第09講勾股定理的逆定理

T模塊導航一T素養目標A

模塊一思維導圖串知識探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）簡單的實際問題；能夠運用勾股定理的逆定理證

模塊三核心考點舉一反三明直角三角形。

模塊四小試牛刀過關測

模塊一思維導圖串知識

勾股定理逆定理

“模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+〃=。2,那么這個三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形。

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

首先確定最大邊（如c）；

驗證與/+〃是否具有相等關系，若=/+/,則AABC是/C=90。的直角三角形；若

則AABC不是直角三角形。

注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當/+〃〉02時，此三角形為銳角三角形，其中。為三

角形的最大邊.

3模塊三核心考點舉一反三----------------------------

考點01：判斷能否構成直角三角形

例題1.下列條件中，能判定V/3C為直角三角形的是（）

A.4=30°B.ZS+ZC=120°

C.ZA:ZB:ZC=i:l:2D.AB=AC=1,BC=6

【變式1-1］（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）下列四組數據中，能作為直角三角形三邊長的是（）

,o0,45^111c

A.32>42，52B.1,—,—C.—,—t—D.7,12,13

1

【變式1-2］由下列條件不能判定V/8C為直角三角形的是（）

A.NA+NB=NCB.4:N3:NC=1:3:2

C.q===gD.［b+cjib-cj-a1

【變式1-3］（24-25八年級上?四川成都?期中）在V/BC中，//、NB、/C的對應邊分別是a、b、c,下

列條件中不能說明VN8C是直角三角形的是（）

A.a—0.6,6=0.8,c=1B./C=NA+/B

C.Q:Z):C=5:12:13D.=3:4:5

考點02：在網格中判斷直角三角形

］例題2.（24-25八年級上?四川成都?期中）如圖，在平面直角坐標系中，丫/2。的頂點/（0,1）,5（2,0）,

C（4,4）均在正方形網格的格點上.

（1）畫出VN8C關于x軸對稱的圖形,并寫出頂點G的坐標；

（2）求出點2到/C的距離.

【變式2-1］（24-25八年級上?重慶沙坪壩?期中）如圖所示的正方形網格中，4、B、C三點均在正方形格點

上，則NA4c的大小是（）

A.30°B.60°C.75°D.90°

【變式2-2］（24-25八年級上?浙江寧波?期中）在如圖所示的4x4方格圖中，點4,B,C,D,E,F,G,

8均在小方格的頂點上，以其中三個點為頂點，能構成個直角三角形.

2

HD

E

B

【變式2-3］（24-25八年級上?陜西西安?期中）如圖是由邊長為1的小正方形組成的正方形網格，V/2C的

頂點都在格點（正方形的頂點）上.求證：Z.ABC=90°.

考點03：利用勾股定理逆定理求解

3.（24-25八年級上?江蘇淮安?期中）如圖，已知/￡＞是BC邊上的中線，若BC=10cm，AC4cm,

AD=3cm,求V48c的面積.

【變式3-1］（24-25八年級上?江蘇常州?期中）如圖，△4DC中，4D=13cm,lC=12cm,DC5cm,B

是CD延長線上的點，連接48,若48=15cm,

（1）說明N/C2為直角,

（2）求8。的長.

【變式3-2］（24-25八年級上?陜西西安?期中）如圖，在V4BC中，48=13,AC=15,。為邊上的一

點，AD=12,BD=5.

3

A

⑴求證：ADIBC；

(2)求V48c的面積.

【變式3-3]如圖，在V/BC中，點。在邊5C上，已知CD=5,AD=12,點E在40上，BE=AC=13.

(1)求證：ADJ.BC；

⑵若CD=ED,求48的長.

考點04：勾股定理逆定理的實際應用

例題4.為了強化實踐育人，有效開展勞動教育和綜合實踐活動，我市某中學校園里現有一塊四邊

形的空地NBCZ),如圖所示，學校決定開發該空地作為學生勞動實踐基地.經學校課外實踐活動小組測量

得到：ABAD=90°,/D=3m,NB=4m,3c=13m,CD=12m.根據你所學過的知識，求四邊形N8CA的

面積.

【變式4-1](24-25八年級上?甘肅蘭州?期中)已知某開發區有一塊四邊形的空地/BCD,如圖所示，現計

劃在空地上種植草皮，經測量乙4=90。，AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需

要200元，問要多少投入？

C

【變式4-2](24-25八年級上?江蘇宿遷?期中)在學校組織的研學活動中，需要學生自己搭建帳篷.下圖是

搭建帳篷的示意圖.在V/8C中，支架/。從帳篷頂點A支撐在水平的支架8C上，且4。13c于點D,經

4

測量得：AB=2m,ND=1.2m,CD=0.9m.按照要求，帳篷支架48與/C所夾的角需為直角.請通過計

算說明學生搭建的帳篷是否符合條件.

【變式4-3］（24-25八年級上?山西晉中?期中）如圖，某濕地公園有一塊四邊形草坪/BCD,公園管理處計

劃修一條/到C的小路，經測量，1）0=90°,AD=1m,DC=24m,48=20m,CB=15m.

⑴求小路NC的長；

（2）淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點B處，小狗從點3開始以2m/s的速度在小路上沿/的

方向奔跑，跑到點/時停止奔跑，當小狗在小路C/上奔跑時，小狗需要跑多少秒與淇淇的距離最近？

6模塊四小試牛刀過關測

一、單選題

1.（24-25八年級上?安徽淮北?期中）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（）

A.I,2,百B.6,8,10C.5,12,13D.3,5,7

2.（23-24八年級下?安徽合肥?期末）下列線段能組成直角三角形的是（）

1,11

A.a=-1b——,c=一B.a-V2>b—>/3>c=46

345

C.a=2,6=3,c=4D.a=3,6=3,c=3亞

3.（23-24八年級下?安徽亳州?期末）由下列條件不能判定V/5C為直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZC

B.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.AB=3k,BC=4kAC=5k（左為正整數）

D.AC=3+左，AB=4+左，5c=5+1（5>0）

二、填空題

4.（23-24八年級下?安徽亳州?期中）如圖，丫/2€7的三條邊/3=10,AC=S,BC=6,CDLAB,則

CD=______

5

c

5.（22-23八年級下?安徽阜陽?期末）如圖，已知/,B,C是海上的三座小島，島8在島/的北偏東38。方

向上，距離為12海里，島。在島4的北偏東方向上，距離為13海里，島8和島C之間的距離為5海里，

則島8在島C的北偏西方向上.

6.（23-24八年級下?安徽滁州?期中）為貫徹《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》的方針政策,

幫助同學們更好地理解勞動的價值與意義，培養學生的勞動情感、勞動能力和勞動品質，學校給八（1）班、

八（2）班各分一塊三角形形狀的勞動試驗基地.

（1）若班主任測量出八（1）班試驗基地的三邊長分別為5m,12m,13m,則這塊試驗基地的面積為—

m2

（2）八（2）班的勞動試驗基地的三邊長分別為/3=15m,SC=14m,ZC=13m（如圖），貝iJV/BC的面

積為m2?

三、解答題

7.（23-24八年級下?安徽合肥?期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，V/8C的三個頂點均在

格點上，請按要求完成下列各題：

（1）判斷V/8C的形狀，并說明理由;

6

⑵求8c邊上的高.

8.(23-24八年級下?安徽合肥?期中)如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點叫

格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形.

(1)使三角形的三邊長分別為石，2百，5(在圖甲中畫一個即可)；

(2)使三角形為直角三角形，且面積為13,要求至少有兩條邊不與網格線重合(在圖乙中畫一個即可).

9.(22-23八年級下?安徽阜陽?期中)如圖，/C是四邊形/BCD的對角線，

AD'AC,AB=BC=6,CD=3AD=9.

(1)求N7X4B的度數.

(2)求四邊形48CD的面積.

10.(23-24八年級下?安徽六安?期末)如圖，四邊形48CD中，ZB=30°,過點A作NEL5C于點E,點E

恰好是8c的中點，連接DE,AE=y[?>,DC=1,AD=V13?

(1)直接寫出的長為

(2)求/DCE的度數.

7

第09講勾股定理的逆定理

T模塊導航一T素養目標A

模塊一思維導圖串知識探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）簡單的實際問題；能夠運用勾股定理的逆定理證

模塊三核心考點舉一反三明直角三角形。

模塊四小試牛刀過關測

模塊一思維導圖串知識

勾股定理逆定建

<??b>

“模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+〃=。2,那么這個三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形。

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

首先確定最大邊（如C）；

驗證與/+〃是否具有相等關系，若02=/+〃，則4ABC是/C=90。的直角三角形；若。2

則4ABC不是直角三角形。

注意：當/+〃<c2時，此三角形為鈍角三角形；當/+〃〉02時，此三角形為銳角三角形，其中。為三

角形的最大邊.

6模塊三核心考點舉一?反三----------------------------

考點01：判斷能否構成直角三角形

Qf］例題1.下列條件中，能判定V/8C為直角三角形的是（）

A.ZA=30°B.ZB+ZC=120°

C.ZA:ZB:ZC=1:1:2D.AB=AC=\,BC=43

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內角和定理.根據直角三角形的判定可判斷選項A和B,C

選項中根據三角形的內角和定理以及三個角的比例關系可求出NC為90°,根據勾股定理的逆定理可判斷選

8

項D,即可得出答案.

【解析】解：A、由44=30。無法得到V/BC為直角三角形，故本選項不符合題意;

B、-.-ZS+ZC=120°,ZA+ZB+ZC=180°,

.?.44=60。，無法得到VN8C為直角三角形，故本選項不符合題意；

C、?.?N/:4:NC=1:1:2,ZA+ZB+ZC=180°,

2

最大角ZC=--------xl80°=90°,

1+1+2

是直角三角形，故本選項符合題意；

D>-：AB=AC=\,BC=A/3,I2+12=1+1=2，（6）=3，

.-.I2+Fr（⑹"

VABC不是直角三角形，故本選項不符合題意.

故選：C.

【變式1-1］（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）下列四組數據中，能作為直角三角形三邊長的是（）

A.32>42>52B.1,—,—C.—,—,—D.7,12,13

33345

【答案】B

【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應用.由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊

的平方即可.

【解析】解：A、（32）2+（42）2^（52）\故不是直角三角形，故本選項不符合題意；

2

B.1+QJ=|^|J,故是直角三角形，故本選項符合題意；

C、,故是直角三角形，故本選項不符合題意;

D、72+122^13\故不是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：B.

【變式1-2］由下列條件不能判定V/8C為直角三角形的是（）

A./A+NB=/CB.N4:N5:NC=1:3:2

C.a=g,6=：,c=gD.（6+c）（6-c）=/

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應用，三角形的內角和定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形,

已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.由勾股定理的逆定理，三角形的內角和

定理逐一分析判斷即可.

【解析】解：A、'：ZA+ZB=ZC,4+ZB+/C=180°,

9

ZC=90°,V48c是直角三角形，不符合題意；

B、VZ^:Z5:ZC=1:3:2,//+Z8+NC=180°,

.,.D5=90o,V/3C是直角三角形，不符合題意；

「??-1A-1一1

C、.a——,b——,c——,

345

c2+b2^a2故不能判定VNBC是直角三角形，符合題意；

D、V（b+c^（b-c）=a1,

：.b2-c2^a2,即/+，=",故V/3C是直角三角形，不符合題意；

故選：C.

【變式1-3］（24-25八年級上?四川成都?期中）在VABC中，//、NB、/C的對應邊分別是a、b、c,下

列條件中不能說明VNBC是直角三角形的是（）

A.a=0.6>6=0.8,c-\B.Z-C=AA+AB

C.Q:6:c=5:12:13D.N4:25:NC=3:4:5

【答案】D

【分析】本題考查直角三角形的判定，通過三角形中一個角是直角，或者勾股定理的逆定理判斷.

【解析】解：A、v0.62+0.82=12,

「?+/=02,

二?能說明V4BC是直角三角形，不合題意；

B、???NC=ZA+NB,ZC+ZA+ZB=180°9

ZC=-xl80°=90°,

2

能說明VA8C是直角三角形，不合題意；

C、a:b:c=5:12:13,

??a=5x,Z?=12x,c—13JC,

???（5x）2+（12x）2=03x）2,

能說明V/3C是直角三角形，不合題意；

D、■■■ZA:ZB:ZC=3:4:5,

最大的角ZC=--—X18O0=—X18O°=75°^90°,

3+4+512

???不能說明V/2C是直角三角形，符合題意；

故選D.

考點02：在網格中判斷直角三角形

[Xi2.（24-25八年級上?四川成都?期中）如圖，在平面直角坐標系中，V/2C的頂點/（0,1）,5（2,0）,

10

C(4,4)均在正方形網格的格點上.

(1)畫出VN3C關于x軸對稱的圖形4G，并寫出頂點G的坐標；

⑵求出點2到NC的距離.

【答案】(1)見解析，(4,-4)(2)2

【分析】本題考查了作圖：軸對稱變換，勾股定理逆定理，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質.

(1)根據軸對稱的性質即可畫出V/8C關于x軸對稱的圖形△44。，進而寫出頂點G的坐標；

(2)根據勾股定理逆定理可得V/8C為直角三角形，設點5到NC的距離為/?,根據

S"Bc=；4Cxh=；ABxBC,即可求解.

【解析】(1)解：如圖，即為所求；

頂點的坐標為(4,-4)；

(2)解：根據題意得：

AB712+2。=5BC=荷+*=2底AC7U+31=5,

AB2+BC2=AC2,

：.NABC為直角三角形，

設點B到/C的距離為h,

:S,?=-ACxh=-ABxBC,

ATJJDrC22

—x5/z=—x^5x2V5，

22

11

解得：/?=2,

即點8到/C的距離為2.

【變式2-1］（24-25八年級上?重慶沙坪壩?期中）如圖所示的正方形網格中，/、B、C三點均在正方形格點

上，則/氏4c的大小是（）

A.30°B.60°C.75°D.90°

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，先根據網格特點和勾股定理求得，再根據勾股定理的逆定理判斷

即可.

【解析】解：由題意，AC2=12+22=5,AB2=22+42=20,BC2=32+42=25，

：.AC2+AB2=BC2,

.?.V4BC是直角三角形，且N5/C=90。，

故選：D.

【變式2-2］（24-25八年級上?浙江寧波?期中）在如圖所示的4x4方格圖中，點/,B,C,D,E,F,G,H

均在小方格的頂點上，以其中三個點為頂點，能構成個直角三角形.

【答案】28

【分析】本題考查了在網格中判斷直角三角形，根據方格的特點準確的數出直角三角形的個數是解題的關

鍵.

根據如圖所示的4x4方格圖，點4,B,C,D,E,F,G,〃均在小方格的頂點上，以其中三個點為頂點，

然后數一數直角三角形的個數即可得出答案.

【解析】解:在如圖所示的4x4方格圖中，點B,C,D,E,F,G,X均在小方格的頂點上，以其中三

個點為頂點，構成的直角三角形有：

AAHE,AAHB,A4HF,八AED,AAEG,AEBF,AEBC,&EBG,VBFA,ABFH,AFCG,AFCD,

VFCH,ACGB,ACGE,&GDH,Z\GDA,叢GDE,ADHC,4DHF,八ABD,VABC,ZxBCD,ACDA,

&EGH,AEGF,AFHE,￡\FHG,共28個，

12

故答案為：28.

【變式2-3］（24-25八年級上?陜西西安?期中）如圖是由邊長為1的小正方形組成的正方形網格，VN8C的

頂點都在格點（正方形的頂點）上.求證：ZABC=90°.

【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.根據勾股定理，求出/公，AC2,5c2的值，再根據

勾股定理的逆定理，即可求出//3C.

【解析】解：???VN8C在邊長為1的小正方形組成的網格中，

AB2+12=2,AC2=32+12=10,5C2=22+22=8,

/.AB2+BC2=AC2,

.?.V/5C是直角三角形，

/.NABC=90°.

考點03：利用勾股定理逆定理求解

3.（24-25八年級上?江蘇淮安?期中）如圖，已知/。是8c邊上的中線，若8c=10cmAC=4cm,

AD=3cm,求V/2C的面積.

【答案】12

【分析】本題考查了關于三角形面積計算的題，由是BC邊上的中線可得到3Q=CQ=；3C=5,結合已

知，利用勾股定理逆定理可得△ADC是直角三角形，過點力作4E_LBC,垂足為￡,在△/DC中求出/E的

長，即V48c得高，即可求出面積.

【解析】解：???/〃是8C邊上的中線

：.BD=CD=-BC=5

2

DC2=52=25

AC2=42=16

AD2=32=9

13

AC2+AD2=DC2

:."DC是直角三角形且ADAC=90°

過/作4E_L8C,垂足為E,

AD-AC

,^/\ADC=

DCAE

~2

.3x4_5?5E

?,三一2

.12

AE——

5

S&ABC=]BC-AE

1，八12

=—xlOx——

25

=12

【變式3-1]（24-25八年級上?江蘇常州?期中）如圖，△/DC中，4D=13cm,AC=12cm,DC=5cm,B

是CD延長線上的點，連接48,若/3=15cm,

⑴說明//C2為直角，

⑵求AD的長.

【答案】（l）N/C3=90。

⑵BD=4cm

【分析】本題考查勾股定理定理及逆定理，根據逆定理得到ANCD是直角三角形，利用勾股定理求出3C=9

是解題關鍵.

（1）根據勾股定理逆定理確定4c2=4方即可得出結果；

（2）利用勾股定理得出BC=9,結合圖形即可求解.

【解析】（1）解：VAD=\3cm,/C=12cm,DC=5cm,

AAC2+DC2=122+52=169,AD2=\69,

AC2+DC2=AD

14

???ZACB=90°；

(2)VZACB=90°,

AC2+BC2=AB2.

AC=12cm,AB=15cm,

BC=YJAB2-AC2=9cm，

ABD=BC-CD=4cm.

【變式3-2](24-25八年級上?陜西西安?期中)如圖，在V/2C中，AB=U,NC=15,。為邊2C上的一

點，4D=12,BD=5.

(1)求證：AD1BC-,

(2)求V/2C的面積.

【答案】(1)見解析(2)84

【分析】⑴根據/B=13,AD=12,BD=5,得40?+助2=5?+12?=13?=//，證明ACMBC；

(2)根據勾股定理，得DC=dAC2-A。=9,求得BC=3Z)+DC=14,計算V/BC的面積即可.

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

【解析】(1)解：=AD=12,BD=5,

AD2+BD2=52+122=132=AB2,

:.ZADB=90°,

：.AD1BC■,

(2)解：根據勾股定理，得。C=個AC?-4D?=9，

:.BC=BD+DC=14,

:.V/8C的面積為：-8C&4D=-xl4xl2=84.

2J2

【變式3-3］如圖，在V4BC中，點。在邊3C上，已知。。=5,4。=12,點E在/。上，BE=AC=13.

BDC

15

(1)求證：ADIBC

(2)若CD=ED,求NB的長.

【答案】（1）見詳解

（2）AB=l2y/2

【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理證明A/CD是直角三角形，從而可得N/DC=90。，即可解答；

（2）利用（1）的結論可得：證明A5DE2A/DC（HL）,然后在中，利用勾股定理求出的長,

即可解答.

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理

的逆定理是解題的關鍵.

【解析】（1）證明：?.,4。=12,AC=13,CD=5,

AD2+CD2=122+52=169,AC2=132=169.

AD1+CD~=AC1,

.?.△/CD是直角三角形，

ZADC=90°,

ADIBC；

（2）解：J.ADIBC,

：.ZBDE=ZADC=90°,

?；CD=ED,BE=AC=13,

...ABDE知40c(HL),

：.BD=AD=\2,

AB=SIBD2+AD2=1272?

考點04：勾股定理逆定理的實際應用

j例題4.為了強化實踐育人，有效開展勞動教育和綜合實踐活動，我市某中學校園里現有一塊四邊

形的空地N5CD,如圖所示，學校決定開發該空地作為學生勞動實踐基地.經學校課外實踐活動小組測量

得到：ZBAD=90°,ND=3m,48=4m,5C=13m,CD=12m.根據你所學過的知識，求四邊形/BCD的

面積.

【答案】36m2

【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用,

先連接2。，根據勾股定理求出2D,再根據勾股定理的逆定理說明△BCD是直角三角形，然后根據面積公

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式求出答案即可.

【解析】如圖所示，連接8。,

根據勾股定理，得BD=dAB、AD?=J32+42=5(m).

,/BD2+CD2=52+122=169=3C2=132，

NBDC=90。,

,,$四邊形/Be。=S?ABD+，ABCD2x3x4+2*5x12-36Cm-)?

【變式4-1］（24-25八年級上?甘肅蘭州?期中）已知某開發區有一塊四邊形的空地/8C。，如圖所示，現計

劃在空地上種植草皮，經測量乙4=90。，N8=3m,3c=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需

要200元，問要多少投入？

C

【答案】需要投入7200元

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形

是直角三角形，在一個三角形中，即如果用a,b,。表示三角形的三條邊，如果/+62=02,那么這個三角

形是直角三角形.仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結果.連接5。，在直角三角形28。中

可求得8。的長，由8。、CD、5c的長度關系可得為一直角三角形，。。為斜邊；由此看，四邊形

ABCD由RtZ\4BD和RtADBC構成，則容易求解.

【解析】解：連接2D,如圖所示：

在中，CD2=132,BC2=122,

而122+5?=13，

IPBC-+BD-=CD-,

為直角三角形，NDBC=90°,

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四邊形

S245co=^ABAD+S/XDBC

=-ADAB+-DBBC

22

=—x4x3+—xl2x5

22

=36（m2）,

...需要的投入為36x200=7200（元）.

【變式4-2］（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）在學校組織的研學活動中，需要學生自己搭建帳篷.下圖是

搭建帳篷的示意圖.在V48c中，支架從帳篷頂點A支撐在水平的支架8c上，且ND」8c于點。，經

測量得：AB=2m,4D=1.2m,CD=0.9m.按照要求，帳篷支架N3與/C所夾的角需為直角.請通過計

算說明學生搭建的帳篷是否符合條件.

【答案】學生搭建的帳篷符合條件，見解析

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應用；先根據勾股定理求得2。=L6m,AC=1.5m,進而根據

勾股定理的逆定理，即可求解.

【解析】解：??.AD13C,

ZADB=ZADC=90°.

在RtAABD中，AD2+BD2=AB2，

.1.L22+BD2^22,

BD=1.6m.

BD+CD=1.6+0.9=2.5m.

在R3/CD中，AD2+CD2AC2，

1.22+0.92^^C2，

AC=1.5m.

AB2+AC2=22+1.52=6.25，BC2=2.52=6.25，

/.AB2+AC2=BC2;

：.ABAC=90°.

學生搭建的帳篷符合條件.

【變式4-3］（24-25八年級上?山西晉中?期中）如圖，某濕地公園有一塊四邊形草坪/8C。，公園管理處計

劃修一條/到C的小路，經測量，￡）0=90°,AD=1m,DC=24m,AB=20m,CS=15m.

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(1)求小路/C的長；

(2)淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點B處，小狗從點3開始以2m/s的速度在小路上沿8fCf/的

方向奔跑，跑到點/時停止奔跑，當小狗在小路C/上奔跑時，小狗需要跑多少秒與淇淇的距離最近？

【答案】(l)25m

(2)當小狗在小路。上奔跑時，小狗需要跑12秒與淇淇的距離最近.

【分析】本題考查了勾股定理與勾股逆定理，等面積法，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

(1)先運用勾股定理列式計算，即可作答.

(2)先證明ZABC=90°,再運用面積法，得出BH=\2,根據勾股定理列式計算得出HC=^BC2-HB2=9m，

最后結合運動速度，即可作答.

【解析】(1)解：VDr)=90o,AD=1m,DC24m,

.?.在RLUDC中，AC7Abi+DC。=25(m),

小路/C的長為25m；

(2)解：如圖所示：過8作

依題意，當小狗在小路CN上奔跑，且跑到點〃的位置時，小狗淇淇的距離最近.

,/AB=20m,C8=15m.AC=25m,

：.AC2=625,AB2+BC2=625,

^AC2=AB2+BC2,

：.ZABC=90°,

^S^ABC=^ABXBC=^ACXBH,

口ABxBC20x15、

即==—^=l2（m）,

ND

；?HC=YIBC2-HB2=9m

:小狗從點8開始以2m/s的速度在小路上沿8fCf/的方向奔跑，跑到點/時停止奔跑,

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77C+SC=9+15=24（m）,

貝i]24+2=12（s）

當小狗在小路C4上奔跑時，小狗需要跑12秒與淇淇的距離最近.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（24-25八年級上?安徽淮北?期中）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（）

A.1,2,V3B.6,8,10C.5,12,13D.3,5,7

【答案】D

【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長。，b,C滿足/+^=C2,那么這個三角形

就是直角三角形.

根據勾股定理的逆定理逐項判斷即可.

【解析】解：A.12+（6『=22,能組成直角三角形，不符合題意；

B.62+82=102,能組成直角三角形，不符合題意；

C.5?+122=132,能組成直角三角形，不符合題意；

D.32+52^72,不能組成直角三角形，符合題意；

故選：D.

2.（23-24八年級下?安徽合肥?期末）下列線段能組成直角三角形的是（）

1,11

=

A.a=—f~B.a=<2,b=<3,c=\J6

C.a=2,b=3,c=4D.〃=3,b=3,c=35/2

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，判斷線段能否組成直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用

勾股定理的逆定理加以判斷即可.根據勾股定理的逆定理進行判斷.

【解析】一]"梟呼

???不能構成直角三角形，故本選項錯誤；

.?.不能構成直角三角形，故本選項錯誤;

C、v22+32^42.

..?不能構成直角三角形，故本選項錯誤;

D、V32+32=（3A/2）2,

,能構成直角三角形，故本選項正確;

20

故選：D

3.（23-24八年級下?安徽亳州?期末）由下列條件不能判定V/8C為直角三角形的是（）

A.NA+NB=NC

B.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.AB=3k,BC=4k,AC=5k（人為正整數）

D.AC=3+k,AB=4+k,BC=5+k（k>0）

【答案】D

【分析】本題考查了直角三角形的判定，根據所給選項依次計算判斷即可得；掌握勾股定理，三角形內角

和是解題的關鍵.

【解析】解：+=4+Z8+/C=180。,

二ZC=90°,

：.NABC為直角三角形;

VZ^:ZS:ZC=1:2:3,

3

ZC=180°x---------=90°,

1+2+3

：.NABC為直角三角形;

VAB=3k,BC=4k,AC=5k（左為正整數）;

二AB2+BC2=AC2,

.?.V/3C為直角三角形;

VAC=3+k,AB=4+k,3c=5+左（左>0）

AB2+BC2AC2

：.NABC為直角三角形;

綜上，選項D說法錯誤，符合題意;

故選：D.

二、填空題

4.（23-24八年級下?安徽亳州?期中）如圖，V48c的三條邊=10,AC=8,BC=6,CDA.AB,則

CD=

24

【答案】y

【分析】利用勾股定理逆定理判定VNBC是直角三角形，后直角三角形的面積公式計算即可，本題考查了

勾股定理的逆定理，熟練掌握定理是解題的關鍵.

21

【解析】；43=10,AC=8,BC=6,

<5C2+^C2=62+82=100=102=y152,

，NACB=90°，

：.ABCD=ACBC,

.iAC?BC6x824

..CD=----------=------=——

AB105

24

故答案為：y

5.（22-23八年級下?安徽阜陽?期末）如圖，已知N,B,C是海上的三座小島，島8在島N的北偏東38。方

向上，距離為12海里，島C在島/的北偏東方向上，距離為13海里，島8和島C之間的距離為5海里,

則島2在島。的北偏西.方向上.

北

【答案】52°

【分析】本題主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行線的性質，關鍵是根據勾股定理的逆定理得

ZABC=90°.

先根據勾股定理的逆定理得443C=90。，再根據方向角的定義和平行線的性質計算即可.

【解析】解：如圖，過點C作C尸〃E8

8C=5海里,

AB2+BC2=AC2，

:.ZABC^90°,

■：ABAD=,AD//BE,

AABE=ABAD=38°,

NCBE=52°,

22

,?BE//CF,

NBCF=ACBE=52°,

.?.島3在島C的北偏西52。方向上.

故答案為：52°.

6.（23-24八年級下?安徽滁州?期中）為貫徹《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》的方針政策,

幫助同學們更好地理解勞動的價值與意義，培養學生的勞動情感、勞動能力和勞動品質，學校給八（1）班、

八（2）班各分一塊三角形形狀的勞動試驗基地.

（1）若班主任測量出八（1）班試驗基地的三邊長分別為5m,12m,13m,則這塊試驗基地的面積為一

m2

（2）八（2）班的勞動試驗基地的三邊長分別為N3=15m,SC=14m,AC=l3m（如圖），貝！|V4BC的面

積為______m2?

【答案】3084

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理的應用；

（1）利用勾股定理的逆定理判斷該三角形為直角三角形，進而求解即可；

（2）過A作N。18c交于點。.設BD=x,則CD=14-x,利用勾股定理分別求得N8、BD、即

可求解.

【解析】（1）解：?4+心守,

,該三角形為直角三角形，其中13為斜邊，

.?.這塊試驗基地的面積為gx5x12=30（m）

故答案為：30；

（2）解：過A作8c交2C于點D.

設=貝l]CD=14-x.

在RtAABD和RtA^CZ）中,

由勾股定理得

23

152-X2=132-(14-X)2,

解得x=9,

在中，由勾股定理得40=71^二折=/斤=12,

AS,?=-8C-^D=-xl4xl2=84(m2').

△Atsir^2J2\/

故答案為：84.

三、解答題

7.(23-24八年級下?安徽合肥?期末)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，V/8C的三個頂點均在

格點上，請按要求完成下列各題：

(1)判斷V/8C的形狀，并說明理由；

⑵求BC邊上的高.

【答案】(1)V/8C是直角三角形；理由見解析

(2)8C邊上的高為2

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理：

(1)勾股定理求出三邊長，勾股定理逆定理，判斷三角形形狀即可；

(2)等積法求高即可.

【解析】(1)解：V/8C是直角三角形；理由如下：

由勾股定理，得：AB=Vl2+22=45