第10講矩形的性質

T模塊導航一T素養目標A

模塊一思維導圖串知識1.理解矩形的概念；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.探索并證明矩形的性質定理和判定定理，并能運用

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關測它們進行證明和計算；

3.理解直角三角形斜邊的中線定理，運用其進行計算。

模塊一思維導圖串知識

定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形

矩

形

矩形的對邊平行且相等

的

性性質矩形的四個角都是直角

質

矩形的對角線相等

7直角三角形斜邊中線定理卜直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6模塊二基礎知識全梳理------

知識點1：矩形的概念與性質

1.概念：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

2,性質：（1）矩形的對邊平行且相等；

（2）矩形的四個角都是直角；

（3）矩形的對角線相等。

知識點2：直角三角形斜邊上的中線

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6模塊三核心考點舉一反三

考點一：利用矩形的性質求角度

例1.（23-24八年級上?四川遂寧?期末）如圖，矩形力BCD中，連接AC,延長至點E,使BE=AC,

連接DE,若乙4cB=40°,則NE的度數是（）

1

AD

【變式1-1］（23-24九年級上?四川成都?階段練習）如圖，矩形力BCD的對角線AC與8。相交于點。，過點。

作。E_LBD,交CD于點E,連接BE.若NCOE=20°,則44BD=.

【變式1-2］（23-24八年級下?湖南衡陽?期末）如圖，在矩形力BCD中，對角線"與BD相交于點。，過點力

作ZE_LBD,垂足為點E,若NE力C=2NG4D,貝!UCOD=度.

【變式1-3］（23-24八年級下?福建福州?期末）如圖，在矩形力BCD中，AB^AO,對角線AC與相交于點

O,以點4為圓心，以力。的長為半徑作弧，交力。于點￡,連接。E,則NDOE=<

考點二：根據矩形的性質求線段長

2.（23-24八年級下?貴州黔東南?期中）如圖，矩形4BCD的兩條對角線相交于點。，4AOD=

60。，AD=4,則該矩形的周長是（

A.16B.4+4V3D.16V3

2

【變式2-1］（23-24八年級下?全國?單元測試）已知：如圖，矩形2BCD中，AB=5,BC=12,對角線AC、

BD相交于點。，點P是線段力。上任意一點，且PE14C于點E,PF1BD于點F,貝iJPE+PF等于（）

A.6B.5C.—D.—

1312

【變式2-2］（22-23八年級下?廣東深圳?期末）如圖，在矩形4BCD中，P,Q分別是BC,DC上的點，E,F分別

是4P,PQ的中點.BC=12,DQ=5,在點P從B移動到C（點Q不動）的過程中，則線段EF=.

【變式2-3］（23-24八年級下?江蘇鎮江?期中）如圖，點。是矩形ABCD的對角線BD的中點，點E是BC的

中點，0E=3,AD=8,則。4的長為.

考點三：根據矩形的性質求面積

例3.（23-24八年級下?山東濱州?階段練習）如圖，EF過矩形力BCD對角線的交點O,且分別交

AB,CD于E、F,那么陰影部分的面積是矩形4BCD的面積的（）

【變式3-1］（23-24八年級下?河南周口?階段練習）矩形的兩條對角線之和為20,其中一條邊長為6,則

該矩形的面積為（）

A.60B.48C.40D.24

3

【變式3-2］（23-24八年級下?河南新鄉?期末）如圖，點P是矩形4BCD的對角線BD上一點，過點P作EF〃BC,

分別交力B,CD于點E,F,連接P4PC.若BE=b,PF=3<3,則圖中陰影部分的面積

為.

【變式3-3］（23-24八年級下?重慶大足?期末）如圖，點￡是矩形4BCD內任一點，若A8=6,BC=8.則

圖中陰影部分的面積為.

考點四：利用矩形的性質證明

Qf］例4.（23-24八年級下?全國?期末）如圖，在矩形力BCD中，對角線4C的垂直平分線分別與邊48和邊

CD的延長線交于點M,N,與邊力D交于點￡,垂足為點。

（1）求證：△力。M三△CON

（2）若AB=3,4）=6,請直接寫出2E的長為

【變式4-1］（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，四邊形力BCD是矩形，點￡在力。邊上，點尸在的

延長線上，且BE=CF.

求證：四邊形EBCF是平行四邊形.

4

【變式4-2］（23-24八年級下?貴州黔東南?期中）如圖所示，矩形4BCD中，力C與BD交于。點，BE1AC

于E,CF1BD^F,求證：BE=CF.

【變式4-3］（23-24八年級下?山東泰安?期中）如圖，在矩形A8CD中，E是BC邊上的點，AE=BC,DF1AE,

垂足為尸，連接DE.

⑴求證：AB=DF；

(2)若CE=2,AF=6,求DF的長.

考點五：求矩形在坐標系中的坐標

5.（22-23九年級下?山東濟南?階段練習）在平面直角坐標系中，長方形力BCD如圖所示，A（-

6,2）,B（2,2）,C（2,-3）,則點。的坐標為（）

A.(-6,3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-3,-6)

【變式5-1］（23-24八年級下?河南新鄉?階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的四個頂點坐標均已

標出，那么a—b的值為（）

5

(a,13)

/>(15,b)

(5,SK^2)、

O\JC

A.-3B.-1C.3D.1

【變式5-2](22-23八年級下?重慶江津?期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形。ABC的頂點4-2,1),

C(2,4),點B在y軸上，則點B的坐標為.

【變式5-3](23-24八年級下?云南昆明?期中)如圖，在平面直角坐標系中，矩形。4BC的頂點4C的坐標

分別為(10,0),(。,4),點。是。力的中點，點P在BC上運動，當OP=PD時，點P的坐標是()

A.(2.5,4)B.(3,4)C.(4,4)D.(5,4)

考點六：矩形與折疊問題

例6.(23-24八年級下?全國?開學考試)已知：將長方形力BCD沿直線4c對折，將點B折到點E處，AE

交CD于點F,

(1)求證：△力CF是等腰三角形；

(2)若CD=16cm,AD=8cm,求△4CF的面積.

6

【變式6-1］（23-24八年級下?云南昆明?期中）折疊問題是我們常見的數學問題，它是利用圖形變化的軸對

圖1圖2

【操作】如圖1，在矩形4BCD中，點M在邊AD上，將矩形紙片力BCD沿MC所在的直線折疊，使點。落

在點D'處，MD'與BC交于點N.

【猜想】（1）請猜想線段MN、CN的數量關系，并證明.

【應用】（2）如圖2,繼續將矩形紙片ABCD折疊，使4M恰好落在直線MD'上，點月落在點4處，點B

落在點B'處，折痕為ME.若CD=4,MD=8,求EC的長.

【變式6-2］（23-24八年級下?全國?單元測試）把一張矩形A8CD紙片按如圖方式折疊，使點/與點E重合,

點C與點尸重合（￡、/兩點均在BD上），折痕分別為DG.

（1）求證：四邊形BGDH為平行四邊形;

（2）若AB=6,BC=8,求線段FG的長.

7

【變式6-31（23-24八年級下?廣東廣州?期中）在矩形力BCD中，AB=5,BC=13,在DC上取一點E,將^BCE

沿直線BE折疊，得到△BEF.

（1）如圖1,若點下剛好落在力D上時，求DE的長；

（2）如圖2,若點E從C到。的運動過程中，N4BF的角平分線交EF的延長線于點求M到力。的距

離.

考點七：斜邊的中線等于斜邊的一半

，、例7.（23-24八年級下?河北保定?期末）已知/,B,C三地的位置及兩兩之間的距離如圖所示.若D

地位于4,C兩地的中點處，則2,。兩地之間的距離是（）

A.2.5kmB.6kmC.6.5kmD.7.5km

【變式7-1]（23-24八年級下?全國?期末）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。,8。=5,力C=12,。為力B的中

點，貝！ICD的長為（）

A.5B.5.5

【變式7-2]（23-24八年級下?全國?期末）如圖，在△力BC中，D是8C上一點，連接2D,AB=AD,E、F

分別是力C、BD的中點，連接EF、AF,

A.V6B.2V6

8

【變式7-3］（23-24八年級下?貴州黔西?期末）如圖，在△4BC中，AB=10,點。，E分別是ZB,BC的中

點，連接DE,在DE上有一點R且EF=3,連接力F,BF.^AFLBF,則力C的長為（）

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（23-24八年級下?云南昆明?期末）如圖，矩形4BC。的對角線/C與8。相交于點。，440B=60°,已知ZB=1,

貝1傷。的長度是（）

AD

BC

A.1B.2C.yD./

2.（23-24八年級下?山西?期末）如圖，已知矩形力BCD沿著直線折疊，使點。落在C'處，BC'交AD于E,

AD=8,4B=4,貝UDE的長為（）

/

8y...............七

A.3B.4C.5D.6

3.（23-24八年級下?云南紅河?期末）如圖，在直角三角形2BC中，乙4cB=90°,AC=5,BC=12,CD

為△ABC的中線，貝!|CD的長為（）

k

C°-----

A.5B.6C.6.5D.13

9

4.（23-24八年級下?全國?期末）如圖，在矩形COED中，點。的坐標是（1,3）,則CE的長是（

5.（23-24八年級下?吉林松原?期末）如圖，在矩形力BCD中，對角線4c與BD相交于點O,若力。=力B,則

的度數（）

6.（23-24八年級下?吉林長春?開學考試）如圖，矩形4BCD中，AB=3,AD=1,48在數軸上，若以點/

為圓心，對角線4C的長為半徑作弧交數軸的正半軸于則點M表示的實數為（）

7.（23-24八年級下?福建福州?期中）如圖，在矩形4BCD中，AD=7,CD=4,點、E,b分別在BC,CD

上，BE=3,CF=2,若G是4E的中點，〃是BF的中點，連接G“，則G"的長為（）

二、填空題

8.（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，在RtaABC中，CD是斜邊上的中線，乙4=20。，則

ZBCD=<

9.（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，在矩形48CD中，4B=6,=8,對角線AC,BD相交于點

10

。，點E,尸分別是40,4D的中點,

10.（23-24八年級下?全國?單元測試）把一張矩形紙片（矩形4BCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合,

折痕為EF,若28=3cm,BF=5cm,則重疊部分△DEF的面積是.cm乙2.

三、解答題

11.（23-24八年級下?江蘇徐州?期中）已知：如圖，矩形力BCD的對角線AC、BD相交于點O,CE||DB,交

力B的延長線于點E.

（1）求證：四邊形CDBE是平行四邊形;

（2）若AC=8,求EC的長.

12.（23?24九年級上?福建莆田?期末）已知如圖，將矩形ZBCD繞點。按順時針方向旋轉得到矩形FECG,

點5與點E對應，點E恰好落在4。邊上，BHJ.CE交于點H,

求證：

(1)ABCH=ACED

(2)AB=BH.

11

第10講矩形的性質

T模塊導航一T素養目標A

模塊一思維導圖串知識1.理解矩形的概念；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.探索并證明矩形的性質定理和判定定理，并能運用

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關測它們進行證明和計算；

3.理解直角三角形斜邊的中線定理，運用其進行計算。

模塊一思維導圖串知識

定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形

矩

形

矩形的對邊平行且相等

的

性性質矩形的四個角都是直角

質

矩形的對角線相等

直角三角形斜邊中線定理卜直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6模塊二基礎知識全梳理------

知識點1：矩形的概念與性質

3.概念：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

4.性質：（1）矩形的對邊平行且相等；

（2）矩形的四個角都是直角；

（3）矩形的對角線相等。

知識點2：直角三角形斜邊上的中線

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

◎模塊三核心考點舉一反三

考點一：利用矩形的性質求角度

例1.（23-24八年級上?四川遂寧?期末）如圖，矩形4BCD中，連接力C,延長BC至點E,使BE=AC,

連接DE,若N71CB=40。，貝lUE的度數是（）

12

AD

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】本題主要考查了矩形的性質以及等腰三角形的判定與性質，利用矩形的對角線相等是解決問題

的關鍵.

連接BD,依據矩形的性質，即可得到NCBD=乙4cB=40°,再根據AC=BD,AC=BE,即可得出BD=

BE,進而得到NE的度數.

【詳解】解：如圖，連接BD交4C于點。，

:矩形力BCD中，NACB=40。，OC=OB,AC=BD,

：.4CBD=乙ACB=40°,

vAC=BD,AC=BE,

：.BD=BE,

???NE=g(180°-乙DBE)=|(180°-40°)=70°,

故選:D.

【變式1-1](23-24九年級上?四川成都?階段練習)如圖，矩形力BCD的對角線4C與BD相交于點。，過點。

作。E_LBD,交CD于點E,連接BE.若NCOE=20°,則44BD=_.

【答案】35735度

【分析】本題考查了矩形的性質，根據垂直的定義及角的和差求出NBOC=70。，根據矩形的性質推出

13

OA=OB,根據等腰三角形的性質及三角形外角性質求解即可.熟記矩形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?OE1BD,

???(BOE=90°,

???(COE=20°,

Z.BOC=乙BOE-乙COE=70°,

??泗邊形ABCD是矩形，

???AC=BD,OB=OD,OA=OC,

OA=OB,

??.Z.OAB=乙OBA,

???/-BOC=Z.OAB+Z-OBA,

???乙OBA=35°,BPzXBD=35。，

故答案為：35°.

【變式1-2](23-24八年級下?湖南衡陽?期末)如圖，在矩形2BCD中，對角線AC與BD相交于點。，過點力

作AE1BD,垂足為點E,若=2Z.CAD,貝l]zT。。=度.

【答案】45

【分析】本題考查了矩形的性質，三角形的外角性質，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握矩

形的性質.根據矩形的性質可得到。4=。0,推出4。力。=4。04，根據三角形的外角性質和NE4C=

2/LCAD,可得NEAC=N40E,由4E1BD,即可求解.

【詳解】解：???四邊形4BC0是矩形,

AC=BD,OA=OC,OB=OD,

OA—OD,

??.Z.OAD=乙ODA,

???Z-AOE=Z.OAD+Z.ODA=2Z-OAD,

???Z.EAC=2/.CAD,

???Z-EAC=Z.AOE,

???AE1BDf

???乙EAC=乙4OE=45°,

???乙COD=Z.AOE=45°,

故答案為：45.

14

【變式1-3］（23-24八年級下?福建福州?期末）如圖，在矩形4BCD中，AB=A0,對角線4C與BD相交于點

0,以點/為圓心，以4。的長為半徑作弧，交力D于點E,連接。E,貝此DOE=

【答案】45

【分析】此題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質和判定，等邊對等角和三角形內角和定理，解題

的關鍵是掌握以上知識點.

首先證明出△04B是等邊三角形，得到NQ48=乙40B=60。，然后利用等邊對等角和三角形內角和定

理求出4E。力=3180。-NE力。）=75°,進而求解即可.

【詳解】：四邊形4BCD是矩形

AOA=OB,ABAD=90°

■：AB=AO

。力=OB=AB

.?.△OAB是等邊三角形

：.^OAB=Z.AOB=60°,

：.^OAD=^BAD-^OAB=30°

:以點N為圓心，以4。的長為半徑作弧，交4D于點￡,

：.AE=AO

：.AEOA=|(180°-NEA。)=75°

."DOE=180°-4AOB-Z.AOE=45°.

故答案為：45.

考點二：根據矩形的性質求線段長

、］例2.（23-24八年級下?貴州黔東南-期中）如圖，矩形力BCD的兩條對角線相交于點。，AAOD=

60°,AD=4,

A.16

【答案】C

15

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質和判定，矩形對角線的性質和利用勾股定理求邊長，熟練掌

握矩形及等邊三角形的性質是解題的關鍵.

根據矩形的對角線互相平分且相等可得。。=。。,乙4。。=60。,△4。。是等邊三角形，可求出BD,勾股

定理可求出48,即可求出矩形的面積.

【詳解】解：???四邊形4BCD是矩形，

OA=OD=OB=OC,

???/,AOD=60°,

是等邊三角形，

AD=OD=AO=4,

BD=2AD=8,

???AB=<BD2-AD2=V64-16=4百，

.?.矩形的周長=2X48+2X4=8V3+8,

故選：C.

【變式2-1］（23-24八年級下?全國?單元測試）已知：如圖，矩形ABCD中，4B=5,BC=12,對角線AC、

BD相交于點。，點P是線段力D上任意一點，且PE14C于點E,PF1BD于點F,貝iJPE+PF等于（）

【答案】C

【分析】此題考查了矩形的性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

連接OP,利用矩形的性質和勾股定理求出。4。。的長，然后由So。。USMOP+S^DOP求得答案.

【詳解】解：連接P。，

:矩形4BCD中，AB=5,BC=12,

16

'S矩形/BCD="B'BC=60,OA—OC,OB=OD,AC=BD,乙ABC=90°,

；.AC=7AB2+BC2=V52+122=13,

1I13

?“△ZOD=矩形ARC。=15，％=°。=5人0=萬，

,**^/\AOD=^/\AOP+S^DOP，

-1-1-11IQ

即：-PE+50D-PF=；OA(PE+PF)=楙X￡X(PE+PF)=15,

：.PE+PF

13

故選：c.

【變式2-2](22-23八年級下?廣東深圳?期末)如圖，在矩形力BCD中，P,Q分別是BC,DC上的點，E,尸分別

是4P,PQ的中點.BC=12,DQ=5,在點P從B移動到C(點Q不動)的過程中，則線段EF=.

【答案】6.5

【分析】本題考查矩形的性質及三角形中位線定理.因為Q點不動，所以4Q不變，根據中位線定理,

可得EF的長.

【詳解】解：連接力Q

EF為△4PQ的中位線，

???HBCD是矩形

?-?力D=BC=12,Z.ADC=90°

EF=^AQ=[xy/AD2+DQ2=|xV122+52=6.5,

故答案為：6.5.

【變式2-3]（23-24八年級下?江蘇鎮江?期中）如圖，點。是矩形4BCD的對角線的中點，點￡是8c的

中點，0E=3,4D=8,則。4的長為.

【答案】5

17

【分析】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵.由

三角形中位線定理求出。E=3,由勾股定理求出BD的長，根據直角三角形的性質即可得到結論.

【詳解】解：:。為BD的中點，E是的中點，

1

OE=-DC,

2

???0E=3,

DC=6,

???四邊形4BCD是矩形，

AB=CD=6,ABAD=90°,

vAD=8,

???BD=y/AD2+AB2=V82+62=10,

1

AO=-BD=5

2

故答案為：5.

考點三：根據矩形的性質求面積

、］例3.（23-24八年級下?山東濱州?階段練習）如圖，EF過矩形A8CD對角線的交點O,且分別交

AB,CD于E、F,那么陰影部分的面積是矩形力BCD的面積的（）

【答案】B

【分析】本題主要根據矩形的性質，得△EB。三△FD。，再由△力08與△OBC同底等高，AAOB^AABC

同底且aaoB的高是△力BC高的（得出結論.本題考查矩形的性質，矩形具有平行四邊形的性質，又具有

自己的特性，要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質.

【詳解】解：,??四邊形為矩形，

???OB=OD=OA=OC,AB||CD

."EBO=4FD0

在△EBO與NDO中,

/-EOB=乙DOF

OB=OD,

乙EBO=Z.FDO

??.△EBO=△FDO(ASA),

???陰影部分的面積=SA4E0+S4EBO=SAAOB，

18

△AOB^AABC同底且△4。3的高是△高的白

，SMOB=S^OBC=］S矩形ABCZT

故選：B.

【變式3-1］（23-24八年級下?河南周口?階段練習）矩形的兩條對角線之和為20,其中一條邊長為6,則

該矩形的面積為（）

A.60B.48C.40D.24

【答案】B

【分析】本題考查矩形的性質和勾股定理，根據矩形的性質求出對角線的長，再根據勾股定理求出矩形

的另一邊長，即可求出矩形的性質.利用勾股定理求出矩形的另一邊長是解題的關鍵.

【詳解】解：???矩形的兩條對角線之和為20,

矩形的一條對角線長為：20+2=10,

:矩形的一邊長為6,

又?..矩形的相鄰兩邊與一條對角線構成直角三角形，

與矩形邊長為6相鄰的另一邊長為：-102-62=8,

矩形的面積為：6x8=48.

故選：B.

【變式3-2］（23-24八年級下?河南新鄉?期末）如圖，點P是矩形力BCD的對角線BD上一點，過點P作E/〃BC,

分別交力B,CD于點E,F,連接P4PC.若BE=H,PF=3?則圖中陰影部分的面積

為

【答案】9

【分析】本題考查了矩形的性質、三角形的面積等知識.先作輔助線，然后根據矩形的性質可得到兩

個矩形面積相等.

【詳解】解：作PML力。于點河,

貝U四邊形AEPM,DFPM,CFPN,BEPN都是矩形,

CF=BE=V3,S^ABD-S^BCD，S&BPE-S^BPN，^APDM=^APDF?^^AEP-S&，S^CFP-S^CNP，

?'S矩形4EPM=S^ABD-(S&BPE+^APDM)),矩形0尸「可=^ABCD-(S4BPN+^APDFJ'

'",矩形4EPM=$矩形CFPN'

19

?'?^AAEP=SACFP=|xPFxCF=1x3V3xV3=I，

???圖中陰影部分的面積為S陰=1+1=9,

故答案為：9.

【變式3-3］(23-24八年級下?重慶大足?期末)如圖，點E是矩形4BCD內任一點，若AB=6,BC=8.則

圖中陰影部分的面積為.

【答案】24

【分析】本題考查了矩形的性質、三角形面積的計算.根據三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積

等于矩形面積的一半；即可得出結果.

【詳解】解：???四邊形4BCD是矩形,

：.AB=DC=6,

設兩個陰影部分三角形的底為4B,CD,高分別為后，h2,則比+%2=BC=8,

11111

S

?''/\ABE+S&DCE=5ABxhl+-CDxh2=-AB(hx+/i2)=~BCx/IF=-x6x8=24,

...圖中陰影部分的面積為24；

故答案為：24.

考點四：利用矩形的性質證明

［、］例4.(23-24八年級下?全國?期末)如圖，在矩形力BCD中，對角線力C的垂直平分線分別與邊4B和邊

CD的延長線交于點M,N,與邊力。交于點E,垂足為點。.

(1)求證：△力。M三△CON

(2)若48=3,4。=6,請直接寫出AE的長為

【答案】(1)見解析

若

【分析】(1)利用矩形的性質和線段垂直平分線的性質證明三角形全等即可.

(2)連接CE,根據垂直平分線得出CE=4E,設AE=CE=久，則DE=6-久，在Rt^CDE中，根據

20

勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：:MN是ZC的垂直平分線,

：.A0=CO,乙40M="ON=90。.

???四邊形ABCD是矩形，

:?AB〃CD,

?"M=乙N.

在△40M和△CON中，

(乙M=乙N

卜ZOM=乙CON，

(AO=CO

：.△AOMCON(AAS).

(2)解：如圖所示，連接CE,

：MN是AC的垂直平分線，

CE=AE,

設4E=CE=x,則DE=6—x,

???四邊形A8CD是矩形，

/.Z.CDE=90°,CD=AB=3,

???Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2,

即32+（6—x）2=x2,

解得：x=￥，即ZE的長為手，

44

故答案為：

【點睛】本題考查了矩形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理和全等三角形的判定等知識點，

解答關鍵是證明三角形全等.

【變式4-1]（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，四邊形2BCD是矩形，點￡在4D邊上，點尸在AD的

延長線上，且BE=CF.

求證：四邊形EBCF是平行四邊形.

21

【答案】見解析

【分析】本題考查矩形的性質、平行四邊形的判定.由Rt△BAEmRt△(?￡>?,推出N1=NF,推出BE||

CF,又BE=CF,即可證明四邊形EBCF是平行四邊形.

【詳解】證明：???四邊形2BCD是矩形，

：.Z.A=乙CDF=Z.ABC=90°,AB=DC,AD=BC,

在Rt△BAE和Rt△CDF中，

(AB=DC

iBF=CF'

：.Rt△BAE=RtACDF,

=乙F,

：.BE||CF,

又'：BE=CF,

四邊形EBCF是平行四邊形.

【變式4-2](23-24八年級下?貴州黔東南?期中)如圖所示，矩形ABCD中，HC與BD交于。點，BE1AC

于E,CF工BD于F,求證：BE=CF.

【答案】見解析

【分析】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，證明aBOE三△COF(AAS),即可得出結論.

【詳解】證明：：矩形4BCD,

AOA=OB=OC=OD,

,：BE1AC^-E,CFLBD于F,

:.4BEO=乙CFO=90°,

在△8。5和4C。尸中

22

Z.BEO=7.CFO

斗EOB=Z.FOC

BO=CO

：.ABOE=△COF(AAS),

：.BE=CF.

【變式4-3](23-24八年級下?山東泰安?期中)如圖，在矩形A8CD中，E是邊上的點，AE=BC,DF1AE,

垂足為F,連接DE.

(1)求證：AB=DF；

(2)若CE=2,AF=6,求DF的長.

【答案】(1)見解析

(2)277

【分析】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理；

(1)根據矩形是性質可以證明aABE三△￡)"!,即可得4B=DF；

(2)結合(1)證明Rt^DFEmRtaDCE(HL),再根據勾股定理即可求出DF的長.

【詳解】(1)???四邊形A8CD是矩形，

???BC^AD,AD//BC,N8="=90。，

???Z.DAF=乙AEB,

vDFLAE,AE=BC,

AAFD=90°,AE=AD,

ABE=△DF^(AAS),

??.AB=DF；

(2),：AABE=△DFA,

.?.AF=BE=6,DF=AB=CD,

???乙DFE=乙DCE=90°,DE=DE,

RtADFE=RtADCE(HL),

.?.CE=EF=2,

AE=6+2=8,

在RtZiABE中，根據勾股定理，得AB=,82一a=2巾.

DF=AB=2V7.

23

考點五：求矩形在坐標系中的坐標

5.（22-23九年級下?山東濟南?階段練習）在平面直角坐標系中，長方形力BCD如圖所示，4（-

(-3,-6)

【答案】C

【分析】根據長方形的性質求出點。的橫、縱坐標即可獲得答案.

【詳解】解：???四邊形4BCD為長方形，

：.AB//CD,AD//BC,

：A（-6,2）,B（2,2）,C（2,—3）,

.?.點D的橫坐標與點力相同，為一6,

點D的縱坐標與點C相同，為-3,

二點D的坐標為（—6,—3）.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質，解題關鍵是利用矩形“對邊平行且相等”的性質解決問題.

【變式5-1］（23-24八年級下?河南新鄉?階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的四個頂點坐標均已

標出，那么a—b的值為（）

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】D

【分析】本題考查代數式求值，涉及矩形性質、中點坐標公式等知識，熟練掌握矩形性質及中點坐標公

式是解決問題的關鍵.由矩形的對角線交于一點，且對角線相互平分，從而由中點坐標公式求出對角線

交點。的坐標，列方程求解即可得到a,b的值，代入代數式求解即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示：

24

（5,5）/9,2）

O

由中點坐標公式可知AC中點0的坐標為（一,詈），即0（等,葭）;

BD中點。的坐標為（等,等），即。得,同；

fa+9=20

8+b=15'

解得k/,

a—b=11-10=1,

故選：D.

【變式5-2］（22-23八年級下?重慶江津?期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形。ABC的頂點4（-2,1）,

C（2,4）,點B在y軸上，則點B的坐標為

【答案】（0,5）

【分析】由兩點距離公式可求AC的長，由矩形的性質可求。8=4C,即可求解.

【詳解】解：連接4C,

???四邊形力BCO是矩形,

???OB=AC=5,

25

二點B的坐標為(0,5),

故答案為：(0,5).

【點睛】本題考查了矩形的性質，坐標與圖形的性質，掌握矩形的對角線相等是解題的關鍵.

【變式5-3](23-24八年級下?云南昆明?期中)如圖，在平面直角坐標系中，矩形O4BC的頂點A,C的坐標

分別為(10,0),(。,4),點。是。力的中點，點P在BC上運動，當OP=PD時，點P的坐標是()

A.(2.5,4)B.(3,4)C.(4,4)D.(5,4)

【答案】A

【分析】此題主要考查了坐標與圖形的性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，由點。是。力的中點，可得

出點D的坐標，當。P=PD,由等腰三角形的性質即可得出點P的坐標

【詳解】解：過點P作PM1。。于點M,

■.■矩形6MBe的頂點4c的坐標分別為(10,0),(0,4),點。是04的中點,

???點。(5,0)

vOP=PD,PM1OD,

OM=DM,

即點M(2.5,0)

???點P(2.5,4),

故選：A

考點六：矩形與折疊問題

例6.(23-24八年級下?全國?開學考試)已知：將長方形4BC0沿直線AC對折，將點B折到點E處，AE

交CD于點F,

(1)求證：△4CF是等腰三角形；

(2)若CD=16cm,AD=8cm,求△4CF的面積.

【答案】(1)見解析

⑵44CF的面積為40cm2

【分析】本題考查了矩形中的折疊問題，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握相

關的知識.

26

（1）根據矩形的性質可得4B||CD,得到乙4CF=ABAC,結合折疊的性質可得々CF=^FAC,即可證

明；

（2）設4F=CF=x,則￡>F=16-x,在RtAADF中，由勾股定理求出久，最后根據S》CF=初廣力。，

即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形4BCD是矩形，

AB||CD,Z.D=90°,

Z.ACF=Z-BAC,

由折疊可得：N凡4c=/-BAC,

Z.ACF=Z.FAC,

AF=CF,

???△4CF是等腰三角形；

（2）解：設4F=CF=x,則DF=CD—CF=16一居

在Rt^ADF中，由勾股定理可得：AF2-DF2^AD2,即/一（16—x）2=82,

解得：x=10,

CF=10cm,

11o

SAACF=2CF-AD=-X10x8=40cm2.

【變式6-1］（23-24八年級下?云南昆明?期中）折疊問題是我們常見的數學問題，它是利用圖形變化的軸對

稱性質解決的相關問題.數學活動課上，同學們以“矩形的折疊”為主題開展了數學活動.

圖1圖2

【操作】如圖1，在矩形4BCD中，點M在邊ZD上，將矩形紙片力BCD沿MC所在的直線折疊，使點。落

在點D'處，MD'與BC交于點N.

【猜想】（1）請猜想線段MN、CN的數量關系，并證明.

【應用】（2）如圖2,繼續將矩形紙片4BCD折疊，使4M恰好落在直線MD'上，點月落在點4處，點B

落在點B’處，折痕為ME.若CD=4,MD=8,求EC的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）10

【分析】本題主要考查了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質等知識，熟

練掌握折疊的性質是解題關鍵.

（1）由折疊的性質可得NCMD=NCM。'，再證明NCMD=NMCN,易得NCM。'=NMCN,即可證明

MN=CN；

（2）由折疊的性質可得乙D=Z.D=90°,DC=DC=4,MD=MD'=8,設MN=NC=x,易得ND,=

27

8-x,在RtaND'C中，由勾股定理解得x的值，易知MN=NC=5,同理可證明EN=MN=5,然后

計算EC的長即可.

【詳解】（1）解：MN=CN,理由如下：

:矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，

:.乙CMD=4CMD',

..?四邊形4BCC是矩形，

J.AD//BC,

：.ACMD=乙MCN,

：.^CMD'=乙MCN,

：.MN=CN；

（2）:矩形48CD沿MC所在直線折疊，

：2D=Z￡>'=90°,DC=DC=4,MD=MD'=8,

設MN=NC=x,

:.ND'MD'-MN=8-x,

在RtZkND'C中,AD'=90°,

；.ND'2+D'C2=NC2,

.,.（8-x）2+42=%2,解得x=5,

：.MN=5,

：.MN=CN=5,

同理可證明EN=MN=5,

：.EC=EN+CN=10.

【變式6-2］（23-24八年級下?全國?單元測試）把一張矩形ZBCD紙片按如圖方式折疊，使點/與點E重合,

點C與點尸重合（E、尸兩點均在BD上），折痕分別為BH,DG.

⑴求證：四邊形8GDH為平行四邊形；

（2）若AB=6,BC=8,求線段FG的長.

【答案】（1）見解析

（2）3

【分析】本題主要考查了與矩形有關的折疊問題，平行四邊形的證明及勾股定理，準確分析計算是解

題的關鍵.

（1）根據矩形的性質和折疊的性質證明即可；

28

(2)由折疊可得FG=CG,DF=DC=6,/DFG=NC=90。，在根據勾股定理計算即可；

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCD為矩形，

??.AB//C