§2.3函數的奇偶性與周期性第二章

函數概念與基本初等函數Ⅰ基礎知識

自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.函數的奇偶性知識梳理奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有

，那么函數f(x)就叫做偶函數關于

對稱奇函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有

，那么函數f(x)就叫做奇函數關于

對稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點2.周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有

，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個

的正數，那么這個

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正數1.函數奇偶性常用結論(1)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.(3)在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函數周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)偶函數圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點.(

)(2)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱.(

)(3)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數.(

)(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件.(

)(5)若T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期.(

)基礎自測×√√√√1234567題組二教材改編2.[P39A組T6]已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝____.－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.1245637112345674.[P39A組T6]設奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，若當x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為_____________.解析由題圖可知，當0＜x＜2時，f(x)＞0；當2＜x≤5時，f(x)＜0，又f(x)是奇函數，∴當－2＜x＜0時，f(x)＜0，當－5≤x<－2時，f(x)>0.綜上，f(x)＜0的解集為(－2,0)∪(2,5].12456(－2,0)∪(2,5]37解析依題意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，12456題組三易錯自糾5.已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是3√76.(2011·浙江)若函數f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數，則實數a＝____.124560解析∵函數f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0.377.已知奇函數f(x)，當x＞0時，f(x)＝log2(x＋3)，則f(－1)＝____.12456－2解析∵f(1)＝log2(1＋3)＝2，又f(x)為奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.37題型分類深度剖析典例判斷下列函數的奇偶性：題型一判斷函數的奇偶性師生共研∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數f(x)既是奇函數又是偶函數.∴函數f(x)為奇函數.解顯然函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱.∵當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對于定義域內的任意x，總有f(－x)＝－f(x)，∴函數f(x)為奇函數.判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系.在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數)是否成立.思維升華跟蹤訓練

(1)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是A.y＝x＋sin2x

B.y＝x2－cosxC.y＝2x＋

D.y＝x2＋sinx√解析對于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，為奇函數；對于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，為偶函數；對于D，y＝x2＋sinx既不是偶函數也不是奇函數，故選D.(2)函數f(x)＝lg|sinx|是A.最小正周期為π的奇函數

B.最小正周期為2π的奇函數C.最小正周期為π的偶函數

D.最小正周期為2π的偶函數解析易知函數的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，關于原點對稱，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函數，又函數y＝|sinx|的最小正周期為π，所以函數f(x)＝lg|sinx|是最小正周期為π的偶函數.√題型二函數的周期性及其應用自主演練1.奇函數f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)的值為A.2 B.1 C.－1 D.－2√解析∵f(x＋1)為偶函數，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，則f(－x)＝f(x＋2)，又y＝f(x)為奇函數，則f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期為4.∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.解析由于函數f(x)是周期為4的奇函數，3.(2017·山東)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋4)＝f(x－2).若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝____.6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期為6的周期函數，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1).又f(x)是定義在R上的偶函數，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4.定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝_____.339解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.函數的周期性反映了函數在整個定義域上的性質.對函數周期性的考查，主要涉及函數周期性的判斷，利用函數周期性求值.思維升華題型三函數性質的綜合應用多維探究命題點1求函數值或函數解析式典例

(1)(2017·全國Ⅱ)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝____.12解析方法一令x＞0，則－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函數f(x)是定義在R上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝2x3－x2(x＞0).∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2016·全國Ⅲ改編)已知f(x)為偶函數，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則f(x)＝________________.解析∵當x＞0時，－x＜0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，1解析∵f(－x)＝f(x)，－10解析因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數，即3a＋2b＝－2.

①即b＝－2a. ②由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.命題點3利用函數的性質解不等式典例

(1)已知函數g(x)是R上的奇函數，且當x＜0時，g(x)＝－ln(1－x)，函數f(x)＝

若f(2－x2)＞f(x)，則實數x的取值范圍是A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(1,2) D.(－2,1)解析∵g(x)是奇函數，∴x＞0時，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函數，由f(2－x2)＞f(x)，可得2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，∴－2＜x＜1.√解析令g(x)＝f(x)－2，則函數g(x)為奇函數且在R上為增函數，不等式轉化為g(3x＋1)＋g(x)＞0，∴g(3x＋1)＞g(－x)，∴3x＋1＞－x，(1)關于奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區間上的問題轉化為已知區間上的問題.(2)關于偶函數和奇函數的兩個結論①f(x)為偶函數?f(x)＝f(|x|).②若奇函數在x＝0處有意義，則f(0)＝0.思維升華√幾何畫板展示解析因為f(x)是偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0,2]上是增函數，則A.f(－25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(－25)C.f(11)<f(80)<f(－25) D.f(－25)<f(80)<f(11)√解析因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因為f(x)在區間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數，所以f(x)在區間[－2,2]上是增函數，所以f(－1)<f(0)<f(1).所以f(－25)<f(80)<f(11).函數的性質高頻小考點函數的奇偶性、周期性及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題.考點分析一、函數性質的判斷典例1

(1)(2017·北京)已知函數f(x)＝3x－

x，則f(x)A.是偶函數，且在R上是增函數B.是奇函數，且在R上是增函數C.是偶函數，且在R上是減函數D.是奇函數，且在R上是減函數√解析∵函數f(x)的定義域為R，∴函數f(x)是奇函數.又∵y＝3x在R上是增函數，√解析易知①中函數在(0,1)上為增函數；④中函數不是奇函數；滿足條件的函數為②③.(3)定義在實數集R上的函數f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).現有以下三個命題：①8是函數f(x)的一個周期；②f(x)的圖象關于直線x＝2對稱；③f(x)是偶函數.其中正確命題的序號是________.解析

由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數f(x)的周期是4，①對；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，②對；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數，③對.①②③2∴f(2017)＝f(6×336＋1)＝f(1).∵f(x)為偶函數，∴f(1)＝f(－1)，∴f(2017)＝2.[－1,2019)令y′≥0得a≥－x2(x≥1)，∴a≥－1.又由當x＝1時，y＝1＋2018－a＞0，得a＜2019.∴a的取值范圍是[－1,2019).又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，課時作業1.下列函數中，既是偶函數又在區間(0，＋∞)上單調遞增的是A.f(x)＝ln|x| B.f(x)＝2－xC.f(x)＝x3

D.f(x)＝－x2基礎保分練12345678910111213141516解析A中，f(x)＝ln|x|是偶函數；又x＞0時，f(x)＝lnx，∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，其余三項均不符合，故選A.√2.設函數f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是A.奇函數，且在(0,1)上是增函數B.奇函數，且在(0,1)上是減函數C.偶函數，且在(0,1)上是增函數D.偶函數，且在(0,1)上是減函數√12345678910111213141516解析易知函數定義域為(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，由復合函數單調性判斷方法知，f(x)在(0,1)上是增函數，故選A.3.已知R上的奇函數f(x)滿足：當x＞0時，f(x)＝x2＋x－1，則f(f(－1))等于A.－1 B.1 C.2 D.－212345678910111213141516解析∵y＝f(x)是奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(f(－1)＝f(－1)＝－1.√4.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，其最小正周期為4，且當x∈時，f(x)＝log2(－3x＋1)，則f(2021)等于A.4 B.2 C.－2 D.log27√解析∵函數f(x)是定義在R上的奇函數，其最小正周期為4，∴f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1).f(x)＝log2(－3x＋1)，∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f(2021)＝－f(－1)＝－2.123456789101112131415165.(2018·海鹽高級中學期中)已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x≤0時，f(x)＝x2＋4x，則f(x＋2)>5的解集為A.(－∞，－5)∪(5，＋∞) B.(－∞，－5)∪(3，＋∞)C.(－∞，－7)∪(3，＋∞) D.(－∞，－7)∪(2，＋∞)12345678910111213141516√解析當x＞0時，－x＜0，f(－x)＝x2－4x，∵f(x)是定義域為R的偶函數，∴當x＞0時，f(x)＝f(－x)＝x2－4x，由f(x＋2)＞5，得f(|x＋2|)＞5，∴|x＋2|2－4|x＋2|＞5，故|x＋2|＞5或|x＋2|＜－1(舍去)，解得x＜－7或x＞3.6.已知偶函數f(x)對于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區間[0,1]上是單調遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關系是A.f(0)＜f(－6.5)＜f(－1) B.f(－6.5)＜f(0)＜f(－1)C.f(－1)＜f(－6.5)＜f(0) D.f(－1)＜f(0)＜f(－6.5)12345678910111213141516√解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數f(x)的周期是2.∵函數f(x)為偶函數，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).∵f(x)在區間[0,1]上是單調遞增的，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1).7.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝____.解析函數f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，12345678910111213141516123456789101112131415168.已知函數f(x)在R上為奇函數，且當x>0時，f(x)＝

＋1，則當x<0時，f(x)＝__________.解析

∵f(x)為奇函數，∴當x<0時，－x>0，9.已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則f＋f(1)＝____.－2解析∵函數f(x)為定義在R上的奇函數，且周期為2，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，1234567891011121314151612345678910111213141516解析由于函數f(x)是定義在R上的偶函數，得f(lnt)≤f(1).又函數f(x)在區間[0，＋∞)上是單調遞增函數，所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，1234567891011121314151612345678910111213141516解設x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)若函數f(x)在區間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍.12345678910111213141516解要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，所以1<a≤3，故實數a的取值范圍是(1,3].12.設f(x)是定義域為R的周期函數，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；解∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定義域為R，∴f(x)是偶函數.12345678910111213141516(2)試求出函數f(x)在區間[－1,2]上的表達式.12345678910111213141516解當x∈[0,1]時，－x∈[－1,0]，則f(x)＝f(－x)＝x；從而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.技能提升練12345678910111213141516112345678910111213141516即函數f(x)的周期是4，所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1).因為函數f(x)為偶函數，所以f(2019)＝f(－1)＝f(1).由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1.1234567891011121314151614.設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)＝2x，則有①2是函數f(x)的周期；②函數f(x)在(1,2)上是減函數，在(2,3)上是增函數；③函數f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正確命題的序號是______.①②12345678910111213141516解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，則有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函數f(x)的周期，故①正確；當x∈[0,1]時，f(x)＝2x是增函數，根據函數的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是減函數，根據函數的周期性知，函數f(x)