第5講導數與不等式證實、恒成立及能

成立問題高考定位在高考壓軸題中，函數與不等式交匯是考查熱點，常以含指數、對數函數為載體考查不等式證實、比較大小、范圍等問題，以及不等式恒成立與能成立問題.1/40真題感悟2/403/404/405/406/40考

點

整

合1.利用導數處理不等式恒成立問題“兩種”慣用方法(1)分離參數后轉化為函數最值問題：將原不等式分離參數，轉化為不含參數函數最值問題，利用導數求該函數最值，依據要求得所求范圍.普通地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)轉化為含參函數最值問題：將不等式轉化為某含待求參數函數最值問題，利用導數求該函數極值(最值)，伴有對參數分類討論，然后構建不等式求解.7/402.常見結構輔助函數四種方法(1)直接結構法：證實不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))問題轉化為證實f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進而結構輔助函數h(x)＝f(x)－g(x).(2)結構“形似”函數：稍作變形后結構.對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數，把不等式轉化為左右兩邊是相同結構式子結構，依據“相同結構”結構輔助函數.(3)適當放縮后再結構：若所結構函數最值不易求解，可將所證實不等式進行放縮，再重新結構函數.(4)結構雙函數：若直接結構函數求導，難以判斷符號，導數零點也不易求得，所以單調性和極值點都不易取得，從而結構f(x)和g(x)，利用其最值求解.8/403.不等式恒成立與能成立問題(1)f(x)＞g(x)對一切x∈[a，b]恒成立?[a，b]是f(x)＞g(x)解集子集?[f(x)－g(x)]min＞0(x∈[a，b]).(2)f(x)＞g(x)對x∈[a，b]能成立?[a，b]與f(x)＞g(x)解集交集不是空集?[f(x)－g(x)]max＞0(x∈[a，b]).(3)對?x1，x2∈[a，b]使得f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min.(4)對?x1∈[a，b]，?x2∈[a，b]使得f(x1)≥g(x2)?f(x)min≥g(x)min.9/40熱點一導數與不等式[微題型1]利用導數證實不等式10/4011/4012/4013/40[微題型2]不等式恒成立求參數范圍問題【例1－2】(1)已知函數f(x)＝ax－1－lnx，a∈R.14/4015/4016/4017/4018/40探究提升

(1)利用最值法處理恒成立問題基本思緒是：先找到準確范圍，再說明“此范圍之外”不適合題意(著眼于“恒”字，尋找反例即可).(2)對于求不等式成立時參數范圍問題，在可能情況下把參數分離出來，使不等式一端是含有參數不等式，另一端是一個區間上詳細函數.但要注意分離參數法不是萬能，假如分離參數后，得出函數解析式較為復雜，性質極難研究，就不要使用分離參數法.19/40【訓練1】

(·浙江五校聯考)已知a>0，b∈R，函數f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.(1)證實：當0≤x≤1時，①函數f(x)最大值為|2a－b|＋a；②f(x)＋|2a－b|＋a≥0；(2)若－1≤f(x)≤1對x∈[0，1]恒成立，求a＋b取值范圍.20/4021/4022/4023/4024/40熱點二不等式恒成立與能成立問題[微題型1]恒成立問題【例2－1】

(·四川卷)設函數f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R.25/4026/4027/40探究提升

(1)恒成立問題普通與不等式相關，處理這類問題需要結構函數利用函數單調性求函數最值，從而說明函數值恒大于或恒小于某一確定值.(2)在求參數范圍時首先要考慮參數能否分離出來.28/40[微題型2]能成立問題(1)當x∈[1，e]時，求f(x)最小值；(2)當a＜1時，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a取值范圍.29/4030/4031/40探究提升

存在性問題和恒成立問題區分與聯絡存在性問題和恒成立問題輕易混同，它們現有區分又有聯絡：若g(x)≤m恒成立，則g(x)max≤m；若g(x)≥m恒成立，則g(x)min≥m；若g(x)≤m有解，則g(x)min≤m；若g(x)≥m有解，則g(x)max≥m.32/40【訓練2】

(·寧波期末)已知函數f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R).(1)若f(x)在[－1，1]上最大值和最小值分別記為M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；(2)設b∈R.若[f(x)＋b]2≤4對x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b取值范圍.33/4034/4035/4036/4037/4038/401.不等式恒成立、能成立問題慣用解法有：(1)分離參數后轉化為最值，不等式恒成立問題在變量與參數易于分離情況下，采取分離參數轉化為函數最值問題，形如a＞f(x)max或a＜f(x)min.(2)直接轉化為函數最值問題，在參數難于分離情況下，直接轉化為含參函數最值問題，伴有對參數分類討論.(3)數形結合.39/402.利用導數證實不等式基本步驟(1)作差或變形.(2)結構新函數h