考點規范練23解三角形基礎鞏固1.在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,則△ABC的外接圓的面積為()A. B.πC.2π D.4π2.(2017安徽馬鞍山一模)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,則c=()A. B.1 C. D.3.(2017江西宜春中學3月模擬)在△ABC中,已知acosA=bcosB,則△ABC的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sinA=()A. B.C. D.5.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A.30° B.45°C.60° D.75°6.(2016山西朔州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,b=4,則△ABC的面積的最大值為()A.4 B.2 C.2 D7.已知△ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足=sinAsinB,則∠C=.

8.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分線AD=,則AC=.

9.如圖所示,長為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8m的石堤上,石堤的傾斜角為α10.已知島A南偏西38°方向,距島A3nmile的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10nmile/h的速度向島北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5h能截住該走私船?能力提升11.(2017全國Ⅰ,文11)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinCcosC)=0,a=2,c=,則C=()A. B. C. D.12.如圖,已知AB是圓O的直徑,AB=2,點C在直徑AB的延長線上,BC=1,點P是圓O上半圓上的動點,以PC為邊作等邊三角形PCD,且點D與圓心分別在PC的兩側,記∠POB=x,將△OPC和△PCD的面積之和表示成x的函數f(x),則當y=f(x)取最大值時x的值為()A. B. C. D.π13.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,如果△ABC的面積等于8,a=5,tanB=,那么=.

14.(2017廣東廣州二模)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosC+bsinC=a.(1)求角B的大小;(2)若BC邊上的高等于a,求cosA的值.高考預測15.△ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinAsinB+bcos2A=a(1)求;(2)若c2=a2+b2,求角C.答案：1.B解析:在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,故C=180°AB=60°.設△ABC的外接圓半徑為R,則由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圓的面積S=πR2=π.2.B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c22×2×c×,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故選3.D解析:∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選D.4.D解析:(方法一)記角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則由題意,得S△ABC=a·a=acsinB,即c=a.由正弦定理,得sinC=sinA.∵C=A,∴sinC=sinsinA,即cosA+sinA=sinA,整理,得sinA=3cosA.∵sin2A+cos2A=1,∴sin2A+sin即sin2A=,解得sinA=(排除負值).故選D(方法二)記角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則由題意得S△ABC=a·acsinB,∴c=a.∴b2=a2+2a·,即b=由正弦定理,得sinA=.故選D.5.B解析:依題意可得AD=20m,AC=又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為6.A解析:∵在△ABC中,,∴(2ac)cosB=bcosC∴(2sinAsinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∴cosB=,即B=.由余弦定理可得16=a2+c22accosB=a2+c2ac≥2acac=ac故ac≤16,當且僅當a=c時取等號,因此,△ABC的面積S=acsinB=ac≤4,故選A.7.解析:在△ABC中,∵=sinAsinB,∴=ab.∴a2+b2c2=ab,∴cosC=.∴C=.8.解析:由題意及正弦定理,可知,即,故∠ADB=45°.所以A=180°120°45°,故A=30°,則C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2sin60°=.9.解析:在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2由余弦定理,可得AB2=AC2+BC22·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.822×1.4×2.8×cos(πα),解得cosα=,則sinα=,所以tanα=.10.解:設緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上的一點,緝私艇的速度為xnmile/h,則BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依題意,∠BAC=180°38°22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC22AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故緝私艇以14nmile/h的速度向正北方向行駛,恰好用0.5h截住該走私船.11.B解析:由題意結合三角形的內角和,可得sin(A+C)+sinA(sinCcosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0,則sinC(sinA+cosA)=0,因為sinC>0,所以sinA+cosA=0,即tanA=1,因為A∈(0,π),所以A=.由正弦定理,得,即sinC=,所以C=,故選B.12.A解析:∵S△OPC=OP·OC·sinx=sinx,PC2=12+222·1·2·cosx=54cosx,S△PCD=PC2·sin(54cosx),∴f(x)=sinx+(54cosx)=2sin.故當x,即x=時,f(x)有最大值,故選A.13.解析:在△ABC中,∵tanB=,∴sinB=,cosB=.又S△ABC=acsinB=2c=8,∴c=∴b=.∴.14.解:(1)因為bcosC+bsinC=a,由正弦定理,得sinBcosC+sinBsinC=sinA.因為A+B+C=π,所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C).即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.因為sinC≠0,所以sinB=cosB.因為cosB≠0,所以tanB=1.因為B∈(0,π),所以B=.(2)設BC邊上的高線為AD,則AD=a.因為B=,則BD=AD=a,CD=a.所以AC=a,AB=a.由余弦定理得cosA==.15