第12講函數與方程必備知識PART01第一部分1．函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)幾個等價關系方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．(3)函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是_____________的一條曲線，并且有____________，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．連續不斷f(a)·f(b)<02．二分法對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間____________，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．一分為二3．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系1．若y＝f(x)在閉區間[a，b]上的圖象連續不斷，且有f(a)f(b)<0，則函數y＝f(x)一定有零點．2．若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點．3．周期函數如果有零點，則必有無窮多個零點．考點精析PART02第二部分√√解析：由f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，則函數y＝f(x)－2|x|的零點的個數即為函數y＝f(x)的圖象與函數y＝2|x|的圖象的交點個數．作出函數y＝f(x)與函數y＝2|x|的圖象，如圖所示，可知兩個函數圖象的交點的個數為2，故方程f(x)－2|x|＝0的解的個數為2.故選C.歸納總結(1)確定函數零點所在區間，可利用零點存在性定理或數形結合法．(2)判斷函數零點個數的方法：①解方程法；②零點存在性定理、結合函數的性質；③數形結合法：轉化為兩個函數圖象的交點個數．考點二函數零點的應用

(1)若函數f(x)＝2x＋x3＋a的零點所在的區間為(0，1)，則實數a的取值范圍是(

)A．[－3，－1] B．[－2，－1]C．(－3，－1)

D．(－2，－1)√√歸納總結對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數y＝f(x)的值域來解決，解的個數可化為函數y＝f(x)的圖象和直線y＝a交點的個數．考點三二次函數的零點問題

(1)已知函數f(x)在區間[－2，2]上有定義，則“f(x)在區間[－2，2]上有零點”是“f(－2)·f(2)<0”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√(2)已知函數f(x)＝x2＋x＋a在區間(0，1)上有零點，則實數a的取值范圍是________．(－2，0)歸納總結解決與二次函數有關的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式．(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數之間的關系．(3)利用二次函數的圖象列不等式組．綜合提升PART03第三部分√2．若函數f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如表：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根可以是(

)A．1.25B．1.39C．1.41D．1.5√f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054解析：由表中數據可得f(1.40625)·f(1.4375)＜0，根據零點的存在性定理可知，零點在區間(1.40625，1.4375)內，觀察四個選項，方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根為1.41.故選C.3．函數f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內的零點的個數為(

)A．0B．1C．2D．3解析：由題意可知f(x)的定義域為(0，＋∞)，在同一平面直角坐標系中畫出函數y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的圖象，如圖所示．由圖可知函數f(x)在定義域內的零點個數為2.√4．已知函數f(x)＝log2x＋3x＋b的零點在區間(0，1]上，則實數b的取值范圍是(

)A．[－3，0] B．(－∞，3]C．[0，3] D．[－3，＋∞)解析：函數f(x)＝log2x＋3x＋b在區間(0，＋∞)上單調遞增，當x→0時，f(x)→－∞，因為函數f(x)＝log2x＋3x＋b的零點在區間(0，1]上，所以f(1)＝log21＋3×1＋b≥0，解得b≥－3.故選D.√√解析：因為函數g(x)＝f(x)－m有3個零點，所以g(x)＝f(x)－m＝0有三個實根，即直線y＝m與函數y＝f(x)的圖象有三個交點．作出函數y＝f(x)圖象，由圖可知，實數m的取值范圍是(0，1).

故選C.6．設k為實數，函數f(x)＝2x＋x2－k在[0，1]上有零點，則實數k的取值范圍為________．[1，3]7．已知函數f(x)