1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.已知向量p用基底{a,b,c}可表示為8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,則向量p在空間的一個(gè)單位正交基底{i,j,k}下的坐標(biāo)為()A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,10,12) D.(4,2,3)解析:p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在{i,j,k}下的坐標(biāo)為(12,14,10).答案:A2.已知a=(1,0,1),b=(2,1,1),c=(3,1,0),則|ab+2c|等于()A.310 B.210 C.10 D.5解析:∵ab+2c=(1,0,1)(2,1,1)+(6,2,0)=(9,3,0),∴|ab+2c|=310.答案:A3.已知點(diǎn)A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若向量OC=25AB,則點(diǎn)CA.-65,-C.-65,-解析:設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y,z),則OC=(x,y,z).因?yàn)锳B=(3,2,4),OC=所以x=65,y=45,z=答案:A4.若a=(1,λ,2),b=(2,1,2),且a與b夾角的余弦值為89,則λ=(A.2 B.2 C.2或255 D.2或解析:a·b=1×2+λ×(1)+2×2=6λ,a·b=|a||b|cos<a,b>=5+λ由835+λ2=6λ,得λ=答案:C5.(多選題)關(guān)于空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)P(1,2,3),下列說法正確的是()A.OP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為1B.點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3)C.點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3)D.點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3)解析:OP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為12,1,32,故A正確;點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3),故B不正確;點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3),故C錯(cuò)誤;點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,3),故D正確答案:AD6.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(2,4,3)在Oxz平面上的射影為M'點(diǎn),則M'關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

解析:由題意得,M在Oxz平面上的射影為M'(2,0,3),所以M'關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0,3).答案:(2,0,3)7.已知a=(2,1,3),b=(1,3,2),a,b的夾角為θ,則θ=.

解析:cosθ=a·b|故θ=120°.答案:120°8.已知向量a=(0,1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=29,且λ>0,則λ=.

解析:∵a=(0,1,1),b=(4,1,0),∴λa+b=(4,1λ,λ).又|λa+b|=29,∴16+(1λ)2+λ2=29.∴λ2λ6=0,解得λ=3或λ=2.∵λ>0,∴λ=3.答案:39.已知a=(1,5,1),b=(2,3,5).(1)若(ka+b)∥(a3b),求實(shí)數(shù)k的值;(2)若(ka+b)⊥(a3b),求實(shí)數(shù)k的值.解:ka+b=(k2,5k+3,k+5),a3b=(1+3×2,53×3,13×5)=(7,4,16).(1)∵(ka+b)∥(a3b),∴k-解得k=13(2)∵(ka+b)⊥(a3b),∴(k2)×7+(5k+3)×(4)+(k+5)×(16)=0,解得k=106310.如圖,已知正四棱錐SABCD的側(cè)棱長為2,底面邊長為3,E是SA的中點(diǎn),O為底面ABCD的中心.(1)求CE的長;(2)求異面直線BE與SC所成角的余弦值;(3)若OG⊥SC,垂足為G,求證:OG⊥BE.解:連接SO,AC,OB,由于棱錐是正四棱錐,因此底面四邊形ABCD是正方形,從而OA,OB,OS兩兩垂直,以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.因?yàn)閭?cè)棱長為2,底面邊長為3,E為SA的中點(diǎn),所以A62,0,0,S0,0,22(1)CE=所以|CE|=36即CE=142(2)因?yàn)锽E=64所以cos<BE,SC>=BE·故異面直線BE和SC所成角的余弦值為12(3)證明:因?yàn)镚在SC上,所以SG與SC所以可設(shè)SG=λSC=-62λ則OG=OS+SG=0,0,22因?yàn)镺G⊥SC,即OG⊥SC,所以O(shè)G·所以32λ12(1λ)=0,解得λ=所以O(shè)G=又BE=所以O(shè)G·BE=632+0+6所以O(shè)G⊥BE,即OG⊥B組1.已知a=(2,0,3),b=(4,2,1),c=(2,x,2),若(ab)⊥c,則x等于()A.4 B.4 C.2 D.2解析:∵ab=(2,2,2),且(ab)⊥c,∴(ab)·c=0,即4+2x+4=0,解得x=4.答案:B2.已知O為原點(diǎn),向量OA=(2,2,3),OB=(x,1y,4z),且平行四邊形OACB對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,32,-12,則(x,y,A.(2,4,1) B.(2,4,1)C.(2,4,1) D.(2,4,1)解析:由題意得(2,2,3)+(x,1y,4z)=20,32,-12,即(x+2,1y,3+4z)解得x答案:A3.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D為BB1的中點(diǎn),則異面直線C1D與A1C所成角的余弦值為()A.105 B.257 C.15解析:建系如圖,則C1(0,1,2),D(1,0,1),A1(0,0,2),C(0,1,0),因此C1D=(1,1,1),A1C=(所以cos<C1D,故異面直線C1D與A1C所成角的余弦值是1515故選C.答案:C4.已知a=(1t,1t,t),b=(2,t,t),則|ba|的最小值是()A.55 B.55C.355 D解析:∵ba=(1+t,2t1,0),∴|ba|2=(1+t)2+(2t1)2+02=5t22t+2=5t-∴|ba|min∴|ba|min=35答案:C5.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(1,1,1),B(2,1,1),C(1,1,2),則△ABC的面積為.

解析:S△ABC=12|AB||AC|sinα,其中α是邊AB與AC的夾角則S△ABC=12|AB||AC|1在本題中AB=(1,2,2),AC=(2,0,3),所以|AB|2=12+22+(2)2=9,|AC|2=(2)2+(3)2=13,AB·AC=1×(2)+2×0+(2)×(3)=所以S△ABC=12答案:1016.已知點(diǎn)A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),當(dāng)QA·QB取得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為解析:設(shè)OQ=λOP=(λ,λ,2λ),λ∈R,則Q(λ,λ,2λ),QA=(1λ,2λ,32λ),QB=(2λ,1λ,22λ).因?yàn)镼A·QB=6λ216λ+10=6λ-432-23,所以當(dāng)λ=43答案:47.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)三點(diǎn).(1)若DB∥AC,DC∥(2)問是否存在實(shí)數(shù)α,β,使得AC=αAB+βBC成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)設(shè)D(x,y,z),則DB=(x,1y,z),AC=(1,0,2),DC=(x,y,2z),AB=(1,1,0).因?yàn)镈B∥AC,DC∥AB,DB=解得x=-1,y=1(2)依題意AB=(1,1,0),AC=(1,0,2),BC=(0,1,2).假設(shè)存在實(shí)數(shù)α,β,使得AC=αAB+βBC成立,則有(1,0,2)=α(1,1,0)+β(0,1,2)=(α,αβ,2β).所以α=1,α-β=0,2故存在α=β=1,使得AC=αAB+βBC成立.8.已知在正三棱柱ABCA1B1C1中,所有的棱長都是2,M是BC邊的中點(diǎn),則在棱CC1上是否存在點(diǎn)N,使得異面直線AB1和MN所成的角等于45°?解:以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由題意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(3,1,0),B1(3,1,2),M32,假設(shè)存在點(diǎn)N,滿足