專題07函數與導數核心考點深度剖析與壓軸題解答策略

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

題型一：含參數函數單調性討論9

題型二：導數與數列不等式的綜合問題11

題型三：雙變量問題13

題型四：證明不等式15

題型五：極最值問題17

題型六：零點問題19

題型七：不等式恒成立問題20

題型八：極值點偏移問題與拐點偏移問題23

題型九：利用導數解決一類整數問題25

題型十：導數中的同構問題27

題型十一：洛必達法則29

題型十二：導數與三角函數結合問題32

重難點突破：函數與導數背景下的新定義壓軸解答題34

差情;奏汨?日標旦祐

本節內容在高考中常作為壓軸題出現，涉及函數零點個數、不等式證明及存在性等問題，綜合性強且

難度較大。解決這類導數綜合問題，需要綜合運用分類討論、構造函數、等價轉化、設而不求等多種思維方

法，并結合不等式、方程等相關知識。這類問題不僅思維難度大，而且運算量也相當可觀。可以說，考生一

旦攻克了本節內容，就將具備出色的邏輯推理'數學運算、數據分析和直觀想象等核心素養。

考點要求目標要求考題統計考情分析

2024年天津卷第20題，16分函數與導數在高中數學

2023年I卷第19題，12分中占據重要地位，不僅是重點

掌握技巧，靈活

不等式2023年甲卷第21題，12分

應用求解考查內容，也是高等數學的基

2023年天津卷第20題，16分

礎。通過對近十年高考數學試

2022年H卷第22題，12分

題的分析，可以總結出五大核

2024年II卷第16題，15分

明確概念，掌握心考點：一是含參函數的單調

極最值2023年乙卷第21題，12分

求解方法性、極值與最值問題；二是函

2023年H卷第22題，12分

數的零點求解問題；三是不等

2024年I卷第18題，17分

式恒成立與存在性的探討；四

2024年甲卷第21題，12分

理解概念，熟練是函數不等式的證明技巧；五

恒成立與有解2022年北京卷第20題，12分

轉化求解是導數中涉及三角函數的問

2021年天津卷第20題，16分

2020年I卷第21題，12分題。其中，函數不等式證明中

的極值點偏移、隱零點問題、

2022年甲卷第21題，12分含三角函數形式的問題以及

理解原理，熟練

零點問題2022年I卷第22題，12分不等式的放縮技巧，是當前高

求解應用

2022年乙卷第20題，12分考函數與導數壓軸題的熱門

考點。

〃用識導圖?思維引航\\

//40w

1、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題.其解題要點如下：（1）定函數（極值

點為％0）,即利用導函數符號的變化判斷函數單調性，進而確定函數的極值點XO.

（2）構造函數，即根據極值點構造對稱函數尸（%）=/（%）-/（2%-%）,若證片，則令

斤（x）=/（x）-）（馮.

X

（3）判斷單調性，即利用導數討論尸（龍）的單調性.

（4）比較大小，即判斷函數廠（無）在某段區間上的正負，并得出/（%）與/（2%-%）的大小關系.

（5）轉化，即利用函數“口的單調性，將,（x）與/（2%—X）的大小關系轉化為X與2蒞-％之間的

關系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明/［土產］的符號問題，還需進一步討論二手與項的大小，得出工裝所在的

單調區間，從而得出該處導數值的正負.

構造差函數是解決極值點偏移的一種有效方法，函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿

于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內

在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單

調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個

適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能

獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效

2、應用對數平均不等式后＜廠工一＜”區證明極值點偏移：

inin乙

①由題中等式中產生對數；

②將所得含對數的等式進行變形得到高茫］；

inXy-inA2

③利用對數平均不等式來證明相應的問題.

3、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數利用函數的單調性證明

題中的不等式即可.

0

II真題研析?精準頸測N

1.(2024年高考全國甲卷數學(理)真題)已知函數〃x)=(l-*ln(l+x)-x.

⑴當a=—2時，求/(X)的極值；

⑵當MO時，/(%)>0,求4的取值范圍.

2.(2024年天津高考數學真題)已知函數/(x)=xlnx.

⑴求曲線y=在點(I"⑴)處的切線方程；

(2)若-6)對任意(0,+8)成立，求實數。的值;

⑶若入,9?0」)，求證：|/(x1)-/(x2)|<|x1-x2|i.

3.(2024年新課標全國II卷數學真題)已知函數/(》)=1-依-/.

(1)當a=l時，求曲線y=/W在點。，/⑴)處的切線方程；

(2)若/(尤)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

4.(2024年新課標全國I卷數學真題)已知函數〃x)=ln—+亦+6(%-1)3

(1)若b=0,且/(無)20,求a的最小值；

(2)證明：曲線y=/(尤)是中心對稱圖形；

⑶若/。)>-2當且僅當1<%<2,求》的取值范圍.

5.(2023年北京高考數學真題)設函數/(幻=%-%3*+,,曲線y=/(x)在點(11(1))處的切線方程為

y=-x+l.

(1)求。力的值;

(2)設函數g(x)=/'(x),求g(x)的單調區間；

⑶求/Xx)的極值點個數.

6.(2023年高考全國乙卷數學(文)真題)已知函數〃x)=[：+a]ln(l+x).

⑴當a=-1時，求曲線y=/(x)在點(1,f⑴)處的切線方程.

(2)若函數在(0,+8)單調遞增，求。的取值范圍.

sinx(Jr

7.(2023年高考全國甲卷數學(文)真題)已知函數〃”=依——-,xe0,-

COSXk，

(1)當a=l時，討論/(x)的單調性；

⑵若〃x)+sinx<0,求”的取值范圍.

QinY(JT?

8.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)已知函數/(x)=or———,xe0,-

cosxv2J

⑴當。=8時，討論了(無)的單調性；

⑵若f(x)<sin2尤恒成立，求。的取值范圍.

9.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)已知函數/(x)=(j+ajln(l+x).

⑴當a=-1時，求曲線y=“X)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關于直線x=b對稱，若存在，求a,6的值，若不存在，說明理由.

⑶若〃x)在(0,+8)存在極值,求a的取值范圍.

10.(2023年天津高考數學真題)已知函數〃x)=/+gjln(x+：l).

(1)求曲線y=f(x)在x=2處的切線斜率；

(2)求證:當無>0時,/(%)>1；

(3)證明:—<ln(n!)-ln+—llnn+n<l.

11.(2023年新課標全國I卷數學真題)已知函數/(x)=a(e，+a)-尤.

⑴討論/(X)的單調性；

3

(2)證明：當〃>0時，/(x)>21n?+-.

12.(2023年新課標全國H卷數學真題)(1)證明：當0<%<1時，x-%2<sinx<x;

(2)已知函數"x)=cosox-ln(l-x2),若％=。是/⑴的極大值點，求。的取值范圍.

13.(2022年新高考天津數學高考真題)已知a,beR,函數/(x)=e*-asinx,g(x)=Z??

⑴求曲線y=/(x)在(0,〃0))處的切線方程；

(2)若曲線y=/(%)和y=g(%)有公共點，

(i)當a=0時，求b的取值范圍；

(ii)求證：+人2>?.

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：含參數函數單調性討論

【典例1-1】設/(x)=(尤?+a尤+,aeR.

(1)若a=0,求/(x)在x=l處的切線方程；

⑵若aeR,試討論了(尤)的單調性.

【典例1-2］已知函數〃x)=ln(l-x)+Aln(l+x),左20.

⑴若函數“X)存在一條對稱軸，求左的值；

(2)求函數“X)的單調區間.

1、導函數為含參一次型的函數單調性

導函數的形式為含參一次函數時，首先討論一次項系數為0,導函數的符號易于判斷，當一次項系數

不為零，討論導函數的零點與區間端點的大小關系，結合導函數圖像判定導函數的符號，寫出函數的單調

區間.

2、導函數為含參二次型函數的單調性

當主導函數(決定導函數符號的函數)為二次函數時，確定原函數單調區間的問題轉化為探究該二次

函數在給定區間上根的判定問題.對于此二次函數根的判定有兩種情況：

(1)若該二次函數不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；

(2)若該二次函數容易因式分解，令該二次函數等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判

定導函數的符號，從而判斷原函數的單調性.

3、導函數為含參二階求導型的函數單調性

當無法直接通過解不等式得到一階導函數的符號時，可對“主導”函數再次求導，使解題思路清晰.“再

構造、再求導”是破解函數綜合問題的強大武器.

在此我們首先要清楚了"(無)、「(x)、/(x)之間的聯系是如何判斷原函數單調性的.

(1)二次求導目的：通過/〃(幻的符號，來判斷尸(x)的單調性；

(2)通過賦特殊值找到尸(x)的零點，來判斷/''(X)正負區間，進而得出/(x)單調性.

【變式1-1］已知函數〃x)=e2"-2”:.

⑴當”=2時，求曲線在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵討論“X)的單調性.

【變式1-2］(2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測)已知函數〃尤)=x-lnx-2.

⑴求曲線y=/(x)在(e,e-3)處的切線方程；

⑵若a20,g(x)=or-2(tu+l)-/(^),討論函數g(x)的單調性.

命題預測［

1.已知函數/(x)=lnx+?-2x.討論當a>0時，/(x)的單調性.

題型二：導數與數列不等式的綜合問題

【典例2-1］［新考法］(2024?陜西榆林?模擬預測)不動點在數學和應用中具有重要作用，不動點是指被函

數映射到其自身的點.對于函數/(%)，我們把滿足/(〃)=。的。稱為函數/(x)的不動點，已知函數

f(x\=x'—x1+—x+^-.

\，24

⑴證明：在(0,，有唯一的不動點不；

(2)已知無1=0,尤,+1=/(%),必=：,%+］=/(%),%=%-匕,且｛為｝的前，項和為5“,〃€>1*.證明：

①｛%｝為遞增數列，｛%｝為遞減數列，且%>%；

②S.

9

【典例2?2】已知函數/(%)=3111犬+依2一耳光+3.

⑴討論函數八%)極值點的個數；

33｝9

(2)當。=5時，數列｛%｝滿足：q=亍4+1=f￡(a"'+1.求證:｛%｝的前"項和滿足“<S=<〃+鼻.

在解決等差、等比數列綜合問題時，要充分利用基本公式、性質以及它們之間的轉化關系，在求解過

程中要樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，并適時地采用“巧用性質，整體考慮”的方法.可以達到

減少運算量的目的.

【變式2-1］［新考法］(2024?高三?遼寧?開學考試)已知函數/(何=1天-/(e是自然對數的底數).

⑴若a=2e,求/(x)的極值;

(2^xw(-L,+8),V〃eN*,/(x)V(x+2)”-x-3,求a；

⑶利用(2)中求得的。，若/(x)=〃liu)+無+J,數列^/滿足4式。』)，且。用=*a”)，證明:

2%+i+an+3-l>2a?+2.

【變式2-2】已知函數〃x)=ln(依+1)-x在點(0,0)處的切線與無軸重合.

⑴求函數“X)的單調區間與極值；

(2)已知正項數列｛叫滿足％=1,a?+1=ln(fl?+l),〃wN*,記數列｛%｝的前〃項和為工，求證:

S”>In(〃+1).

命題預測

1.牛頓(1643—1727)給出了牛頓切線法求方程的近似如圖設/是y=/(x)的一個零點，任意選取不作為

「的初始近似值，過點(見)(久0))作曲線y=f(x)的切線4，4與x軸的交點為橫坐標為4，稱X］為r的1

次近似值，過點(卬/%))作曲線y=/(%)的切線L4與x軸的交點為橫坐標為“稱9為「的2次近似

值.一般地，過點(乙,〃七))作曲線y=/(%)的切線/用，/用與x軸的交點為橫坐標為x,+i，就稱Xx為r

的”+1次近似值，稱數列｛%｝為牛頓數列.

⑴若/(x)=x3+x-l的零點為r,%=。，請用牛頓切線法求『的2次近似值；

(2)已知二次函數g(x)有兩個不相等的實數根。,c(c>b),數列｛七｝為g(x)的牛頓數列，數列｛。“｝滿足

%且x.>c.

Xn-C

(i)設天+|=刈%)，求力(王)的解析式；

1112

(ii)證明：一+—+…+-<--

。GGInq

題型三：雙變量問題

【典例3-1】已知函數/(x)=xlnx-x.

⑴求函數的最值；

(2)若函數g(x)=〃x)-加+。有兩個不同的極值點，記作玉,尤2，且西<々，求證：1叫+21噸>3.

【典例3-2］已知函數/(尤)=尤?-ax+21nx,aeR.

⑴當。=2時，求曲線y=/(x)在點(11(D)處的切線方程;

(2)已知/(%)有兩個極值點%,無2，且再<馬，

(D求實數。的取值范圍;

(ii)求的最小值.

破解雙參數不等式的方法：

一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的

不等式；

二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.

【變式3-1](2024?高三?江蘇無錫?期中)已知函數〃x)=e\

(1)若VxeR,不等式：W(x)-x>0恒成立，求實數機的取值范圍；

⑵過點7(。)可以作曲線V=/(%)的兩條切線，切點分別為A(a,e”),3(6,e").

①求實數t的取值范圍；

②證明：若a>b,則

mn

【變式3?2】(2024.四川成都?模擬預測)定義運算：=吁呼，已知函數

pq

Inxx-\1

/(尤)=,,g(x)=一―1.

1ax

(1)若函數/(X)的最大值為0,求實數。的值；

⑵證明：+++

(3)若函數五(x)=/(x)+g(x)存在兩個極值點%證明：'&)一'、)-。+2<0.

命題預測

1.已知函數/(x)=lnx-x+a.

⑴若直線y=(e-l)x與函數〃x)的圖象相切，求實數。的值;

⑵若函數g(x)=j/(x)有兩個極值點X］和9，且不<工2，證明：^2+X］>l+ln土］.(e為自然對數的底

1*2)

數)

題型四：證明不等式

【典例4-1】(2024?高三?四川?期中)已知函數/(x)=ox-tanx,xe|o,g

⑴當。=2時，求/(x)的單調區間;

(2)若aV2,證明：/(x)<sin2x.

【典例4-2］已知x>0,證明：e'-sinx-l>xlnx.

巧

利用導數證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構造函數法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)vg(x))轉化為證明/(x)-g(x)>。(或

進而構造輔助函數〃(x)=〃x)-g(x)；

(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；

(3)構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.

(4)對數單身狗，指數找基友

(5)凹凸反轉，轉化為最值問題

(6)同構變形

【變式4-1】已知函數〃%)=：尤2-(Q+2)x+2〃lnx(a^R).

⑴討論函數/(X)的單調區間；

117

(2)當〃時，證明：—x2+—xeA+l—2.

【變式4-2]已知函數"x)=or+xln[l+谷-(l+x)ln(l+x).

⑴若曲線y=在點(0,/(0))處的切線與x軸平行，求。的值；

⑵設函數g(x)=4]￡|,給出g(?的定義域，并證明：曲線y=g(x)是軸對稱圖形;

(3)證明：[1+j

命題預測T

1.已知函數/(%)=a(e*+a)—x.

⑴當。=1時，求函數在(1,7⑴)的切線方程;

⑵討論/(x)的單調性;

3

(3)證明：當。>0時，/(x)>21na+-.

題型五：極最值問題

【典例5-1]已知函數/(x)=xz-mx+2\nx(meR).

(1)若f(x)在其定義域內單調遞增，求實數5的取值范圍；

(2)若4VM<5,且f(無)有兩個極值點X],%，其中玉<々，求/(西)-/(尤2)的取值范圍.

【典例5-2】(2024?四川眉山?一模)已知函數/(x)=e'-依-2(aeR).

⑴當a=2時，求的零點個數；

e2”

⑵設aN2,=-+?el-1.

(i)判斷g(x)的單調性；

(ii)若g'(?i)=g'(〃)(?/<〃),求g(m)+g(〃)的最小值.

巧

利用導數求函數的極最值問題.解題方法是利用導函數與單調性關系確定單調區間，從而求得極最

值.只是對含有參數的極最值問題，需要對導函數進行二次討論，對導函數或其中部分函數再一次求導，

確定單調性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數有關，因此對函數的極最值又需引入新

函數，對新函數再用導數進行求值、證明等操作.

【變式5-1](2024?高三?天津?期末)已知函數〃x)=xe，.

⑴求函數在x=l處的切線方程；

(2)令g(x)=〃x)-a(x+lnx).

⑴討論函數g(x)極值點的個數；

(ii)若與是g(x)的一個極值點，且g(Xo)>O,證明：g(%o)>2(xo-%o).

【變式5-2](2024?高三?黑龍江哈爾濱?期中)已知函數/(x)=lnx+“無

⑴當”=1時，求/(尤)在(1J。))處的切線方程；

(2)若/(X)存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范圍.

命題預測[I

1.已知函數+lnx-cos2x.

⑴判斷/(X)在區間(嗚]上的單調性；

⑵求“X)在區間兀)上的極值點的個數.

題型六：零點問題

【典例6-1］已知曲線/(x)=e'(依+1)在x=l處的切線方程為y=6x-e.

⑴求a,b；

(2)若函數g(x)=/(%)-3e'-機有兩個零點，求實數m的取值范圍.

【典例6-2］(2024?高三?湖北?期中)設函數〃刈=1-］卜《工+1.

⑴討論函數/(X)在區間［0,可上的單調性；

?JT3兀

(2)判斷并證明函數y=/(x)在區間-,y上零點的個數.

函數零點問題的常見題型：判斷函數是否存在零點或者求零點的個數；根據含參函數零點情況，求參數

的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖像與1軸(或直線、=左)在某區間上的

交點問題；

第二步：利用導數研究該函數在此區間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；

第三步：結合圖像判斷零點或根據零點分析參數.

【變式6-1】已知〃x)=liw-a.±q,aeR.

⑴當a=l時，求曲線)=/(尤)在點處的切線方程.

(2)若恰有1個極大值點和1個極小值點.

①求極大值與極小值的和；

②判斷“X)零點的個數.

【變式6-2】已知函數/(%)=萬一++.

⑴當a=-l時，求曲線y=〃x)在點(2,〃2))處的切線方程;

(2)若“X)有兩個零點，求。的取值范圍.

命題碩測

1.已知函數/(x)=f-辦+21nx.

⑴當a=5時，求函數/Xx)的單調區間；

(2)設〃(x)=sinx+lnx,求證：當ae[l,2]時，/(x)-21nx=x/z(x)有且僅有2個不同的零點.

IT7T37r371

(參考數據：--In-?1.119,n-ln7T?1.997,y-ln—?3.162,27r-ln27r?4.445)

題型七：不等式恒成立問題

【典例7-1](2024?高三?天津濱海新?期末)已知函數7>0)=尤111%,g(x)^(a+l)x-a.

⑴當。=1時，求函數聯幻=/(x)-g(x)的單調區間；

(2)若存在xe[l,e]時，使+依-3成立，求a的取值范圍.

(3)若不等式f(x)-g(X)<(x-a-2)ei+a對任意xe口,+◎恒成立，求實數a的取值范圍.

【典例7-2】已知函數/(x)=x-0-21n尤(aeR).

X

⑴已知/Xx)在x=3處取得極小值，求a的值；

(2)對任意xNl,不等式x----21nx-1+a20恒成立，求a的取值范圍.

x

1、利用導數研究不等式恒成立問題的求解策略：

(1)通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題；

(3)根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數

后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論

法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別.

2、利用參變量分離法求解函數不等式恒(能)成立，可根據以下原則進行求解：

(1)\/xeD,帆1nhi；

(2)VxeD,；

(3)3xeD,帆三，0)0加三/(兀)??；

(4)3xeD,相相二/(x)1nhi.

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：

一般地，已知函數V=/(兀)，x^[a,b],y=g(x),xe[c,d].

⑴若“引。,可，VX,&[c,d],有〃%)vg&)成立，則〃%)1n；

(2)若vxc[a,可，e[c,(7],有?/■&)<g(巧)成立，則〃^濡<g(x)；

1HX21mx

⑶若當e[a，N，HX2e[c,(7],有〃③)<g&)成立，則/⑸1n<8(X)皿；

(4)若VNe[a,可，Hx2e[c,d],有〃因)=g(F)成立，則/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

【變式7-1]已知函數〃x)=-：-lnx+l.

⑴求“X)的極值；

⑵設g(X)="X)+三-一1(?GR).

(i)當a>0時，求函數g(x)的單調區間；

(ii)若g(x)〈l-x-：在。,+8)上恒成立，求實數。的取值范圍.

【變式7-2](2024?重慶?模擬預測)設aeR,已知函數/(x)=lnx+ax—片+2.

⑴當函數〃x)在點(2,/(2))處的切線機與直線/:3x-2y-l=0平行時，求切線機的方程;

(2)若函數的圖象總是在x軸的下方，求。的取值范圍.

[命題預測

士..............J

1.已知awR,函數/(x)=e*-依-1,gO)=x—ln(x+l)(e是自然對數的底數).

⑴討論函數極值點的個數；

⑵若f(x)=e「辦-120對任意的xeR恒成立，求實數。的值；

(3)在第(2)小題的條件下，若存在xe[0,+“)，使得/(X)<依⑶，求實數上的取值范圍.

題型八：極值點偏移問題與拐點偏移問題

【典例8-1］已知函數/(x)=g+ln%g(x)=ox—lnx—2.

(1)若〃＞0,當/(%)與g(%)的極小值之和為。時，求正實數。的值;

112

(2)若/(玉)=/(入2)=2(%A%)，求證：一+—＞一.

元］工2a

【典例8-2】已知函數%)=。。2*+。、+%，acR.

⑴若在兀=0處取得極值，求。的值；

⑵設g(x)=/(x)-(a+3)ex,試討論函數g(x)的單調性；

⑶當。=2時，若存在實數4，巧滿足/&)+/(％)+3e、'M=0,求證：9+小＞；.

巧

1、極值點偏移的相關概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函數圖像沒有對稱

性.若函數/'(x)在％=/處取得極值，且函數y=/(x)與直線y=b交于4(七,3,以出力)兩點，則A5的

中點為河(七迤,6),而往往「工與迤.如下圖所示.

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數y=/(x)在區間(區與內只有一個極值點％0,方程/'(X)的解分別為

%、9，且。〈X＜/＜》，(1)若紅盛包片飛,則稱函數y=/(x)在區間(為,電)上極值點％°偏移；(2)

若當三＞%,則函數y=/(%)在區間(為,巧)上極值點％。左偏，簡稱極值點%。左偏；(3)若當選＜%,

則函數y=Ax)在區間區,％)上極值點％。右偏，簡稱極值點/右偏.

【變式8-1］已知函數/(%)=2111%+:加-2(〃z+l)x-8,msR.

(1)討論函數〃x)的單調性;

(2)對實數根=2,令g(x)=/(x)—3x,正實數X],々滿足g(X)+g(%)+2%/=。,求)+々的最小值.

【變式8-2】已知函數/(耳=號尸，其中e為自然對數的底數.

(1)當。=1時，求/(元)的單調區間；

(2)若方程f(尤)—1有兩個不同的根X1,%.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：無；+考＞2.

命題預測

1.已知函數/(x)=?x-xlnx,7'(x)為其導函數.

⑴若/(x)Vl恒成立，求。的取值范圍；

(2)若存在兩個不同的正數%,%，使得/(%)=〃動，證明：f'(斥)>0.

2.［新考法］已知函數/(x)=f-2ax+41nx.

(1)討論/(x)的單調區間；

(2)已知ae［4,6］,設了。)的兩個極值點為4，%(4<%),且存在力eR,使得>=/W的圖象與y=。有三

個公共點可,尤2，演(芯</<$)；

①求證：%+尤2>24；

②求證：七-王<4，7.

題型九：利用導數解決一類整數問題

【典例9-1］已知函數/(x)=e'-x2-2x+a.

⑴證明：“X)有兩個極值點，且分別在區間(-1,0)和(虛,6)內；

(2)若〃x)有3個零點，求整數。的值.

參考數據：e^?4.11，e如25.65，A/3-1.73,后士1.4L

【典例9.2】已知函數/(x)=lnx+辦2+3(〃￡R).

⑴當。=一;時，求函數“X)的極值；

(2)求函數〃尤)的單調區間；

(3)當a=0時，若獷(%)＞依-上+2在時恒成立，求整數上的最大值.

巧

分離參數、分離函數、半分離

【變式9-1】函數〃x)=(d+國e'(aeR).

⑴求〃x)的單調區間;

⑵若/(x)=x只有一個解，則當尤＞0時，求使誓〉(區-成立的最大整數左

【變式9-2](2024?福建廈門?模擬預測)已知函數〃x)=e'-依.

⑴討論函數/⑺的單調性；

(2)設8(彳)=/(X)-b,若存在藥＜%＜判,使得g(%)=g(蒼)=g/).

①求。的取值范圍；

②設機為整數，若當。＜3時，相應的與三總滿足〃*%+電，求7〃的最小值.

命題預測

1.已知函數/(x)=x(lnx+l).

⑴若曲線y=〃x)在點&,八%))處的切線的斜率小于1,求與的取值范圍.

(2)若整數人使得/(x)2A-)對Xe(0,內)恒成立，求整數女的最大值.

題型十：導數中的同構問題

【典例10-1】(2024?內蒙古?三模)已知函數=—冰+21nx.

(1)討論〃元)的單調性;

⑵若，>0"(%)<e"恒成立，求。的取值范圍.

【典例10-2】已知函數/(x)=》x+--------2([￡氏).

x+1

(1)討論函數/(%)的單調性；

(2)當a=2時，求證：/(x)>0在(l,+oo)上恒成立;

,V2

(3)求證：當x>0時，ln(x+1)>-------.

ex-I

Hl巧

1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式

2、同構式的應用：

⑴在方程中的應用：如果方程/（。）=0和/僅）=0呈現同構特征，則兄少可視為方程"4）=。

的兩個根

（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而

和函數的單調性找到聯系.可比較大小或解不等式.〈同構小套路〉

①指對各一邊，參數是關鍵；②常用“母函數”：f（x）^x-ex,f（x）=ex±x；尋找"親戚函數”是關鍵；

③信手拈來湊同構，湊常數、x、參數；④復合函數（親戚函數）比大小，利用單調性求參數范圍.

（3）在解析幾何中的應用：如果A（西,3）,6（%,%）滿足的方程為同構式，則AB為方程所表示曲線

上的兩點.特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線A5的方程

（4）在數列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于（4,〃）與（4-,〃-1）的同構

式，從而將同構式設為輔助數列便于求解

【變式10-1】（2024?高三?天津西青?期末）已知函數/（x）=e'—ax和g（無）=ox—lnx.

⑴若曲線數y=/（元）與'=8（尤）在x=I處切線的斜率相等，求。的值；

⑵若函數Ax）與g（x）有相同的最小值.

①求。的值；

②證明：存在直線＞=b,其與兩條曲線y=/（x）與y=g（尤）共有三個不同的交點，并且從左到右三個交點

的橫坐標成等差數列.

【變式10-2］對任意x＞0,若不等式。爐46*+依111》（。＞0）恒成立，求。的取值范圍.

命題預測

1.2024.四川遂寧.模擬預測)已知函數/(x>=e",g(x)=ln(x+〃),直線/：y=x+機為曲線y=/(元)與

y=g。)的一條公切線.

⑴求機,〃；

(2)若直線l':y=s(O<s<1)與曲線y=/(%),直線I,曲線y=g(x)分別交于&國,％),B(x2,y2),C(x3,y3)三

點，其中且再，馬，三成等差數列，證明：滿足條件的,有且只有一個.

2.已知函數〃x)=ae*—x.

⑴討論〃x)的單調性；

x

e-1

(2)若Q〉0,VXW(0,+8),/(X)>------,求〃的取值范圍.

題型十一：洛必達法則

【典例11-13已知函數f(x)=a\nx+bx(a,be/?)*%=-處取得極值，且曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的

2

切線與直線%-丁+1=0垂直.

(1)求實數。力的值；

(2)若X/x￡[l,+8),不等式—2)%——恒成立，求實數加的取值范圍.

x

Y

【典例11?2】設函數/(x)=l—"].當X20時，/(%)<-----，求。的取值范圍.

ax+1

國國國

法則1、若函數/(X)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=0及limg(x)=0；

(2)在點a的去心鄰域(a—kj(a.a+￡)內,/(%)與g(x)可導且g，(x)W0;

?)同34=/，那么同44=同34"

⑴Ig(x)Eg。)

法則2、若函數/(冗)和g(x)滿足下列條件：⑴lim/(x)=0及limg(x)=0；

X-X?'/X->00\7

(2)3A>0?/(1)和g(%)在(―8,A)與(A+8)上可導，且g，(Ar)wO；

(3)lim--~~——I,

3°g”)

那么Iimg4=limg4=/.

法則3、若函數/⑴和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=oo^limg(x)=oo；

(2)在點a的去心鄰域(a—e,a)kJ(a,a+￡)內，/(%)與g(x)可導且g，(x)W0;

⑶hm—汰=1,

』g'(x)

那么同父=同可"

ig(力Ig[x)

注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：

(1)將上面公式中的1—〃，xf+oo,x—,尤_>々+,尤.洛必達法則也成立.

(2)洛必達法則可處理9,巴,0.OO，1”,,n°,oo-oo型.

0oo18U

(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足9,藝，0.8，r，g°,n°,00-00型定式，否則

00018U

濫用洛必達法則會出錯.當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從

另外途徑求極限.

(4)若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止.

lim44=lim^4=lim^4,如滿足條件，可繼續使用洛必達法則.

sinY

【變式11-1】設函數/(x)=--------.如果對任何x'o,都有/(X)WGC,求。的取值范圍.

2+cosx

【變式11-2】已知/(%)=(x+l)/nx.

(1)求/(%)的單調區間；

(2)若對任意工..1,不等式宜［㈣-以］+④。恒成立，求。的取值范圍.

x+1

命題預測

1.已知函數/(%)二犬-mx-ex+1.

(1)若函數/(%)在點(1,f(1))處的切線/經過點(2,4),求實數相的值;

(2)若關于x的方程|/1(%)|=如有唯一的實數解，求實數用的取值范圍.

題型十二：導數與三角函數結合問題

【典例12-1】(2024?內蒙古赤峰?二模)已知尤兀J.

(1)將sin龍，cosx,x,-gf+i按由小到大排列，并證明；

⑵令/(x)=xe'+A-COSX-2sinr-sin2x,求證：/(*)在兀)內無零點.

【典例12-2］已知函數〃x)=ln(l+x)+ax2-彳(。>0).

⑴討論的單調區間;

1

⑵若函數g(x)=x-ln(l+x),證明：g(sina)+g(cosa)<-.

2

巧

分段分析法

【變式12?1】已知函數/O)=sinx,g(x)=ex-rrvc-cosx,(meR)

⑴求證：口隰

,/(%)<%；

(2)若g(x)在。+8)上單調遞增，求的最大值;

、1715

(3)設〃=以光一,b=—,c=ln，試判斷a,6,C的大小關系.

28

【變式12-2](2024?黑龍江佳木斯三模)已知函數/(力=皿1+力+依2—%.

⑴當。=0時，求"X)在彳=0處的切線方程：

(2)若〃x)在(0,+“)上單調遞增，求。的取值范圍；

⑶若g(x)=x-ln(l+x),證明：g(sina)