第08講橢圓及其性質【人教A版2019】·模塊一橢圓的定義和標準方程·模塊二橢圓的幾何性質·模塊三課后作業模塊一模塊一橢圓的定義和標準方程1．橢圓的定義(1)定義：平面內與兩個定點,的距離的和等于常數(大于)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.2．橢圓的標準方程橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：橢圓在坐標

系中的位置標準方程焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系3．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標準方程

根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數法求橢圓的標準方程

①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【考點1曲線方程與橢圓】【例1.1】（2023春·四川遂寧·高二校考期中）如果方程kx2+y2=2表示焦點在A．1,+∞ B．1,2 C．12,1【例1.2】（2023春·江西景德鎮·高一校考期中）方程x2m+A．m>32且m≠3 B．m>4 C【變式1.1】（2023春·廣東·高二統考階段練習）設0°<α<90°，方程x2A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在x軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的雙曲線【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習）若方程x29-k+yA．k∈1,9 B．橢圓CC．若橢圓C的焦點在x軸上，則k∈1,5 D．若橢圓C的焦點在x【考點2橢圓的定義】【例2.1】（2023·全國·高二專題練習）已知點A，B是橢圓C:x29+y24=1上關于原點對稱的兩點，F1，A．1 B．2 C．4 D．5【例2.2】（2023·全國·高三專題練習）已知點P為橢圓x24+y22=1上的一點，F1，A．12 B．22 C．1 D【變式2.1】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x225+y216=1，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A，BA．10 B．15 C．20 D．25【變式2.2】（2023·全國·高三專題練習）P為橢圓x26+y22=1上一點，曲線|x|2+|y|=1與坐標軸的交點為A，BA．7813 B．813 C．219【考點3橢圓方程的求解】【例3.1】（2023秋·廣東惠州·高二統考期末）已知橢圓C的一個焦點為1,0，且過點0,3，則橢圓C的標準方程為（

A．x22+C．x23+【例3.2】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?A．x24+C．x29+【變式3.1】（2023·高二課時練習）已知F1?，?F2分別是橢圓C?：x2a2+y2b2=1?a>A．x24+C．x24+【變式3.2】（2023·全國·高二專題練習）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為3，則這個橢圓的方程為（

）A．x212+y2C．x236【考點4橢圓中的焦點三角形問題】【例4.1】（2023秋·內蒙古烏蘭察布·高二校考期末）橢圓x24+y23=1的左右焦點為F1，F2，P為橢圓上第一象限內任意一點，F1關于P的對稱點為A．6 B．8 C．10 D．12【例4.2】（2023·廣東梅州·統考三模）已知橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線A．23 B．13 C．4 D．【變式4.1】（2023春·江蘇鎮江·高二校考期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2A．4 B．8 C．16 D．32【變式4.2】（2023春·四川德陽·高二校考階段練習）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點為F1,A．5+2 B．C．-5-2模塊二模塊二橢圓的幾何性質1．橢圓的范圍設橢圓的標準方程為(a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標的取值范圍.(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.(2)從數的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．橢圓的對稱性(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(2)從數的角度看：在橢圓的標準方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說明當點P(x,y)在橢圓上時，它關于x軸的對稱點(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關于y軸對稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱.坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.3．橢圓的頂點與長軸、短軸以橢圓的標準方程(a>b>0)為例.

(1)頂點

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.(2)長軸、短軸線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，它的方程為.【考點5利用橢圓的幾何性質求標準方程】【例5.1】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為13，長軸長為12，則橢圓方程為（

A．x24+C．x236+y2【例5.2】（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為12，過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，且△ABF2A．x28+y24=1 B．【變式5.1】（2023·全國·高二專題練習）中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A．x281+C．x272+【變式5.2】（2023秋·陜西渭南·高二統考期末）阿基米德是古希臘著名的數學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（aA．x212+y216=1 B．【考點6求橢圓的離心率或其取值范圍】【例6.1】（2023秋·湖北·高三校聯考階段練習）已知F1，F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>bA．34 B．23 C．53【例6.2】（2023秋·高二課時練習）已知兩定點A(-2,0)和B(2,0)，動點P(x,y)在直線l:y=xA．2613 B．C．21313 D【變式6.1】（2023·四川廣安·四川省校考模擬預測）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，廣安市文化宮于春分時節開展油紙傘文化藝術節．活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為3的圓，圓心到傘柄底端距離為3，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，廣安的陽光與地面夾角為60°），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為（

）A．3-1 B．2-1 C．【變式6.2】（2023·重慶萬州·重慶市校考模擬預測）已知點Mx1,y1，Nx2,y2x1≠A．14,1 B．22,1 C．【考點7由橢圓的幾何性質求參數】【例7.1】（2023春·山東菏澤·高三校考開學考試）設橢圓C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 D【例7.2】（2023·全國·高二專題練習）設橢圓x2m+y2n=1m>0,n>0的離心率為eA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式7.1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓x2+y2m=1(m>0)的焦點在A．2 B．1 C．14 D．【變式7.2】（2023·高二課時練習）設F1，F2為橢圓C：y2+x2m2=1（0<m<1A．(0,12]C．(0,22]【考點8橢圓中的最值問題】【例8.1】（2023·全國·高二專題練習）已知點P為橢圓C:x24+y23=1A．2 B．3 C．23 D．【例8.2】（2023·全國·高二課堂例題）已知P為橢圓x225+y216=1上一點，M，N分別是圓xA．7,13 B．10,15 C．10,13 D．7,15【變式8.1】（2023·全國·高二專題練習）已知F1,F2分別為橢圓C:x2A．64 B．16 C．8 D．4【變式8.2】（2023春·廣東汕頭·高二統考期末）已知橢圓方程x24+y23=1,F是其左焦點，點A1,1是橢圓內一點，點P是橢圓上任意一點，若PAA．43 B．4 C．8 D．模塊三模塊三課后作業1．（2023·全國·高二專題練習）已知曲線C:x24a+y23a+2=1，則A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·全國·高二課堂例題）若點Mx,y滿足方程x2+A．x236+y232=1 B．3．（2023·全國·高二專題練習）已知△PQF的頂點P,Q在橢圓x216+y212A．12 B．43 C．16 D．4．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓的中心在原點，焦點F1，F2在x軸上，且經過點P2,3，同時PF1A．x28＋y26＝1 B．xC．x24＋y22＝1 D．x5．（2023·遼寧大連·大連八中校考三模）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：x2a+1+y2aA．x2+y2=19 B．x26．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）點P為橢圓x28+y24=1上一點，曲線x2+y=1與坐標軸的交點為A，B，CA．223 B．89 C．27．（2023春·北京·高二校考期中）已知點P是橢圓x225+y216=1上一動點，Q是圓(A．4 B．5 C．6 D．78．（2023·全國·高二專題練習）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮于春分時節開展油紙傘文化藝術節.活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為60°），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為（

）A．2-3 B．2-1 C．39．（2023·重慶·重慶校考模擬預測）已知O為坐標原點，橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，平行四邊形OACB的三個頂點A，B，C在橢圓E上，若直線ABA．x28+C．x24+10．（2023春·重慶沙坪壩·高二校考階段練習）設橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F，橢圓A．53,1 B．22,10411．（2023秋·高二課時練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為-4,0和4,0，且橢圓經過點5,0(2)焦點在y軸上，且經過兩個點0,2和1,0；(3)焦點在y軸上，焦距是4，且經過點M3,212．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓