敘永一中2025年春期2024級“開學考試”數學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的備選答案中，只有一個是符合題意的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合元素的范圍，再結合交集運算得到結果.【詳解】，又，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.必要且不充分條件 B.充分且不必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據充分、必要條件的定義計算即可.【詳解】顯然由不能推出，此時可以為0，即不滿足充分性；而可以推出，滿足必要性.故選：A3.下列各組函數中，表示同一個函數的是（）A.與 B.與（且）C.與 D.與【答案】B【解析】【分析】分析各個選項中每組函數的定義域和對應關系，若定義域和對應關系均相同則為同一個函數，由此判斷出正確選項.【詳解】A．的定義域為，的定義域為，所以不是同一個函數；B．與的定義域均為，且即為，所以是同一個函數；C．的定義域為，的定義域為，所以不是同一個函數；D．的定義域為，的定義域為，所以不是同一個函數，故選：B.【點睛】思路點睛：同一函數的判斷步驟：（1）先判斷函數定義域，若定義域不相同，則不是同一函數；若定義域相同，再判斷對應關系；（2）若對應關系不相同，則不是同一函數；若對應關系相同，則是同一函數.4.命題“，”的否定為（）A， B.，C， D.，【答案】B【解析】【分析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，判斷即可.【詳解】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論可得，命題“”的否定為：.故選：B.5.下列函數中最小正周期為且是奇函數的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據正弦函數、余弦函數，正切函數的奇偶性以及周期公式逐項判斷即可.【詳解】對于A，的最小正周期，故A錯誤；對于B，為非奇非偶函數，故B錯誤；對于C，為奇函數，且最小正周期為，故C正確；對于D，為偶函數，故D錯誤.故選：C.6.生物豐富度指數是河流水質的一個評價指標，其中，分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數越大，水質越好.如果某河流治理前后的生物種類數沒有變化，生物個體總數由變為，生物豐富度指數由2提高到3，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知代入豐富度指數公式，然后兩式消去后，由對數運算可得結論．【詳解】由已知，，所以，即，∴，故選：D．7.已知正實數滿足，則的最小值為（）A.6 B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意得到，進而化簡，然后用基本不等式求得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當時取“=”.故選：B.8.已知是定義在上的奇函數，且在上單調遞減，設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，由奇函數的性質可得在上為減函數，比較的大小，結合函數的單調性分析可得答案.【詳解】根據題意，函數是定義在上的奇函數，且在區間上單調遞減，則在上也是減函數，則在上為減函數，.所以，所以.故選：C二、選擇題：本大題共小3題，每小題6分，滿分18分.每小題給出的備選答案中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選的得0分.9.下面說法正確的有（）A.化成弧度是B.終邊在直線上角的取值集合可表示為C.D.若角為第四象限角，則，【答案】AD【解析】【分析】化度為弧度判斷A；求出角的集合表示判斷B；求出正弦值判斷C；確定正余弦值的符號判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，終邊在直線上的角的取值集合可表示為，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，角為第四象限角，則，，D正確.故選：AD10.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據給定條件，利用不等式的性質、結合基本不等式逐項判斷即可.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，由，得，B錯誤；對于C，由，得，則，，C正確；對于D，由，得，則，D錯誤.故選：AC11.函數滿足：.已知當時，，則（）A. B.為周期函數C.為偶函數 D.方程恰有3個解【答案】BCD【解析】【分析】根據函數周期、偶函數的定義，結合賦值法，數形結合思想逐一判斷即可.【詳解】A：在中，令中，有，所以本選項不正確；B：由，所以由，所以是周期為的周期函數，因此本選項正確；C：時，，而，顯然當時，函數偶函數，又因為函數的周期為，所以函數是實數集上的偶函數，因此本選項正確；D：因為函數的周期為，且為偶函數，所以函數圖象如下圖所示：由數形結合思想可知：函數的圖象與一次函數的圖象有三個交點，因此方程恰有3個解，所以本選項正確，故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是判斷函數的奇偶性和周期性，運用轉化思想和數形結合思想判斷方程解的個數問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數的圖象過原點，則_________．【答案】【解析】【分析】利用冪函數的定義和性質可得出關于實數的等式與不等式，即可得出實數的值.【詳解】因為冪函數的圖象過原點，則，解得.故答案為：.13若，且，則______．【答案】6【解析】【分析】根據指對互化，結合換底公式即可求解.【詳解】由可得，故，由于，故，故答案為：614.若函數在區間上存在零點，則常數a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據函數單調性，結合函數零點存在定理即可得到答案.【詳解】因為在上均為增函數，則函數在區間上為增函數，且函數圖象連續不間斷，故若在區間上存在零點，則，可得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，滿分77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，．（1）求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據交集運算求解；（2）根據子集關系列式運算得解.【小問1詳解】，．【小問2詳解】因為成立，．由得，解得.所以實數的取值范圍為.16.已知不等式的解集為．（1）求，的值；（2）若不等式對于均成立，求實數取值范圍．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）依題意可得和是關于的方程的兩根，利用韋達定理得到方程組，解得即可；（2）依題意可得不等式對于均成立，分與兩種情況討論，分別計算可得.【小問1詳解】因為不等式的解集為，所以和是關于的方程的兩根，由根與系數的關系知，，解得，；【小問2詳解】由（1）知，不等式對于均成立，當時，不等式為恒成立，當時，應滿足，解得綜上，實數的取值范圍是．17.已知.（1）化簡；（2）若是第三象限的角，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據誘導公式化角,約分化簡即可；（2）由誘導公式得，根據同角三角函數平方關系及角的范圍得,代入數值得.【小問1詳解】；【小問2詳解】因為，所以，又是第三象限的角，所以，故.18.某公司的股票在交易市場過去的一個月內（以30天計），第天每股的交易價格滿足函數關系（單位：元），第天的日交易量（萬股）的部分數據如下表，給出以下四個函數模型：①；②；③；④.10152025305055605550（1）請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數模型來描述該股票日交易量（萬股）與時間第天的函數關系（簡要說明理由），并求出該函數的關系式；（2）根據（1）的結論，求出該股票在過去一個月內第天的日交易額的函數關系式，并求其最小值.【答案】（1）選擇模型②，（2），441（萬元）【解析】【分析】（1）股票價格不可能是單調的得出選擇模型②，代入具體值求出函數解析式；（2）首先寫出的解析式，然后再根據函數單調性和基本不等式求出最值.【小問1詳解】由表格數據知，當時間變換時，先增后減，而①③④都是單調函數所以選擇模型②，由，可得，解得，由，解得，所以與時間的變化的關系式為.【小問2詳解】由（1）知：所以.當時，由基本不等式，可得，當且僅當時，即時等號成立，當時，為減函數，所以函數的最小值為，綜上，當時，函數取得最小值441（萬元）.19.經研究，函數為奇函數的充要條件是函數圖象的對稱中心為點，函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，由得函數關于點成中心對稱圖形的充要條件是．（1）已知函數，且，求的值；（2）證明函數圖象的對稱中心為；（3）已知函數，求的值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由知，，根據易求的值；（2）根據題意，要證函數圖象的對稱中心為