1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時用空間向量研究距離問題課后訓練鞏固提升A組1.已知△ABC的三個頂點A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3,1),則邊AC上的高等于()A.3 B.4 C.5 D.6解析:由已知得AB=(4,5,0),AC=(0,4,3).設邊AC上的高為BD.|AD|=|AB·AC||AC|所以邊AC上的高BD=41-16=答案:C2.若三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是()A.66 B.69 C.86解析:以PA,PB,PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,則P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以PA=(1,0,0).可以求得平面ABC的一個法向量為n=(1,1,1),則點P到平面ABC的距離d=|PA答案:D3.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,則點A1到對角線BC1所在直線的距離為()A.62a B.aC.2a D.a解析:建立空間直角坐標系Dxyz,如圖所示,連接A1B.∵A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a),∴A1B=(0,a,a),BC1=(a取a=A1B=(0,a,a),u=∴點A1到BC1的距離為a2-答案:A4.如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點,則直線MN與平面ACD1間的距離是()A.12 B.2C.13 D.解析:建立空間直角坐標系Dxyz,如圖所示,則A(1,0,0),D1(0,0,1),M1,1,12,N12所以AD1=(1,0,1),D1C=(MN=因為MN=12AD1,且直線所以MN∥AD1.又MN?平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.所以直線MN與平面ACD1之間的距離等于點M到平面ACD1的距離.設平面ACD1的法向量n=(x,y,z),則n·AD1=0,n·D1可得n=(1,1,1)為平面ACD1的一個法向量.連接AM,因為AM=1,1,1所以點M到平面ACD1的距離d=|AM所以直線MN與平面ACD1間的距離為32答案:D5.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長是1,則點D1到AC的距離為.

解析:以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略),則A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).設M為AC中點,則M12所以MD因為AD1=CD1,所以MD1⊥AC.所以MD1的長即為點D1到AC的距離.而|MD1|=62,所以點D1到AC答案:66.如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點P到直線BD的距離為.

解析:以AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.∵P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,1),BD=(3,4,0).取a=PB=(3,0,1),u=BD|則a2=10,a·u=95∴點P到直線BD的距離為a2答案:137.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是BC,CD的中點,則點D到平面EFD1B1的距離為.

解析:建立空間直角坐標系D1xyz,如圖所示,則D1(0,0,0),F0,12,1,E12,1,1,B1(1,1,0),D(0,0,1),所以可求得平面EFD1B1的一個法向量為n=-1,1,又D1D=(0,0,1),所以點D到平面EFD1B1的距離d=答案:18.如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.(1)證明:D1E⊥A1D.(2)當E為AB的中點時,求點E到平面ACD1的距離.解:以D為原點,建立空間直角坐標系,如圖所示,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0).(1)證明:設E(1,y,0)(0≤y≤2),則D1E=(1,y,1),A1D=由于D1E·A1D=0,故D1(2)AC=(1,2,0),D1A=(1,0,設平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則n·AC可取n=(2,1,2).當E為AB的中點時,E(1,1,0),則AE=(0,1,0),所以點E到平面ACD1的距離為|AE9.在三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC為正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,底面邊長與側(cè)棱長都等于2,O,O1分別為AC,A1C1的中點,求平面AB1O1與平面BC1O間的距離.解:如圖,連接OO1,則O1C1∥AO,且O1C1=AO,所以四邊形AOC1O1為平行四邊形,所以AO1∥OC1,AO1?平面BC1O,OC1?平面BC1O,所以AO1∥平面BC1O,又OB∥O1B1,O1B1?平面BC1O,OB?平面BC1O,所以O1B1∥平面BC1O,又AO1∩O1B1=O1,所以平面AB1O1∥平面BC1O.∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離即為點O1到平面BC1O的距離.由題意,OO1⊥底面ABC,OB,AC,OO1兩兩垂直.則以O為原點,以OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.∵O(0,0,0),B(3,0,0),C1(0,1,2),O1(0,0,2),∴OB=(3,0,0),OC1=(0,1,2),OO設n=(x,y,z)為平面BC1O的法向量,則n取z=1可得n=(0,2,1).點O1到平面BC1O的距離記為d,則d=|n∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離為25B組1.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,點E是A1B1的中點,則點A到直線BE的距離是()A.655 B.C.255 D解析:以向量BA,BC,BB1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向取a=BA=(2,0,0),u=BE|則a2=4,a·u=25.所以點A到直線BE的距離為a答案:B2.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AA1=3,底面是邊長為4,且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中點,則點E到平面O1BC的距離為()A.2 B.1 C.32 D.解析:由題意知OO1⊥平面ABCD,所以OO1⊥OA,OO1⊥OB.又OA⊥OB,則以O為原點,建立空間直角坐標系Oxyz,如圖所示.因為底面ABCD是邊長為4,∠DAB=60°的菱形,所以OA=23,OB=2.則A(23,0,0),B(0,2,0),C(23,0,0),O1(0,0,3),所以O1B=(0,2,3),O1C=(23設平面O1BC的法向量為n=(x,y,z),則n⊥O1B,n⊥所以2y-所以可取n=(3,3,2).因為E是O1A的中點,所以E3,所以EO所以點E到平面O1BC的距離為|E答案:C3.在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=2,AA1=1,則點A到平面A1BC的距離為()A.34 B.3C.334 D解析:建立空間直角坐標系Oxyz,如圖所示,則A1(0,1,0),B(0,1,1),C(3,0,1),A(0,1,1),所以A1A=(0,0,1),A1B=(0,2,1),A1C設平面A1BC的法向量為n=(x,y,z),則n·A1B=0,n·A1C=0,可得n=-36所以點A到平面A1BC的距離為|A答案:B4.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,在CD上截取CE=4,將△BCE沿BE折起成△BC1E,而且使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD,則點C1到直線AB的距離為.

解析:建立空間直角坐標系Axyz,如圖所示,則A(0,0,0),B(6,0,0),C1(4,2,22),D(0,4,0),于是BA=(6,0,0),BC1=(2,2,22向量BA的單位向量u=(1,0,0),取a=BC1=(2,2,22所以點C1到直線AB的距離為a2-(a·答案:235.如圖,正方體的棱長為1,E,F,M,N分別是所在棱的中點,則平面A1EF與平面B1NMD1間的距離為.

解析:建立空間直角坐標系D1xyz,如圖所示,則A1(1,0,0),B1(1,1,0),D1(0,0,0),N12∴D1B1=(1,1,0)∵E,F,M,N分別是所在棱的中點,∴易證平面A1EF∥平面B1NMD1,∴平面A1EF與平面B1NMD1間的距離即為點A1到平面B1NMD1的距離.設平面B1NMD1的法向量為n=(x,y,z).由n·D1B1=0,n·得平面B1NMD1的一個法向量n=(2,2,1).又A1B1=(0,1,0),∴點A1到平面B1NMD1答案:26.如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,E,F分別是棱C1C,BC的中點.(1)求證:B1F⊥平面AEF;(2)求點F到平面EAB1的距離.(1)證明:三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,∠BAC=90°,故以A為原點,AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖.因為AB=AC=AA1=1,E,F分別是棱C1C,BC的中點,所以B1(1,0,1),F12,12,0,A(0,0,0),E0,1,12,則B1F=-所以B1F·AE=0,B1F·AF=0,所以B1F⊥又AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,所以B1F⊥平面AEF.(2)解:由(1)知AB1=(1,0,1),AE=設平面EAB1的法向量m=(a,b,c),則m取a=2,得m=(2,1,2)是平面EAB1的一個法向量.又AF=12,12,0,所以點F到平面EAB7.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,PA=AD=2,AB=BC=1,請問:在線段PA上是否存在一點M,使其到平面PCD的距離為33?若存在,試確定點M的位置;若不存在,請說明理由解:直線PA上存在點M滿足題意.以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),P(0,0,2),C