高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設全集為，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由對數函數定義可得，所以，又，可得.故選：D.2.下列函數在上為增函數的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數在上減函數；在上是減函數；，當時，在上是增函數；在上是減函數.故選：C.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】取，滿足，而；反之，，取，滿足，而，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.在用“二分法”求函數零點近似值時，第一次所取的區間是，則第三次所取的區間可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】用“二分法”求函數零點近似值時，第一次所取的區間是，則第二次所取的區間是或，第三次所取的區間是或或或，故選：B.5.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，，所以，故．故選：A.6.函數的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為是奇函數排除，且當時，.故選：A.7.已知是偶函數，且在區間上遞增，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，函數為偶函數，且在軸兩側左增右減，故，解得.故選：A.8.已知，則函數的零點的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】函數的定義域是（0，+∞），y==，令y=0，則，在同一直角坐標系中做出函數y=和y=的圖象可知，兩個圖象有2個交點，所以原函數的零點由2個，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列等式一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】依題意，，即，則且.故C正確；對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于D：，故D正確．故選：BCD.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A：因為，，且，所以，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B：由A知，所以，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C：，當且僅當時，等號成立，故C錯誤；對于D：，當且僅當時，等號成立，故D正確．故選:ABD．11.在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石.布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列為“不動點”函數的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】根據定義可知：若為不動點函數，則有解．A．令，得，此時無解，故不是“不動點”函數；B．令，所以或，所以是“不動點”函數；C．當時，，無解；當時，，無解，所以不是“不動點”函數；D．令，不難看出是該方程的根，所以是“不動點”函數．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數的圖象過點，則的值為______.【答案】【解析】設，所以，所以.故答案為：.13.函數，則________.【答案】【解析】令，則，所以，所以.故答案為：.14.歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數，且與互質的正整數的個數，例如，則______.【答案】【解析】在中，2的倍數共有個，3的倍數共有個，6的倍數共有個，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，，.（1）若，求實數a取值范圍；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.解：（1）若，則，得；（2）由，得，即，所以，，因為“”是“”的充分不必要條件，所以B是A的真子集，即，解得.即實數a的取值范圍是.16.計算：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式.17.已知函數.（1）若奇函數，證明：；（2）討論的單調性.解：（1）證明：的定義域為，對，都有，又為奇函數，則必有，即，整理可得，因為，所以，命題得證．（2）設，，且，，易知，，又在上為增函數，，可得，當時，，為增函數；當時，，為常函數無單調性；當時，，為減函數．18.某果園占地約600畝，擬選用果樹A進行種植，在相同種植條件下，果樹A每畝最多可種植50棵，種植成本y（萬元）與果樹數量x（百棵）之間的關系如下表所示.x14916y14.47.811.2（1）根據上面表格中的數據判斷與哪一個更適合作為y與x的函數模型；（2）已知該果園的年利潤z（萬元）與x，y的關系為，利用（1）中適合的模型估計果樹數量x為多少時年利潤最大？解：（1）①若選擇作為y與x的函數模型，將的坐標分別代入，得，解得，所以.此時，當時，與表格中的7.8相差較大，當時，與表格中的11.2相差較大，所以不適合作為y與x的函數模型.②若選擇作為y與x的函數模型，將坐標分別代入，得，解得，所以.此時，當時，，當時，，y的值剛好與表格中的7.8和11.2相符合，所以更適合作為y與x的函數模型.（2）由題可知，該果園最多可種植30000棵該品種果樹，所以x取值范圍為，當時，.易知，當，即時，之取最大值53（萬元），故果樹數量為289百棵時，年利潤最大.19.設函數且，已知，（1）求的定義域；（2）是否存在實數，使得在區間上的值域是？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）由，得，即，①由，得，即，②由①②得，解得，或（舍），，所以，由得，故的定義域為；（2）假設存在實數，使得在區間上的值域是，∵在上單調遞增，，故方程有兩個大于1的不等實數根，令，則方程的兩個大于2的不等實數根，令，則，即，解得．河北省邢臺市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設全集為，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由對數函數定義可得，所以，又，可得.故選：D.2.下列函數在上為增函數的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數在上減函數；在上是減函數；，當時，在上是增函數；在上是減函數.故選：C.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】取，滿足，而；反之，，取，滿足，而，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.在用“二分法”求函數零點近似值時，第一次所取的區間是，則第三次所取的區間可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】用“二分法”求函數零點近似值時，第一次所取的區間是，則第二次所取的區間是或，第三次所取的區間是或或或，故選：B.5.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，，所以，故．故選：A.6.函數的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為是奇函數排除，且當時，.故選：A.7.已知是偶函數，且在區間上遞增，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，函數為偶函數，且在軸兩側左增右減，故，解得.故選：A.8.已知，則函數的零點的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】函數的定義域是（0，+∞），y==，令y=0，則，在同一直角坐標系中做出函數y=和y=的圖象可知，兩個圖象有2個交點，所以原函數的零點由2個，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列等式一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】依題意，，即，則且.故C正確；對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于D：，故D正確．故選：BCD.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A：因為，，且，所以，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B：由A知，所以，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C：，當且僅當時，等號成立，故C錯誤；對于D：，當且僅當時，等號成立，故D正確．故選:ABD．11.在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石.布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列為“不動點”函數的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】根據定義可知：若為不動點函數，則有解．A．令，得，此時無解，故不是“不動點”函數；B．令，所以或，所以是“不動點”函數；C．當時，，無解；當時，，無解，所以不是“不動點”函數；D．令，不難看出是該方程的根，所以是“不動點”函數．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數的圖象過點，則的值為______.【答案】【解析】設，所以，所以.故答案為：.13.函數，則________.【答案】【解析】令，則，所以，所以.故答案為：.14.歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數，且與互質的正整數的個數，例如，則______.【答案】【解析】在中，2的倍數共有個，3的倍數共有個，6的倍數共有個，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，，.（1）若，求實數a取值范圍；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.解：（1）若，則，得；（2）由，得，即，所以，，因為“”是“”的充分不必要條件，所以B是A的真子集，即，解得.即實數a的取值范圍是.16.計算：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式.17.已知函數.（1）若奇函數，證明：；（2）討論的單調性.解：（1）證明：的定義域為，對，都有，又為奇函數，則必有，即，整理可得，因為，所以，命題得證．（2）設，，且，，易知，，又在上為增函數，，可得，當時，，為增函數；當時，，為常函數無單調性；當時，，為減函數．18.某果園占地約600畝，擬選用果樹A進行種植，在相同種植條件下，果樹A每畝最多可種植50棵，種植成本y（萬元）與果樹數量x（百棵）之間的關系如下表所示.x14916y14.47.811.2（1）根據上面表格中的數據判斷與哪一個更適合作為y與x的函數模型；（2）已知該果園的年利潤z（萬元）與x，y的關系為，利用（1）中適合的模型估計果樹數量x為多少時年利潤最大？解：（1）①若選擇作為y與x的函數模型，將的坐標分別代入，得，解得，所以.此時，當時，與表格中的7.8相差較大，當時，與表格中的11.2相差較大，所以不適合作為y與x的函數模型.②若選擇作為y與x的函數模型，將坐標分別代入，得，解得，所以.此時，當時，，當時，，y的值剛好與表格中的7.8和11.2相符合，所以更適合作為y與x的函數模型.（2）由題可知