

是：?

C

Z尸In8

8.（22-23七年級下?新疆博爾塔拉?期中）如圖是小凡同學在體育課上跳遠后留下的腳印，他的跳遠成績是

線段BN的長度，這樣測量的依據是.

4

9.(22-23七年級下?北京西城?期末)如圖，在三角形ABC中，47=90S點B到直線AC的距離是線段的

10.(23-24七年級下?北京?期末)如圖，若ABL】，BCLbB為垂足，那么A,B,C三點在同一直線上,

其理由是.

C

A''

1B

考點三：畫垂線

11.(24-25七年級上?全國?課后作業)利用網格畫圖：

⑴過點C畫AB的垂線，垂足為E；

(2)線段CE的長度是點C到直線的距離；

(3)連接CA,CB,在線段CA,CB,CE中，線段最短.

12.(22-23七年級下?遼寧沈陽?階段練習)如圖，點P是010B的邊OB上的一點.

(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點C；

(2)過點P畫OA的垂線段，垂足為H；

5

⑶點P到直線0A的距離為,線段的長度是點C到直線0B的距離；

13.（24-25七年級上?全國?課后作業）如圖，已知銳角”0B，畫射線0C104射線0DJ.OB，并直接寫

出乙408與乙COD的關系?

備用圖備用圖備用圖

考點四：判斷已知圖形中鄰補角的個數

14.（23-24七年級上?全國?單元測試）如圖,直線AB與CD相交于點0,0E是以0為頂點的一條射

線，圖中的對頂角和鄰補角各有（）

C.2對、6對D.3對、8對

15.（23-24七年級下?天津河北?期中）如圖,直線AB,CD,EF相交于點。則“0D的鄰補角是（）

A.^BOD^LAOCB.LBOE^LAOF

c./0F和“OFD.LBOC

16.（22-23八年級上?黑龍江哈爾濱倜測）如圖，點。是直線AB上一點，自點。引射線0C、00,0E、0廣，

圖中共有一對鄰補角.

17.（22-23七年級下?河北滄州?階段練習）如圖，直線48、CD相交于點。，U0廣=Z.DOE.

B

D

F

6

(1)圖中的對頂角有對；

(2)乙的鄰補角是；

(3)如果"oc=70c-乙EOD=32°-那么乙B0E=.

考點五：交叉圖形中的角度計算

18.(24-25七年級上?吉林長春?階段練習)如圖，直線AB,CD相交于點0,0A平分zEOC

(1)若乙EOC=70'，求乙BOD的度數；

(2)若鑒契OC：鑒契OD=2：3,求乙BOE的度數.

19.(24-25七年級上?吉林長春?階段練習)如圖，直線AB,CD相交于點0,0"1

M

(1)若zl=42,貝上2的余角有.

(2)若41=；XBOC,

20.(23-24七年級上.吉林四平.期末)如圖，射線OA的方向是北偏東2(T，射線OB的方向是北偏西35、射

線OD是OB的反向延長線，且射線OA平分乙B。。解答下列各題：

(1)射線OC的方向是；

(2)求乙COD的度數；

(3)若射線OE的方向是東南方向，請直接寫出乙COE的度數.

21.(24-25七年級上?全國?課后作業)如圖，。是直線AB上一點，過點。作OC、OD、0E三條射線，0D平

分"OC，LAOE=^BOD.

7

C

DE

(1)若UOC=60'，貝上BOE的度數為；

(2)若乙COE=3U0C，求乙BOE的度數；

⑶在(2)的條件下，若過點。作射線OF使得乙EOF=90,求”OF的度數.

22.(24-25七年級上?全國?課后作業)如圖，直線AB.CD交于點0,0E.OF分另U在乙B0C"0D內部，

且OD平分乙BOR

⑴乙40c的對頂角是；

⑵若"OF=40°,LCOE=100'，貝"BOE的度數為；

⑶若OB平分乙EOF,乙4OC：UOF=1：3,求“。E的度數；

(4)若U0E=ZLEOF,4BOE=60'，判斷OB是否平分乙EOF，并說明理由.

23.(23-24七年級上.貴州黔東南?期末)已知：點0為直線AB上一點，過點0作射線OC,LBOC=110°.

⑴如圖1,求乙40c的度數；

(2)如圖2,過點0作射線OD,使乙COD=90',作zJOC的平分線0M,求乙MOD的度數；

(3)如圖3,在(2)的條件下，作射線OP,若乙BOP與U0M互余，求4cop的度數.

考點六：三線八角的識別

24.(23-24七年級下?甘肅隴南?階段練習)如圖，BF,DE相交于點A,BG交BF于點B,交AC于點C.

(1)指出DE,8C被BF所截形成的同位角、內錯角、同旁內角;

(2)指出DE,BC被AC所截形成的內錯角；

8

（3）指出FB,BC被AC所截形成的同旁內角.

25.（23-24七年級上?全國?單元測試）找出圖中與乙1是同位角、內錯角、同旁內角的所有角.

26.（23-24七年級下?全國?課后作業）如圖，指出圖中直線AC,BC被直線DE所截形成的同位角、內錯角、

同旁內角.（僅指用數字標出的角）

27.（21-22七年級下.河北石家莊?階段練習）如圖，AB,AC射線與直線EF分別相交于點X,G.按要求

（1）圖中共有一對對頂角，一對內錯角；

（2）①的同旁內角是_；

GC和饕契HB是由哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是具有什么位置關系的角？

（3）過點G畫射線AB的垂線，交AB于點并指出哪條線段的長度表示點G至IjAB的距離.

28.（23-24七年級下?全國?課后作業）如圖，一個方塊從某一個起始角開始，經過若干步跳動后，到達終

點角，跳動時，每一步只能跳到它的同位角或內錯角或同旁內角的位置上，例如：從跳到終點位置乙6的

路徑1：乙1一內錯角乙7T同旁內角乙6；

9

路徑2：乙1一同旁內角饕？3一內錯角柴？OT同位角48一同旁內角45一同旁內角乙

（1）寫出任意一條從起始位置一終點位置43的路徑；

（2）從起始位置41依次按內錯角、同位角、同旁內角的順序能否到達終點位置/2?并寫出路徑.

3模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

1.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，直線AB、CD相交于點0,饕燙0D=90擄.下列說法不正確的

是（）

A.LAOD=NBOCB.〃0C=LAOE

C.鑒端0E+饕燃OD=90擄D.鑒煨0D+鑒燃0D=180擄

2.（2024七年級上?全國?專題練習）2024年香洲區舉辦了第六屆風箏節.如圖所示的風箏骨架中，與乙3構

3.（24-25七年級上?黑龍江綏化?階段練習）下面四個圖形中，￡1與〃是對頂角的為（）

4.（2024七年級上?全國?專題練習）點P為直線MN外一點，點A、B、C為直線MN上三點，PA=4cm,PB=

5cm,PC=2cm,則點P到直線MN的距離為（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm團

5.（24-25九年級上?吉林長春?階段練習）如圖在金目坎BC中饕艱CB=90擄，CD黜B,D為垂足，則下列

說法中，錯誤的是（）

10

A

D

A.點B到AC的距離是線段BC的長B.線段CD是AB邊上的高

C.線段AC是BC邊上的高D.點C到AB的距離是線段AC的長

6.（24-25七年級上?河南鶴壁?階段練習）如圖,在所標識的角中，下列說法不正確的是（

A.乙1與乙5是內錯角B.匕3與乙5是對頂角

C.乙1與乙4是同位角D.21與42是同旁內角

7.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖,利用工具測量角，則乙1的大小為（）

C.120擄D.150擄

8.（20-25七年級上?河南南陽?階段練習）如圖，E是直線CA上一點，饕尷EA=40擄，射線EB平分饕煲EF,

A.1OCB.20cC.30cD.40°

9.（24-25七年級上?云南文山?期中）下列各圖中，乙1與乙2是內錯角的是（）

11

38.（24-25七年級上?河北衡水?期中）如圖，點。在直線AB上，乙40D=225，柴端0C=45擄，0E平

分柴煨0C,則饕契0C的補角是（）

B.饕蜘0E或鑒減0B

C.鑒斕0E或鑒頰0B或U0C+/D0ED.以上都不對

!?1

二、填空題

11.（22-23七年級上?陜西咸陽?期末）已知0A劍C,乙40B:U0C等于4:5,則饕燃0C的度數為

12.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，若=30°,Z2=110c-則￡3的同位角的大小是，d的

內錯角的大小是，z3的同旁內角的大小是.

13.（2024七年級上.全國?專題練習）如圖，已知點。是直線AB上一點，柴斕OC=50擄，OD平分柴斕OC,

OE=90擄，請寫出下列正確結論的序號.

①乙80c=130°；②柴斕OD=25擄；③乙B0D=155°；④柴煲。￡=45擄-

14.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，直線AB、CD相交于點0.已知饕燃OD=75擄，OE把饕端OC分

成兩個角，且乙40E=，E0C,將射線OE繞點0逆時針旋轉角a（0°<a<360°：到OF,若UOF=120,時，偽

的度數是擄.

三、解答題

15.（23-24七年級下.全國?假期作業）古城黃岡旅游資源十分豐富，“桃林春色，柏子秋蔭”便是其八景之

12

.為了實地測量“柏子塔”外墻底部的底角（圖中鑒端BC）的大小，張揚同學設計了兩種測量方案:

cD,

\//

^

\

NE

方案1：作AB的延長線，量出鑒煲BD的度數，便知鑒煨BC的度數；

方案2：作AB的延長線，CB的延長線，量出鑒頰BE的度數，便知鑒斕BC的度數.

同學們，你能解釋他這樣做的道理嗎？

16.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，直線AB,CD被直線EF所截，如果乙1與乙2互補，且夔？=120擄,

那么乙3,乙4的度數各是多少？

17.（21-22七年級上?浙江麗水?期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O,OE黜D且0E平分爨端0F.

⑴若鑒燃0D比柴燃0E大10。，求柴煲OF的度數.

（2）證明：0C是饕端OF的平分線.團

18.（23-24七年級上?浙江杭州?期末）直線AB,CD相交于點。，過點。作0E黜D.

圖1圖2

（1）如圖1,若4BOD=27°44'，求柴斕0E的度數.

（2）如圖2,作射線0F使乙EOF=U0E，貝UOD是饕斕OF的平分線.請說明理由.

13

0

(3)在圖1上作0G黜B,寫出柴煲0G與饕燃0E的數量關系，并說明理由.

19.(24-25七年級上?吉林長春?階段練習)如圖，O為直線AB上一點，??0C=50?,OD平分饕端0C,攀臻0E=

90擄.

(1)請你數一數，圖中有一個小于平角的角；

(2)鑒煲0D的余角有二

⑶求出柴端0D的度數.團

20.(23-24七年級下.河南濮陽.期末)如圖，直線4B、CD相交于點。，E0黜B,垂足為0.

(1)若鑒iftOE=30擄，則鑒斕0D=°；

(2)若鑒煲OE=60擄，則柴斕0D=°；

(3)猜想饕州0D和饕煲0E的關系是,并證明關系式成立.

14

第01講相交線

T模塊導航—素養目標*

模塊一思維導圖串知識1.理解相交線的相關概念；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.利用鄰補角，對頂角的性質進行計算;

模塊三核心考點舉一反三3.識別三線八角.

模塊四小試牛刀過關測

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

一、相交線

直線的位置關系：在同一平面內不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.

1.垂線

定義：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做

另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

示例：如圖所示，直線AB,CD互相重直，記作：“ABLCD"（或“CDLAB”），讀作“AB垂直于CD"（或“CD

垂直于AB"）.如果垂是是0,記作“AB_LCD,乘足為0”.

15

c

垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

【注意】

1）已知直線的垂線有無數條，但在同一平面內，過一點畫已知直線的垂線只能畫一條.

2）必須強調在同一平面內，若是在空間中，則經過一點與已知直線垂直的直線有無數條.

垂線段的定義：如圖，點P為直線外一點,PO，m,垂足為0,稱P0為點P到直線m的垂線段.

垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P

與直線m上的各點連線中，線段P0最短.

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

【注意】

1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，容易出現概念混淆的錯誤;

2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.

二、相交線中的角

1.對頂角與鄰補角

種類圖形頂點邊的關系大小關系

對頂角有公共一個角的兩邊分別是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

頂點兩邊的反向延長線

Xd

鄰補角X有公共兩個角有一條公共邊，且它們Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

頂點的另一邊互為反向延長線.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

【補充說明】

1）對頂角的特征：1）有公共頂點；2）兩個角的兩邊互為反向延長線.

2）若兩個角互為對頂角，則它們一定相等，但兩個角相等，則它們不一定為對頂角.

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2.同位角、內錯角、同旁內角

角的名稱位置特征基本圖形圖形結構特征

同位角在截線的同側，在被截兩形如字母“F”

條直線同側

內錯角在截線的兩側，且夾在兩形如字母“Z”

條被截直線之間

同旁內角在截線的同側，在被截兩形如字母“U”

條直線之間△

【補充】如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構成8個角，簡稱為“三多之八角”，其中共有4對同

位角，2對內錯角，2對同旁內角.

O＞模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：相交線的相關概念

1.（23-24七年級下.湖南郴州?期末）下列說法不E理的是（）

A.兩點之間，線段最短

B.兩條直線相交，只有一個交點

C.兩直線平行，同旁內角相等

D.過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短

【答案】C

【分析】本題考查線段公理，平行線的性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.根據

線段公理，平行線的性質，垂線段最短等知識一一判斷即可.

【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，故本選項不符合題意；

B、兩條直線相交，只有一個交點，正確，故本選項不符合題意；

C、兩直線平行，同旁內角互補，原說法錯誤，故本選項符合題意；

D、過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短，正確，故本選項不符合題意；

故選：C.

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2.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，已知ONla，0M1a，所以OM與ON在同一條直線上的理由是

（）

A.兩點確定一條直線

B.經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線曾

■N

C.過一點只能作一條垂線

D.垂線段最短O

【答案】B

【分析】本題考查了垂線的基本事實，根據垂線的基本事實結合圖形得出結論是解題關鍵.利用同一平面

內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進而得出答案即可.

【詳解】解：因為°N創，0MM,

所以直線ON與0M重合，

其理由是：同一平面內，經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，

故選：B.

3.（23-24七年級下?廣東東莞?期中）如圖，乙1與z2是對頂角的為（）

【答案】C

【分析】根據對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩邊互為反向延長線，這樣的兩

個角叫做對頂角，由此對各選項作出判斷即可.

本題考查對頂角的定義，解題的關鍵是理解對頂角的定義.

【詳解】解：根據對頂角的定義可知：只有選項C是對頂角，其它都不是.

故選C.

4.（2024七年級上.全國?專題練習）下列說法正確的有（）

①對頂角相等；

②互補的兩個角是鄰補角；

③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；

④若兩個角不是對頂角，則這兩個角一定不相等.

18

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念，熟記它們的概念和性質是解題的關鍵.

根據對頂角的概念、鄰補角的概念判斷即可.

【詳解】解:①對頂角相等，說法正確；

②互補的兩個角不一定是鄰補角，本小題說法錯誤；

③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角，說法正確；

④兩個角不是對頂角，這兩個角也可能相等，本小題說法錯誤；

故選:B.

5.（22-23七年級下?廣西南寧?期中）下列各圖中，乙1與乙2互為鄰補角的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了對頂角.根據對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個

角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角，進行判定即可得出答案.

【詳解】解：選項A和C中的圖形都沒有公共頂點，選項B中雖然有公共頂點，但一個角的兩邊不是另一

個角的兩邊的反向延長線，故選項A、B和C中的/I與/2不互為鄰補角；

根據對頂角的定義即可判斷D選項中，Z1與N2互為鄰補角.

故選：D.

考點二：指出現實問題后的數學依據

6.（24-25九年級上?貴州貴陽?期中）如圖,兒B,C,D四點在直線［上，點M在直線矽卜,MC11，若M4=5cm.

MB-4cmMC-2cm,MD-3cm,則點M到直線［的距離是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】A

【分析】本題主要考查了點到直線的距離，根據垂線的性質：直線外一點到這條直線的垂線段最短，結合

條件進行解答即可，解題關鍵是熟練掌握點到直線的距離的定義和垂線的性質.

【詳解】如圖所示：

19

.?.點M到直線I的距離是垂線段MC的長度，為2cm,

故選：A.

7.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，欲在河岸AB上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C

處，可在圖中畫出CF垂直48,垂足為P,然后沿CF鋪設，則能使鋪設的管道長最短，這種設計的依據

是：.

C

【答案】垂線段最短

【分析】本題考查點到直線距離的知識，根據兩點之間垂線段最短即可得出答案.

【詳解】解：解：已知在河岸4B上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，又知直線外一點到該直線

的最短距離是其垂線段，這種設計的依據是：垂線段最短，

故答案為：垂線段最短

8.（22-23七年級下?新疆博爾塔拉?期中）如圖是小凡同學在體育課上跳遠后留下的腳印，他的跳遠成績是

線段BN的長度，這樣測量的依據是.

【分析】本題考查了垂線段最短，理解相關含義是解題關鍵.

【詳解】解：測量的依據是垂線段最短，

故答案為：垂線段最短.

9.（22-23七年級下?北京西城?期末）如圖，在三角形4BC中，“=90',點8到直線4c的距離是線段的

長，BC<B4的依據是.

20

A

C°-----------------

【答案】BC垂線段最短

【分析】根據點到直線的距離的定義即可說明B到直線AC的距離是線段是BC；在根據兩點之間垂線段最短

即可證明B4

【詳解】V4C=90:.

：.AC1BC，

二點B到直線AC的距離是線段為BC；

?.■兩點之間垂線段最短，

...BC<BA,

故答案為：BC,垂線段最短.

【點睛】本題考查了點到直線的距離定義及兩點之間垂線段最短，熟記知識點是解題的關鍵.

10.（23-24七年級下?北京?期末）如圖，若AB1I，BCLb8為垂足，那么4B,C三點在同一直線上，

其理由是.

C

A''

1B

【答案】在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【分析】本題考查的是垂線的性質，利用在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直可得答

案.

【詳解】解：:4B制，BCSH,B為垂足，

??.4B,C三點在同一直線上，

理由是：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

故答案為：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

考點三：畫垂線

11.（24-25七年級上?全國?課后作業）利用網格畫圖：

（1）過點C畫的垂線，垂足為E；

21

⑵線段CE的長度是點c到直線的距離；

⑶連接C4CB,在線段C4CB,CE中，線段最短.

【答案】(1)見詳解

(2)/15

⑶CE

【分析】本題主要垂線及其做圖，點到直線的距離概念，垂線段最短，注意作圖的準確性.

(1)根據網格結構的特點，利用直線與網格的夾角的關系找出與4B垂直的格點；

(2)根據點到直線的距離概念回答；

(3)根據垂線段最短直接回答即可.

(2)解：線段CE的長度是點C到直線AB的距離，

故答案為：AB.

(3)解：連接C4CB,在線段中，線段CE最短,

故答案為：CE.

12.(22-23七年級下?遼寧沈陽?階段練習)如圖，點尸是—0B的邊。8上的一點.

⑴過點P畫。8的垂線，交04于點C；

(2)過點P畫。/的垂線段，垂足為H；

(3)點P到直線。幺的距離為,線段的長度是點C到直線08的距離;

【答案】(1)見解析

22

(2)見解析

⑶PH,PC

【分析】本題主題考查了垂線的作法、點到直線距離的定義等知識點，掌握垂線和垂線段的區別與聯系成

為解題的關鍵.

(1)如圖取格點2連接交。4于點C,直線即為所求；

(2)直接根據方格作圖即可；

(2)根據點到直線距離解答即可.

【詳解】(1)解：如圖：直線PD即為所求；

(2)解：如圖：線段PH即為所求.

(3)解：點P到直線。4的距離為P",線段PC的長度是點C到直線。8的距離.

故答案為：PH,PC.

13.(24-25七年級上?全國?課后作業)如圖，已知銳角UOB，畫射線OC_L。4射線。D_L0B，并直接寫

出“0B與乙COD的關系.

備用圖備用圖備用圖

【答案】畫圖見解析；LAOB=LCOD^LAOB+LCOD=180:

【分析】本題考查了垂線的定義，角的計算，同角的余角相等的性質，難點在于分情況討論.

分。C、0D在邊”的同側和異側分別作出圖形，然后分別進行計算即可得解.

【詳解】解：畫圖如圖①?④.LAOB="0D或"。8+MOD=180°.

理由如下：如圖1,

23

A

■-LAOB+LBOC=90°，乙COD+LBOC=90。，

■'-LAOB=乙COD；

如圖2,"OCLOA,OD1OB,

②

-tAOC=zBOD=90：，

-LAOB+LBOC=LAOB+"OD=90*.

-LAOB+￡BOC+U0B+U0D=180°，

又?zBOC+LAOB+LAOC="OD，

■-LAOB+LCOD=180°；

360擄―鎏炳OC-卷嫩）D=360擄―90擄—90擄=180我;

③

如圖4,.-OC1OA,OD1OB.

24

?MW+“》=90:ZCOD+ZAOD=90S

???—OB=乙COD；

綜上所述，—OB="OD或dOB+zCOD=180°.

考點四：判斷已知圖形中鄰補角的個數

14.（23-24七年級上?全國?單元測試）如圖，直線AB與CD相交于點O,OE是以。為頂點的一條射

)

4對C.2對、6對D.3對、8對

【答案】C

【分析】本題考查了鄰補角與對頂角的定義，根據鄰補角與對頂角的定義找出鄰補角和對頂角即可求解.掌

握定義是解題的關鍵.

【詳解】解：圖中對頂角有：塞帔明塞懈C,塞怫C與簽蜘D,共2對,

鄰補角有：饕煙QD與饕怫C,饕炳OD與饕懈D,簽煙1OE與集煨OE,箜燙OE與攀燙OE,緩微）C與善頒兀,

塞懈）C與塞蜘D,共6對，

故選：C.

15.（23-24七年級下?天津河北?期中）如圖，直線4B,CD,EF相交于點。.則UOD的鄰補角是（）

A.乙BOD和UOCB.乙80E和4OF

c.LDOF^LCOFD./_BOC

【答案】A

【分析】本題考查了鄰補角的概念：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩

25

個角，互為鄰補角，根據鄰補角的概念解答是解決問題的關鍵.

【詳解】解：根據鄰補角的定義可知，谷柳D的鄰補角是第觸口和筌嬲9C,

故選：A.

16.（22-23八年級上?黑龍江哈爾濱?周測）如圖，點。是直線4B上一點，自點。引射線OC、0D.0E、0F，

圖中共有一對鄰補角.

【答案】4

【分析】此題考查了鄰補角定義：和為180度的兩個有公共頂點且有公共邊的角是鄰補角，根據定義直接

解答.

【詳解】解：根據圖形可知，

LAOC+ZB0C=180'，LAOD+LBOD=180'，LAOE+LBOE=180'，LAOF+LBOF=180'-

故答案為4.

17.（22-23七年級下?河北滄州?階段練習）如圖，直線AB、CD相交于點。，LAOF=z:DOE.

（2）zT0B的鄰補角是；

（3）如果乙40c=70,LEOD=32°-那么乙80E=.

【答案】2饕敷A、鎏㈱D38°/38度

【分析】根據對頂角的定義及性質、鄰補角的定義及性質分析解答即可.

【詳解】解：（1）圖中的對頂角有翦物C和數翎D；然獄（0和蜜鈍C；共2對,

故答案為：2；

（2）蜜燙。8的鄰補角是賽為“4、箜煙OD,

故答案為：攀燙04、野嫩D；

⑶-.LAOC=70s-

■-LBOD=LAOC=70!-

-LEOD=32。，

■-LBOE=zBOD-LEOD=38。，

故答案為：38c.

26

【點睛】本題考查了對頂角的定義及性質、鄰補角的定義，熟練掌握數學基礎知識是解題的關鍵.

考點五：交叉圖形中的角度計算

18.(24-25七年級上?吉林長春?階段練習)如圖，直線4B.CD相交于點0.04平分々EOC.

(1)若4E0C=70'，求乙80D的度數；

⑵若攀燙0C:零燙0D=2:3,求乙BOE的度數.

【答案】(1)35’

(2)144擄

【分析】本題考查角平分線的定義，對頂角相等，以及鄰補角的定義.

(1)由角平分線的定義可求出440C=：M0C=35',再根據對頂角相等即可求解；

(2)設4E0C=2a貝LE0D=3?根據乙E0C+4E0D=180'，可列出關于x的方程，解出x的值，即

可求出?如C的大小，進而可求出卷斕加的大小.

【詳解】(1)解：攀,平分券.整。C,

LADC=-^￡OC=a*70*=353

,"BOD=乙40c=35。；

⑵解：?zEOCzEOD=2:3,

設4E0C=2A則乙EOD=3N

???根據題意得2%+3x=180擄,

解得：x=36擄,

LEOC=2x=72s-貝以EOA=36'，

:*4BOE=180°-36°=144'.

19.(24-25七年級上?吉林長春?階段練習)如圖，直線4B.CD相交于點0,0"J.

二MB

N

D

27

(1)若41=42,貝化2的余角有.

(2)若N1=三乙BOC，求々BOD和d0D的度數.

【答案】(1)繆頒簽熠0D

⑵&。D=120'，4BOD=60°.

【分析】此題主要考查了垂直的定義，對頂角的性質和鄰補角的定義計算，要注意領會由垂直得直角這一

要點.

(1)由垂線的性質求得“OM=.OM=90°，然后根據等量代換及余角的定義解答；

(2)根據垂直的定義求得UOM=zBOM=90=>再由=；/BOC求得乙B0C=120'，然后根據鄰補角

定義和對頂角的性質即可求解.

【詳解】⑴解：TO,WJMB，zl=z2>

zl+LAOC=Z2+LAOC=90'，即乙CON=90。，

-LAOC=Z.BOD-

券掙趣2的余角有：級頒)C,卷斕)D；

故答案為：甥觸C,攀螂)D；

(2)解：■；OM143,

LAOM=LBOM=90'，

???Zl=；zBOC,LBOC=LBOM+zl-

??.z.1==30',

LBOC=￡AOD=120!-

??乙BOD=180a-zJOC=60*.

20.(23-24七年級上.吉林四平?期末)如圖，射線04的方向是北偏東20，，射線。石的方向是北偏西35°、射

線OD是。8的反向延長線，且射線。/平分乙B0。解答下列各題：

(1)射線OC的方向是；

(2)求zCOD的度數；

(3)若射線OE的方向是東南方向，請直接寫出乙COE的度數.

【答案】(1)北偏東75。

⑵“0D=70=

28

⑶“OE=601

【分析】此題主要考查了方向角的表達，角平分線的定義，鄰補角，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)先求出“。8=55°，再求得耨物C的度數，即可確定。。的方向；

(2)根據U0E=55)LAOC=LAOB,得出LBOC=110c,進而求出然燙°。的度數；

(3)根據乙40B=55°,LAOC="0B，射線OE平分野費。。，即可求出“0E=35,再利用U0C=55：求

出答案即可.

【詳解】(1)解：如圖：

???射線。4的方向是北偏東20c，射線OB的方向是北偏西35c

???"OB=200+35°=55：

?.?射線。4平分數船C

?AOC=LAOB=55=

■■LNOC=20:-55==75,即射線℃的方向是北偏東75。

⑵解：,z4O8=55°,LAOC=LAOB^

■■■LBOC=110e-

■-LCOD=180°-￡BOC=180°-ZAAOB=70=；

(3)解：???射線OE的方向是東南方向，

:.￡M0E=45°,

???LNOC=75°

:.乙COM=90B-75°=15°

LCOE=15°+45°=60°

21.(24-25七年級上?全國?課后作業)如圖，。是直線4B上一點，過點。作。C、0。、OE三條射線，。。平

分“0C，LAOE=￡BOD-

(1)若A40c=60'，貝上BOE的度數為

(2)若zTOE=3U0G求乙BOE的度數；

29

(3)在⑵的條件下，若過點O作射線OF使得乙EOF=90°，求乙4。廣的度數.

【答案】⑴沏;

⑵的激?E的度數為緲；

⑶筋帆F的度數為70。或110擄.

【分析】本題考查了角平分線的定義和角的計算，熟練掌握角平分線的定義，并能夠根據題目已知條件找

到角度之間的等量關系列出等式是解題的關鍵.

(1)由條件。。平分套頒5c可得乙40D=30。，再由條件乙40E可得乙4。。=zBOE，通過等量代換

即可得到數物E的度數；

(2)由條件或無=3U0C，并結合⑴的結論MOD=zBOE，可得=再利用攀炳°B為

平角找出等量關系列出等式，即可求解裝檄^的度數；

(3)分射線OF在賽詞0E的內部及外部兩種情況討論，作出示意圖并結合圖形先計算續嫌^的度數，再根

據鎏怫F與馨㈱F互補的關系即可得解.

【詳解】(1)旁加平分到紡C,

必吟加=3。＜

LAOE=LAOD+乙DOE，

LAOD=LAOE-乙DOE

同理，乙ROE=AB0D-LD0E，

1?"LAOE=乙BOD，

乙BOE=LAOD=30s-

(2)由題可知，LBOE=LAOD=^LAOC,

LAOC-2乙BOE.

???"0E=3"IOC，

:.乙COE=64BOE，

由題可知翦肺B為平角，

LAOC+LCOE+乙BOE=180.

即2乙BOE+6乙BOE+乙BOE=180'-

LBOE=20。，

，80E的度數為20°.

(3)當OF在餐費OE內部時，如圖