高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市江干區(qū)杭四吳山2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每一小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，則.故選：A.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命題“”的否定是“”.故選：C.3.已知函數(shù)，則的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，即的定義域?yàn)椋瑢?duì)于，有，則，即定義域?yàn)?故選：D.4.下列函數(shù)中，在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，冪函數(shù)的定義域?yàn)椋以?,+∞上單調(diào)遞增，，即為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的定義域?yàn)椋液途谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：B.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，故排除B和C；當(dāng)時(shí)，，故排除A.故選：D.6.已知函數(shù)，且的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋裕瑘D象的開口方向向上，對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減，的最大值為，最小值為，不合題意；當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又的最大值為，所以，即，整理得，解得或，又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）.若該食品在30℃的保鮮時(shí)間是18小時(shí)，在20℃的保鮮時(shí)間是36小時(shí)，則該食品在0℃的保鮮時(shí)間是（）A.54小時(shí) B.72小時(shí)C.108小時(shí) D.144小時(shí)【答案】D【解析】由題知，即，解得，則，令，則，所以該食品在0℃的保鮮時(shí)間是144小時(shí).故選：D.8.已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①；②，當(dāng)時(shí)，都有；③.則下列選項(xiàng)不成立的是（）A.B.若，則C.若，則D.，使得【答案】C【解析】由條件①得是偶函數(shù)，條件②得在上單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，若，則，即，解得或，故B正確；對(duì)于C，若，則或，即或，解得或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槎x在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)，只需即可，故D正確故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分.有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】A：，又，所以，則，即，對(duì)；B：，且，而符號(hào)不定，所以符號(hào)不定，錯(cuò)；C：由題設(shè)，若，則，錯(cuò)；D：，則，對(duì).故選：AD.10.已知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題正確的有（）A.函數(shù)為增函數(shù)B.函數(shù)為偶函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】由題設(shè)得，故，則定義域?yàn)椋蕿榉瞧娣桥己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，A對(duì)，B錯(cuò)，當(dāng)，則，C對(duì)；當(dāng)，則，所以，即，D對(duì).故選：ACD.11.已知函數(shù)，恒成立，則的取值可以為（）A. B.2 C.5 D.8【答案】BC【解析】的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋裕裕矗院愠闪ⅲ春愠闪ⅲ獾?故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.2024年10月21日，第52個(gè)梅森素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)，這也是迄今為止發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù).集合以這52個(gè)梅森素?cái)?shù)為元素，其非空真子集有________個(gè).【答案】【解析】因?yàn)榧现杏?2個(gè)元素，所以集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：.13.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要時(shí)刻記得這些注意點(diǎn)：遇到集合注意空集，遇到函數(shù)注意定義域，遇到含參方程要找定點(diǎn)，遇到向量要注意零向量，函數(shù)（且）的圖象必過定點(diǎn)_________.【答案】【解析】由，故函數(shù)圖象必過定點(diǎn).故答案為：.14.正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________．【答案】【解析】依題意，因?yàn)椋裕裕矗?dāng)且僅當(dāng)，即,故取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求，；（2）若，求的取值范圍.解：（1）若，則，所以，或；（2）若，①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，，所以的取值范圍為.16.（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（2）已知，求；（3）已知函數(shù)，求；解：（1）令，又，所以，所以，故；（2）由題設(shè)，聯(lián)立，所以，則，故；（3）由題設(shè)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以.17.已知函數(shù)，.（1）若過點(diǎn)，求；（2）若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)圖象上除原點(diǎn)外至少存在一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求a的范圍.解：（1）由題意，解得，所以當(dāng)時(shí)，，則.（2）根據(jù)題意得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，故a的取值范圍是.（3）由，由題意函數(shù)圖象上除原點(diǎn)外至少存在一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則方程在內(nèi)有解.當(dāng)，則，則，令，，其中，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有解，滿足題意；當(dāng)，，滿足題意；由上分析可知，當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)有解，故在內(nèi)有解，即函數(shù)圖象上除原點(diǎn)外至少存在一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.①下面證明：當(dāng)時(shí)，方程，即在內(nèi)無解.由，得，則；令，，由，且，在同一直角坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)的大致圖象，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，；則，故當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)無解；②下面證明：當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)也無解.當(dāng)x∈0,2，則則，設(shè)，x∈0,2由，得，則；令，，由，且，同理，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，當(dāng)x∈0,2時(shí)，則.故當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)無解.綜上所述，若函數(shù)圖象上除原點(diǎn)外至少存在一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a的范圍是.18.已知奇函數(shù)經(jīng)過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明；（3）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，得，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以；（2），，，因?yàn)椋裕裕矗院瘮?shù)在上單調(diào)遞增；（3）因?yàn)榇嬖冢沟貌坏仁匠闪ⅲ瑒t，由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，；令，，的圖象開口方向向上，對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，解得或，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，解得或，所以，綜上，或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.19.設(shè)A是由若干個(gè)正整數(shù)組成的集合，且存在3個(gè)不同的元素，使得，則稱A為“等差集”.（1）若集合，且B是“等差集”，用列舉法表示所有滿足條件的B；（2）若集合是“等差集”，求m的值；（3）已知正整數(shù)，證明：不是“等差集”.（1）解：因?yàn)椋褺是“等差集”，所以B至少含有三個(gè)元素，根據(jù)“等差集”的定義可知：，所以或或；（2）解：若，則，又因?yàn)楦髟貫檎麛?shù)，顯然此時(shí)，不符題意，舍去；若，則或，顯然時(shí)，，舍去，而時(shí)，，符合題意；若，則，同上，顯然此時(shí)，不符題意，舍去；綜上所述：.（3）證明：假設(shè)是“等差集”，顯然則存在，使得成立，整理得，易知，則，此時(shí)，與集合元素的互異性矛盾，所以假設(shè)不成立，證畢.浙江省杭州市江干區(qū)杭四吳山2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每一小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，則.故選：A.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命題“”的否定是“”.故選：C.3.已知函數(shù)，則的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，即的定義域?yàn)椋瑢?duì)于，有，則，即定義域?yàn)?故選：D.4.下列函數(shù)中，在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，冪函數(shù)的定義域?yàn)椋以?,+∞上單調(diào)遞增，，即為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的定義域?yàn)椋液途谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：B.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，故排除B和C；當(dāng)時(shí)，，故排除A.故選：D.6.已知函數(shù)，且的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋裕瑘D象的開口方向向上，對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減，的最大值為，最小值為，不合題意；當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又的最大值為，所以，即，整理得，解得或，又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）.若該食品在30℃的保鮮時(shí)間是18小時(shí)，在20℃的保鮮時(shí)間是36小時(shí)，則該食品在0℃的保鮮時(shí)間是（）A.54小時(shí) B.72小時(shí)C.108小時(shí) D.144小時(shí)【答案】D【解析】由題知，即，解得，則，令，則，所以該食品在0℃的保鮮時(shí)間是144小時(shí).故選：D.8.已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①；②，當(dāng)時(shí)，都有；③.則下列選項(xiàng)不成立的是（）A.B.若，則C.若，則D.，使得【答案】C【解析】由條件①得是偶函數(shù)，條件②得在上單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，若，則，即，解得或，故B正確；對(duì)于C，若，則或，即或，解得或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槎x在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)，只需即可，故D正確故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分.有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】A：，又，所以，則，即，對(duì)；B：，且，而符號(hào)不定，所以符號(hào)不定，錯(cuò)；C：由題設(shè)，若，則，錯(cuò)；D：，則，對(duì).故選：AD.10.已知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題正確的有（）A.函數(shù)為增函數(shù)B.函數(shù)為偶函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】由題設(shè)得，故，則定義域?yàn)椋蕿榉瞧娣桥己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，A對(duì)，B錯(cuò)，當(dāng)，則，C對(duì)；當(dāng)，則，所以，即，D對(duì).故選：ACD.11.已知函數(shù)，恒成立，則的取值可以為（）A. B.2 C.5 D.8【答案】BC【解析】的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋裕裕矗院愠闪ⅲ春愠闪ⅲ獾?故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.2024年10月21日，第52個(gè)梅森素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)，這也是迄今為止發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù).集合以這52個(gè)梅森素?cái)?shù)為元素，其非空真子集有________個(gè).【答案】【解析】因?yàn)榧现杏?2個(gè)元素，所以集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：.13.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要時(shí)刻記得這些注意點(diǎn)：遇到集合注意空集，遇到函數(shù)注意定義域，遇到含參方程要找定點(diǎn)，遇到向量要注意零向量，函數(shù)（且）的圖象必過定點(diǎn)_________.【答案】【解析】由，故函數(shù)圖象必過定點(diǎn).故答案為：.14.正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________．【答案】【解析】依題意，因?yàn)椋裕裕矗?dāng)且僅當(dāng)，即,故取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求，；（2）若，求的取值范圍.解：（1）若，則，所以，或；（2）若，①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，，所以的取值范圍為.16.（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（2）已知，求；（3）已知函數(shù)，求；解：（1）令，又，所以，所以，故；（2）由題設(shè)，聯(lián)立，所以，則，故；（3）由題設(shè)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以.17.已知函數(shù)，.（1）若過點(diǎn)，求；（2）若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)圖象上除原點(diǎn)外至少存在一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求a的范圍.解：（1）由題意，解得，所以當(dāng)時(shí)，，則.（2）根據(jù)題意得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，故a的取值范圍是.（3）由，由題意函數(shù)圖象上除原點(diǎn)外至少存在一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則方程在內(nèi)有解.當(dāng)，則，則，令，，其中，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有解，滿足題意；當(dāng)，，滿足題意；由上分析可知，當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)有解，故在內(nèi)有解，即函數(shù)圖象上除原點(diǎn)外至少存在一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.①下面證明：當(dāng)時(shí)，方程，即在內(nèi)無解.由，得，則；令，，由，且，在同一直角坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)的大致圖象，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，；則，故當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)無解；②下面證明：當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)也無解.當(dāng)x∈0,2，則則，設(shè)，x∈0,2由，得，則；令，，由，且，同理，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，當(dāng)x