2025年中考數學一輪復習

第18講圖形認識初步

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，∠MON的度數可能是（）

A．50°B．60°C．70°D．120°

2．如圖是一個正方體的表面展開圖，則原正方體中與“的”字所在的面相對的面上標的漢字是（）

A．祖B．國C．厲D．害

3．一副三角板按如圖所示的方式擺放，則∠1余角的度數為（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

4．如圖，電腦屏幕上，設計一個運動的光點P，點P先沿水平直線從左向右勻速運動到點A，在A點向

右轉70°后，再沿直線勻速運動到B點，在B點向左轉100°后，再沿直線勻速運動到C點，在C點再

向右轉45°后，沿直線勻速運動到M點，此時點M在C點的（）

A．南偏東15°B．南偏西45°C．南偏東75°D．南偏東85°

5．如圖，從點O處觀測點A，點D的方向，下列說法中錯誤的是（）

A．點A在點O的北偏東30°方向上

B．點D在點O的東南方向上

C．點A在點O的北偏東60°方向上

D．點D在點O的南偏東45°方向上

6．如圖，將兩塊三角板的直角∠AOB與∠COD的頂點O重合在一起，繞點O轉動三角板AOB，使兩塊

三角板仍有部分重疊，且∠AOD＝3∠BOD，則∠AOC的度數為（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

7．兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC與DG交于點F．若

∠EDB＝58.1°，則∠AFD的大小為（）

A．63.1°B．73.1°C．76.9°D．58.1°

8．數學知識在生產和生活中被廣泛應用，下列有關實例（如圖）所應用的最主要的幾何知識，說法不正

確的是（）

A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應用了“三角形的穩定性”

B．圖②中建筑工人砌墻時，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應用了“兩點之間，線段最短”

C．圖③中體育課上，測量立定跳遠的成績，應用了“點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度”

D．圖④中車輪做成圓形，應用了“圓上各點到圓心的距離都相等”

9．如圖，取一根長100cm的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來．在中點O的左側距離中

點O25cm（L1＝25cm）處掛一個重9.8N（F1＝9.8N）的物體，在中點O右側用一個彈簧秤向下拉，使木

桿處于水平狀態，彈簧秤與中點O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數F（單位：N）滿足FL＝F1L1.

若彈簧秤的示數F不超過7N，則L的取值范圍是（）

A．0＜L＜35B．L＞35C．0＜L≤35D．35≤L≤50

10．小欣同學用紙（如圖）折成了個正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，

選出墨水在哪個盒子中（）

A．B．C．D．

二．填空題（共5小題）

11．一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不

透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和

最大是．

12．若∠A與∠B互為補角，并且∠B度數的一半比∠A的度數小30°，則∠B的度數為．

13．如圖，在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西54°的方向，同時輪船B在南偏東15°的方向，那么∠

AOB＝．

14．如圖，在A、B兩地間修一條筆直的公路，從A地測得公路的走向為北偏東70°，如果A、B兩地同

時開工，那么∠B為°時，才能使公路準確接通．

15．有一個正六面體骰子放在桌面上，若將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90°為一次，則滾

動第2023次后，骰子朝下一面的點數是．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別

為a、2a的直角三角形，圖形乙是邊長為a的正方形．

（1）立體圖形①的名稱是；

（2）請問立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？（用含a和的式子表示，圓錐，圓柱

122

π?=3????=???)

17．如圖，B處在A處的南偏西45°方向上，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東60°

方向，求∠ACB的度數．

18．一個無蓋的長方體盒子的展開圖如圖所示．

（1）該盒子的底面的長為（用含a的式子表示）．

（2）若①，②，③，④四個面上分別標有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對兩個面上的整式

的和相等，求x的值．

（3）請在圖中補充一個長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋．

19．【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板

COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉，旋轉時間為t秒，當OD邊與OB邊重合時停止轉動．

【解決問題】

（1）在旋轉過程中，請填出∠AOC、∠BOD之間的數量關系；

（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；

（3）當∠AOC、∠BOD中一個角的度數是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優線”，請直接

寫出所有滿足條件的t值．

20．某風景區A，B，C，D四個景點在一條直線上，圖中數據為各景點之間的距離（單位：千米）．

（1）求景點C，D之間的距離．（用含m的代數式表示）

（2）若景點C到景點A的距離與景點C到景點D的距離相等，求景點B，D之間的距離．

2025年中考數學一輪復習之圖形認識初步

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，∠MON的度數可能是（）

A．50°B．60°C．70°D．120°

【考點】角的概念；平行線的性質．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】C

【分析】根據量角器的用法將量角器移至正確位置即可判定求解．

【解答】解：由量角器的位置可判斷ON與70°的刻度線接近平行，

∴將量角器右移，使點O與量角器的中心點位置重合時，ON與70°刻度線接近重合，

∴∠MON是70°，

故選：C．

【點評】本題主要考查角的概念，平行線的性質，掌握量角器的用法是解題的關鍵．

2．如圖是一個正方體的表面展開圖，則原正方體中與“的”字所在的面相對的面上標的漢字是（）

A．祖B．國C．厲D．害

【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字．

【專題】投影與視圖；空間觀念．

【答案】B

【分析】根據正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．

【解答】解：根據正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，

“祖”與“厲”是相對的面，

“國”與“的”是相對的面，

“我”與“害”是相對的面，

故選：B．

【點評】本題考查正方體的展開與折疊，掌握正方體表面展開圖的特征，正確判斷正方體展開圖中“相對

的面”是正確解答的關鍵．

3．一副三角板按如圖所示的方式擺放，則∠1余角的度數為（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

【考點】余角和補角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．

【答案】D

【分析】由題意可得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，再利用余角的定義即可求解．

【解答】解：由題意知：∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，

得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，

所以∠1的余角為90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°．

故選：D．

【點評】本題主要考查余角及角的和差關系，解答的關鍵是由圖形得到∠1的度數．

4．如圖，電腦屏幕上，設計一個運動的光點P，點P先沿水平直線從左向右勻速運動到點A，在A點向

右轉70°后，再沿直線勻速運動到B點，在B點向左轉100°后，再沿直線勻速運動到C點，在C點再

向右轉45°后，沿直線勻速運動到M點，此時點M在C點的（）

A．南偏東15°B．南偏西45°C．南偏東75°D．南偏東85°

【考點】方向角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．

【答案】C

【分析】如圖，根據三角形外角的性質得出∠ADB＝30°，然后再計算出∠FCM＝75°，根據方向角的定

義即可得出答案．

【解答】解：如圖，

∵∠ADB＝100°﹣70°＝30°，∠CED＝90°，

∴∠DCF＝30°+90°＝120°，

∴∠FCM＝120°﹣45°＝75°，

∴此時點M在C點的南偏東75°．

故選：C．

【點評】本題考查了方向角，關鍵是熟練掌握三角形的外角的性質和方向角的定義．

5．如圖，從點O處觀測點A，點D的方向，下列說法中錯誤的是（）

A．點A在點O的北偏東30°方向上

B．點D在點O的東南方向上

C．點A在點O的北偏東60°方向上

D．點D在點O的南偏東45°方向上

【考點】方向角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．

【答案】A

【分析】根據方向角的定義，逐一判斷即可解答．

【解答】解：A、點A在點O的北偏東60°方向上，故A符合題意；

B、點D在點O的東南方向上，故B不符合題意；

C、點A在點O的北偏東60°方向上，故C不符合題意；

D、點D在點O的南偏東45°方向上，故D不符合題意；

故選：A．

【點評】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關鍵．

6．如圖，將兩塊三角板的直角∠AOB與∠COD的頂點O重合在一起，繞點O轉動三角板AOB，使兩塊

三角板仍有部分重疊，且∠AOD＝3∠BOD，則∠AOC的度數為（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【考點】角的計算．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】B

【分析】根據題意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，再由∠AOD＝3∠BOD，

可得3∠AOC+∠BOC＝180°，即可求解．

【解答】解：根據題意得：∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，

∴∠AOC＝∠BOD，

∵∠AOD＝3∠BOD，

∴∠AOD＝3∠AOC，

∴3∠AOC+∠BOC＝180°，

∴2∠AOC+∠AOB＝180°，

∴2∠AOC+90°＝180°，

解得：∠AOC＝45°．

故選：B．

【點評】本題主要考查了角的和與差，解題的關鍵是正確推理．

7．兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC與DG交于點F．若

∠EDB＝58.1°，則∠AFD的大小為（）

A．63.1°B．73.1°C．76.9°D．58.1°

【考點】余角和補角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】B

【分析】先由三角形內角和定理得到∠EDG＝45°，再由平角的定義得到∠ADF＝76.9°，則由三角形內

角和定理可得∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°．

【解答】解：∵∠DGE＝90°，∠E＝45°，

∴∠EDG＝180°﹣∠G﹣∠E＝45°，

∵∠EDB＝58.1°，

∴∠ADF＝180°﹣∠EDB﹣∠EDG＝76.9°，

∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°，

故選：B．

【點評】本題主要考查了三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．

8．數學知識在生產和生活中被廣泛應用，下列有關實例（如圖）所應用的最主要的幾何知識，說法不正

確的是（）

A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應用了“三角形的穩定性”

B．圖②中建筑工人砌墻時，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應用了“兩點之間，線段最短”

C．圖③中體育課上，測量立定跳遠的成績，應用了“點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度”

D．圖④中車輪做成圓形，應用了“圓上各點到圓心的距離都相等”

【考點】線段的性質：兩點之間線段最短；垂線段最短；點到直線的距離；三角形的穩定性；線段垂直平

分線的性質．

【專題】幾何圖形；幾何直觀．

【答案】B

【分析】根據三角形的穩定性，兩點確定一條直線，垂線段最短，圓的認識進行判斷即可．

【解答】解：A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應用了“三角形的穩定性”，故本選項不合題意；

B．圖②中建筑工人砌墻時，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應用了“兩點確定一條直線”，故本選項

符合題意；

C．圖③中體育課上，測量立定跳遠的成績，應用了“點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度”，

故本選項不符合題意；

D．圖④中車輪做成圓形，應用了“圓上各點到圓心的距離都相等”，故本選項不合題意．

故選：B．

【點評】本題主要考查了三角形的穩定性，兩點確定一條直線，垂線段最短，圓的認識等知識點，熟記相

關的性質或定理即可．

9．如圖，取一根長100cm的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來．在中點O的左側距離中

點O25cm（L1＝25cm）處掛一個重9.8N（F1＝9.8N）的物體，在中點O右側用一個彈簧秤向下拉，使木

桿處于水平狀態，彈簧秤與中點O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數F（單位：N）滿足FL＝F1L1.

若彈簧秤的示數F不超過7N，則L的取值范圍是（）

A．0＜L＜35B．L＞35C．0＜L≤35D．35≤L≤50

【考點】兩點間的距離．

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力．

【答案】D

【分析】根據彈簧秤平衡的結論FL＝F1L1，以及F≤7，解不等式即可．

【解答】解：由于彈簧秤在木桿的中點O的右側，所以L≤50，

又∵FL＝F1L1，即F7，

?1?19.8×25

∴L≥35，=?=?≤

所以35≤L≤50．

故選：D．

【點評】本題考查兩點間的距離，理解“杠桿平衡的條件”以及F不超過7N的意義，列不等式進行解答

解答即可．

10．小欣同學用紙（如圖）折成了個正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，

選出墨水在哪個盒子中（）

A．B．C．D．

【考點】展開圖折疊成幾何體．

【專題】推理填空題；空間觀念．

【答案】B

【分析】在驗證立方體的展開圖時，要細心觀察每一個標志的位置是否一致，然后進行判斷．

【解答】解：根據展開圖中各種符號的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．

故選：B．

【點評】本題考查正方體的表面展開圖及空間想象能力．易錯易混點：學生對相關圖的位置想象不準確，

從而錯選，解決這類問題時，不妨動手實際操作一下，即可解決問題．

二．填空題（共5小題）

11．一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不

透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和

最大是53．

【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字．

【專題】展開與折疊；空間觀念．

【答案】53．

【分析】分別求出最右邊的正方體、最上邊的正方體、左下角的正方體所能看到的數字之和最大的情況即

可．

【解答】解：要使幾何體能看得到的面上數字之和最大，

最右邊的那個正方體所能看到的4個數字為3，4，5，6，和為18；

最上邊的那個正方體所能看到的6個數字為2，3，4，5，6，和為20；

左下角的那個正方體所能看到的3個數字為4，5，6，和為15；

所以這個幾何體能看得到的面上數字之和最大為：18+20+15＝53，

故答案為：53．

【點評】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”是解題

的關鍵．

12．若∠A與∠B互為補角，并且∠B度數的一半比∠A的度數小30°，則∠B的度數為100°．

【考點】余角和補角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．

【答案】100°．

【分析】根據互為補角的和等于180°，然后根據題意列出關于∠A、∠B的二元一次方程組，求解即可．

【解答】解：根據題意可得：∠A+∠B＝180°①，且∠B＝∠A﹣30°②，

1

2

由①得：∠A＝180°﹣∠B③，

把③代入②得：∠B＝180°﹣∠B﹣30°，

1

解得∠B＝100°．2

故答案為：100°．

【點評】本題考查了互為補角的和等于180°的性質，根據題意列出二元一次方程組是解題的關鍵．

13．如圖，在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西54°的方向，同時輪船B在南偏東15°的方向，那么∠

AOB＝141°．

【考點】方向角．

【答案】見試題解答內容

【分析】首先計算出∠3的度數，再計算∠AOB的度數即可．

【解答】解：由題意得：∠1＝54°，∠2＝15°，

∠3＝90°﹣54°＝36°，

∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．

故答案為：141°．

【點評】此題主要考查了方向角，關鍵是根據題意找出圖中角的度數．

14．如圖，在A、B兩地間修一條筆直的公路，從A地測得公路的走向為北偏東70°，如果A、B兩地同

時開工，那么∠B為110°時，才能使公路準確接通．

【考點】方向角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；應用意識．

【答案】110．

【分析】利用平行線的性質得出∠A+∠B＝180°，進而得出答案．

【解答】解：∵使公路準確接通，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A＝70°，

∴∠B＝110°．

故答案為：110．

【點評】本題主要考查方向角，靈活利用平行線的性質是解題的關鍵．

15．有一個正六面體骰子放在桌面上，若將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90°為一次，則滾

動第2023次后，骰子朝下一面的點數是5．

【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字；規律型：數字的變化類．

【專題】展開與折疊；空間觀念．

【答案】5．

【分析】根據題意可得：3和4是相對面，2和5是相對面，且朝下一面的點數依次為2，3，5，4，且4

次一循環，然后進行計算即可解答．

【解答】解：由題意得：

3和4是相對面，2和5是相對面，且朝下一面的點數依次為2，3，5，4，且4次一循環，

∵2023÷4＝505...3，

∴滾動第2023次后，骰子朝下一面的點數是5，

故答案為：5．

【點評】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，規律型：數字的變化類，從數字找規律是解題的關鍵．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別

為a、2a的直角三角形，圖形乙是邊長為a的正方形．

（1）立體圖形①的名稱是圓錐；

（2）請問立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？（用含a和的式子表示，圓錐，圓柱

122

π?=3????=???)

【考點】點、線、面、體；列代數式．

【專題】推理能力．

【答案】（1）圓錐；

（2）立體圖形②比立體圖形①的體積大．

13

??

【分析】（1）根據立體圖形的定義即可解答3；

（2）設圖形①、②的體積分別為V1、V2，然后分別求得圖形①、②的體積，然后作差即可解答．

【解答】解：（1）以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸得到的立體圖形為圓錐．

故答案為：圓錐．

（2）設圖形①、②的體積分別為V1、V2，

則，，

122323

?1=???2?=???2=????=??

∴33．即立體圖形②比立體圖形①的體積大．

3231313

?2??1=?????=????

【點評】本題主要考3查了圓3錐的定義、圓錐的體積、圓柱的體積等知識點3，掌握圓錐的相關知識成為解題

的關鍵．

17．如圖，B處在A處的南偏西45°方向上，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東60°

方向，求∠ACB的度數．

【考點】方向角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】90°．

【分析】先根據題意得出∠BAC的度數，由AE∥DB可得出∠DBA的度數，進而可得出∠ABC的度數，

最后根據三角形內角和定理即可求出∠ACB的度數．

【解答】解：根據題意，得∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，

∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE

＝45°+30°

＝75°．

∵AE∥DB，

∴∠DBA＝∠BAE＝45°，

∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA

＝60°﹣45°

＝15°，

∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC

＝180°﹣15°﹣75°

＝90°．

【點評】本題考查的是方向角的概念，即用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對

象所處的射線為終邊，故描述方位角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．

18．一個無蓋的長方體盒子的展開圖如圖所示．

（1）該盒子的底面的長為3a（用含a的式子表示）．

（2）若①，②，③，④四個面上分別標有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對兩個面上的整式

的和相等，求x的值．

（3）請在圖中補充一個長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋．

【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字；列代數式；整式的加減．

【專題】整式；幾何直觀．

【答案】（1）3a；

（2）4；

（3）見解答過程．

【分析】（1）依據無蓋的長方體盒子的高為a，底面的寬為2a，即可得到底面的長；

（2）根據該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，列方程求解即可；

（3）依據長方體的展開圖的特征，即可在圖中補充一個長方形，使該展開圖折疊成長方體盒子后有蓋．

【解答】解：（1）由題可得，無蓋的長方體盒子的高為a，底面的寬為3a﹣a＝2a，

∴底面的長為5a﹣2a＝3a，

故答案為：3a；

（2）∵①，②，③，④四個面上分別標有整式2（x+1），x，﹣2，4，且該盒子的相對兩個面上的整式

的和相等，

∴2（x+1）+（﹣2）＝x+4，

解得x＝4；

（3）如圖所示：（答案不唯一）

【點評】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，從實物出發，結合具體的問題，辨析幾何體的展開

圖，通過結合立體圖形與平面圖形的轉化，建立空間觀念是解決此類問題的關鍵．

19．【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板

COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉，旋轉時間為t秒，當OD邊與OB邊重合時停止轉動．

【解決問題】

（1）在旋轉過程中，請填出∠AOC、∠BOD之間的數量關系∠AOC+∠BOD＝180°；

（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；

（3）當∠AOC、∠BOD中一個角的度數是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優線”，請直接

寫出所有滿足條件的t值．

【考點】角的計算；角平分線的定義．

【專題】三角形；推理能力．

【答案】（1）∠AOC+∠BOD＝180°；（2）有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD，理由略；（3）t＝4或8．

【分析】（1）由題意，根據題目分析，然后畫出圖形可得結論．

（2）依據題意，畫出圖形，然后分別計算出角的度數可得解．

（3）依據題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得t的值．

【解答】解：（1））①如圖，∠AOC+∠BOD＝180°．

理由如下：由題意得，∠DOA＝90°﹣∠AOC，∠COB＝90°﹣∠AOC．

∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB＝∠AOC+90°﹣∠AOC+∠AOC+90°﹣∠AOC＝

180°．

②如圖，∠AOC+∠BOD＝180°．

理由如下：由題意得，∠DOA＝90°﹣∠DOB，∠COB＝90°﹣∠DOB．

∴∠AOC+∠BOD＝∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD＝90°﹣∠DOB+∠DOB+90°﹣∠DOB+∠BOD＝

180°．

綜上，∠AOC+∠BOD＝180°．

（2）由題意得：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如圖所示，

理由如下：當運動時間為9秒時，∠AOC＝15°×9＝135°，

∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°．

∵∠COD＝90°，

∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°．

∴∠BOC＝∠BOD＝45°．

∴OB平分∠COD．

又∠BOD＝45°∠AOB，

1

∴OD平分∠AOB=．2

（3）由題意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t．

當∠BOD＝2∠AOC時，

又∠AOC+∠BOD＝180°，

∴∠AOC＝60°．

∴15t＝60，解得t＝4．

當2∠BOD＝∠AOC時，

又∠AOC+∠BOD＝180°，

∴∠AOC＝120°．

∴15t＝120，解得t＝8．

綜上，t＝4或8．

【點評】本題主要考查角的計算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學會分類討論是解題的關鍵．

20．某風景區A，B，C，D四個景點在一條直線上，圖中數據為各景點之間的距離（單位：千米）．

（1）求景點C，D之間的距離．（用含m的代數式表示）

（2）若景點C到景點A的距離與景點C到景點D的距離相等，求景點B，D之間的距離．

【考點】兩點間的距離；列代數式．

【專題】整式；運算能力．

【答案】（1）（3+3m）千米；（2）13千米．

【分析】（1）景點C，D之間的距離等于B，D之間的距離減去B，C之間的距離；

（2）根據景點C到景點A的距離與景點C到景點D的距離相等建立一元一次方程，解方程即可得到答案．

【解答】解：（1）9+2m﹣（6﹣m）＝9+2m﹣6+m＝3+3m，

答：景點C，D之間的距離為（3+3m）千米；

（2）由題意得5+（6﹣m）＝3+3m，

解得m＝2，

∴BD＝9+2m＝13，

答：景點B，D之間的距離13千米．

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，掌握題意正確列出一元一次方程是解題的關鍵．

考點卡片

1．列代數式

（1）定義：把問題中與數量有關的詞語，用含有數字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數式．

（2）列代數式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如

“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區分．②分清數量關系．要正確列

代數式，只有分清數量之間的關系．③注意運算順序．列代數式時，一般應在語言敘述的數量關系中，

先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現出先低級運算，要把代數式中代表低級運算的這部分括起

來．④規范書寫格式．列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，

數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．

【規律方法】列代數式應該注意的四個問題

1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．

2．要注意書寫的規范性．用字母表示數以后，在含有字母與數字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或

者省略不寫．

3．在數和表示數的字母乘積中，一般把數寫在字母的前面，這個數若是帶分數要把它化成假分數．

4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數的形式．

2．規律型：數字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識

的基礎上去探究，觀察思考發現規律．

（1）探尋數列規律：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，通常將數字與序號建立數

量關系或者與前后數字進行簡單運算，從而得出通項公式．

（2）利用方程解決問題．當問題中有多個未知數時，可先設出其中一個為x，再利用它們之間的關系，設

出其他未知數，然后列方程．

3．整式的加減

（1）幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號、合并同類項．

（2）整式的加減實質上就是合并同類項．

（3）整式加減的應用：

①認真審題，弄清已知和未知的關系；

②根據題意列出算式；

③計算結果，根據結果解答實際問題．

【規律方法】整式的加減步驟及注意問題

1．整式的加減的實質就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．

2．去括號時，要注意兩個方面：一是括號外的數字因數要乘括號內的每一項；二是當括號外是“﹣”時，

去括號后括號內的各項都要改變符號．

4．點、線、面、體

（1）體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點．

（2）從運動的觀點來看

點動成線，線動成面，面動成體．點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩

的圖形世界．

（3）從幾何的觀點來看

點是組成圖形的基本元素，線、面、體都是點的集合．

（4）長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡稱體．

（5）面有平面和曲面之分，如長方體由6個平面組成，球由一個曲面組成．

5．展開圖折疊成幾何體

通過結合立體圖形與平面圖形的相互轉化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發，然后再

從給定的圖形中辨認它們能否折疊成給定的立體圖形．

6．專題：正方體相對兩個面上的文字

（1）對于此類問題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對展開圖理解的基礎上直接想象．

（2）從實物出發，結合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結合立體圖形與平面圖形的轉化，建立

空間觀念，是解決此類問題的關鍵．

（3）正方體的展開圖有11種情況，分析平面展開圖的各種情況后再認真確定哪兩個面的對面．

7．線段的性質：兩點之間線段最短

線段公理

兩點的所有連線中，可以有無數種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．

簡單說成：兩點之間，線段最短．

8．兩點間的距離

（1）兩點間的距離

連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．

（2）平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學習此概念時，注意強調最

后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區別于線段，線段是圖形．線段的長度才是兩點

的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離．

9．角的概念

（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線

是角的兩條邊．

（2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中

間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表

示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如∠，∠，∠、…）表示，或用阿拉伯數字（∠1，∠2…）表

示．αβγ

（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉而形成的圖形，當始邊與終邊成一條直線

時形成平角，當始邊與終邊旋轉重合時，形成周角．

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝

60″．

10．方向角

方向角是從正北或正南方向到目標方向所