廣東省高州市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共有（）A．60種 B．80種 C．100種 D．120種2．下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數ξ；②一個沿x軸進行隨機運動的質點，它在x軸上的位置η；③某派出所一天內接到的報警電話次數X；④某同學上學路上離開家的距離Y．其中是離散型隨機變量的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．43．函數f(x)A．y=2x?3 B．y=x?2 C．y=?x D．y=?2x+14．若隨機變量的分布列如表，則P(|X1234P11a1A．512 B．12 C．7125．設點P是函數f(x)=ex?A．[0,2π3C．(π2,6．(x?1)2A．?3 B．?1 C．5 D．77．已知函數f(x)=xlnx?2x+aA．[?1,2] B．[0,1] C．8．已知函數f(x)滿足f'(x)lnx+1xfA．6a<46<3c B．6a<3c<4b C．46<6a<3c D．4b<3c<6a二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．對于(x?1A．展開式共有8項B．展開式中的常數項是70C．展開式中各項系數之和為0D．展開式中的二項式系數之和為6410．如圖是導函數y=fA．函數y=f(x)B．函數y=f(x)C．函數y=f(x)D．函數y=f(x)11．袋中裝有6個相同的小球，分別編號為1，2，3，4，5，6．從中不放回的隨機抽取兩個球，A表示事件“取出的兩個球中至少有一個球的編號為奇數”，B表示事件“取出的兩個球的編號之和為偶數”，則下列說法正確的是（）A．事件A與事件B不相互獨立B．事件A與事件B互斥C．在事件A發生的前提下，事件B發生的概率為1D．在事件B發生的前提下，事件A發生的概率為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．從甲地去乙地有4班火車，從乙地去丙地有3班輪船，若從甲地去丙地必須經過乙地中轉，則從甲地去丙地可選擇的出行方式有種．13．有3臺車床加工同一類型的零件，第1臺加工的次品率為4%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的20%，30%，50%，現從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為．14．已知函數f(x)=ex?四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環數分別為7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7環的概率分別為2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7環的概率分別為0.3，0.3，b，b，求ξ，η的分布列．16．某市移動公司為了提高服務質量，決定對使用A，B兩種套餐的集團用戶進行調查，準備從本市n(n∈N?)（1）在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為小集團的概率；（2）若一次抽取3個集團，假設取出大集團的個數為X，求X的分布列．17．已知函數f(（1）若a=1，求f(（2）討論函數f(18．已知函數f(（1）若a=1，證明：f(（2）若?x1∈(0,+∞19．已知函數f(（1）求函數f(（2）若函數g(x)=x?f(①求實數a的取值范圍；②若x1∈[1e,1)（

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：從6個人選出3人在安排在三種不同類型工作中共有A6故答案為：D．【分析】理解題意，根據排列數計算即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：①中，經過的車輛數可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；②中，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；③中，報警電話次數可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；④中，離開家的距離可為某一區間內的任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量，所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③．故答案為：B．【分析】根據定義理解離散型隨機變量直接判斷即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：因為f'(x)=3x所以切線的斜率為f所以切線的方程為y+1=2(x?1)?y=2x?3，故答案為：A．【分析】利用導數的幾何和直線的點斜式方程，從而求解.4．【答案】A【解析】【解答】解：根據概率之和為1得a=1?1P(|X?2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=故答案為：A．【分析】根據概率之和為1求得a，代入計算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：由已知可得：f'(x)=∵設點P處切線的傾斜角為α，∴tanα>?3．∵α∈[0所以α∈[0,故答案為：B．【分析】根據導數的幾何意義和傾斜角的關系，即可求得取值范圍.6．【答案】C【解析】【解答】解：由已知(x?1展開式中x2的系數為C取x=0，得常數項為2，故x2的系數與常數項之差為7?2=5故答案為：C．【分析】利用二項式定理展開結合賦值法計算即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：因為f'(x)=lnx?1，令f'令f'(x)<0，解得1≤x<e．所以f(x)在[1,又f(x)≤0在x∈[1,e2]上恒成立，所以故答案為：B．【分析】根據導數的正負判斷原函數的單調性，得到關于a的不等式，即可求得范圍.8．【答案】A【解析】【解答】解：因為f'(x)lnx+1xf(x)<0則g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立，故所以g(e12故12a<1故答案為：A．【分析】利用已知條件構造函數，利用導數判斷函數的單調性，利用不等式的性質即可求解.9．【答案】B,C【解析】【解答】解：對于A：由二項式定理可知(x?1對于B：常數項為C8對于C：令x=1，則展開式中各項系數之和為(1?1對于D：展開式中的二項式系數之和為28=256，故D錯誤．【分析】根據二項式定理內容和性質直接判斷即可.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A．因為在(1,3)上f'(x)<0成立，所以B．因為當?2<x<0時，f'(x)>0，當x<?2時，f'(x)<0，所以C．因為當?2<x<1時，f'(x)>0，當1<x<3時，f'(x)<0，函數D．因為當x<?2時，f'(x)<0，當?2<x<1時，f'(x)>0，所以函數故答案為：ACD．【分析】利用已知導函數圖象函數值正負，得到函數的單調性逐項判斷即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A選項：因為P(A)=1?P(A)，故事件B的概率P(B)=C32+C因為P(AB)≠P(A)?P(B)，所以事件A與事件B不相互獨立，選項A正確；B選項：“取出的兩個球的編號均為奇數”既在事件A中，也在事件B中，故事件A與事件B不互斥，選項B錯誤；C選項：P(B|D選項：P(A|故答案為：ACD．【分析】利用條件概率和古典概型的概率計算公式進而分析選項即可判斷.12．【答案】12【解析】【解答】解：由已知甲地去丙地共有3×4=12（種）．

故答案為：12.【分析】根據分步乘法直接計算即可.13．【答案】5【解析】【解答】解：零件為第i(i=1,2,3)臺車床加工記為為事件Ai由已知P(A1)=0.2由全概率公式可知所以P(B)=P(A所以P(A2|B)=P(A2)P(B|【分析】利用全概率公式和貝葉斯公式即可求得結果.14．【答案】(【解析】【解答】解：因為函數的定義域為R．且f(?x)=e所以f(x)是奇函數．又因為f(x)所以函數在R上單調遞增，f(t2+t)+f(3t)<0所以?3t>t2+t，∴所以實數t的取值范圍為(?4,0)．【分析】根據題意，得到函數的奇偶性和單調性，等價轉化不等式即可得答案.15．【答案】解：由題意得0.2+2a+a+0.0.3+0.所以ξ的分布列為ξ10987P0.40.20.20.2η的分布列為η10987P0.30.30.20.2【解析】【分析】(1)根據ξ、η的可能取值，分別求出每個取值的概率，即可得到分布列.(2)利用(1)所得的分布列，結合數學期望的計算公式，通過運算即可求解.16．【答案】（1）解：由題意知共有n+3個集團，取出2個集團的方法總數是Cn+32，其中全是大集團的情況有Cn整理得到3n2?13n?10=0若2個全是大集團，共有C5若2個全是小集團，共有C3故在取出的2個集團是同一類集團的情況下，全為小集團的概率為310+3（2）解：由題意知，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，P(X=0)=C50P(X=2)=C52故X的分布列為X0123P115155【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率計算方法即可求得概率；

(2)由題意知算出分布列，即可求出數學期望.17．【答案】（1）解：若a=1，f(x)令f'(x)=0，解得x=1，所以f(x)在(0,又f(1)=12，所以f(x)在(0,（2）解：f'當a>0時，令f'(x)>0，解得x>1a，令f'(x)<0，解得0<x<1a，當a<0時，令f'(x)>0，解得0<x<?1a，令f'(x)<0，解得x>?1a，【解析】【分析】(1)利用導數函數值的正負即可判斷原函數的單調性，結合極值點的定義可得極值.(2)分類討論a<0和a>0的情況，再利用導數和函數單調性的關系判斷函數單調性.18．【答案】（1）證明：若a=1，f(x)=ex?1?x，f'(x)=ex?1，令所以f(x)在(?∞,0)上單調遞減，在所以f(x)（2）解：不妨設0<x1<x2所以y=f(x)?12x令g(x)=f(x)?12x2，令h(x)=g'(x)當a<0時，h'(x)<0在(0,當0<a<1時，令h'(x)>0，解得x>ln1a，令所以h(x)在(0,ln1所以h(x)當a≥1時，∵h'(x)=aex?1>e∴h(x)=g'(x)≥0綜上所述a的取值范圍為[1,【解析】【分析】(1)依據導數判斷單調性求得最值后即可證明不等式，(2)構造函數g(x)=f(x)?119．【答案】（1）解：由題知，函數f(x)的定義域為(0,+∞)，當a≤0時，對任意的x>0，f'(x)≤0且f'(x)不恒為零，故當a>0時，令f'(x)=0，解得所以當x∈(0,1a)時，f'此時，函數f(x)的單調遞減區間為(0,1a綜上，當a≤0時，f(x)的單調遞減區間為(0,當a>0時，f(x)的單調遞減區間為(0,1a（2）解：①由題知，g(x)=x?f(x)=x?1函數g(x)的定義域為(0,+∞)，當a≤0時，對任意的x>0，g'(x)≥0且g'(x)不恒為零，故當0<a≤2時，Δ=a2?4≤0，g'(x)≥0且g當a>2時，令g'(x)=0，解得x2=a+當