人教A版高中數學選擇性必修三7.3.1第2課時-離散型隨機變量的均值的綜合應用-同步練習1．已知隨機變量X的分布列為：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)a設Y＝2X＋1，則Y的均值E(Y)等于()A．－eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)2．已知隨機變量X，Y滿足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝eq\f(7,3)，X的分布列為X－101Peq\f(1,2)ab則a，b的值分別為()A．a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3) B．a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,4)C．a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,6) D．a＝eq\f(3,8)，b＝eq\f(1,8)3．今有兩臺獨立工作在兩地的雷達，每臺雷達發現飛行目標的概率分別為0.9和0.85，設發現目標的雷達數為ξ，則E(ξ)的值為()A．0.765 B．1.75C．1.765 D．0.224．某商場銷售某種品牌的空調，每周初購進一定數量的空調，商場每銷售一臺空調可獲利500元，若供大于求，則每臺未售出的空調需交保管費100元；若供不應求，則可從其他商場調劑供應，調劑的空調每臺可獲利200元．該商場記錄了去年夏天(共10周)空調的周需求量n(單位：臺)，整理得表：周需求量n1819202122頻數12331以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，若該商場周初購進20臺空調，X表示當周的利潤(單位：元)，則當周的平均利潤為()A．10000元 B．9400元C．8800元 D．9860元5．某車站每天上午發出兩班客車，每班客車的發車時刻和發車概率如下：第一班車：在8：00,8：20,8：40發車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)；第二班車：在9：00,9：20,9：40發車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4).假設這兩班客車在什么時刻發車是相互獨立的，一位旅客8：10到達車站乘車，則該旅客候車的分鐘數的均值為()A．30B．35C．40D．256．(多選)已知某一隨機變量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，則()X4a9P0.50.1bA.a＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.627．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，則E(X)＝________.8．某公司有5萬元資金用于投資開發項目，如果成功，一年后可獲利12%；如果失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去200例類似項目開發的實施結果：投資成功投資失敗192例8例則該公司一年后估計可獲收益的均值是________．9．若n是一個三位正整數，且n的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱n為“三位遞增數”(如137,359,567等)．在某次數學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取1個數，且只能抽取一次．得分規則如下：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫出所有個位數字是5的“三位遞增數”；(2)若甲參加活動，求甲的得分X的分布列和均值E(X)．10．某景點電動車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過1h免費，超過1h的部分每小時收費10元(不足1h的部分按1h計算)．有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車游玩(各租一車次)．設甲、乙不超過1h還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，1h以上且不超過2h還車的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，兩人租車時間都不會超過3h.(1)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．11．已知實數a，b，c成等差數列，隨機變量X的分布列為X012Pabc當a增大時，則下列說法中正確的是()A．E(X)增大B．E(X)減小C．E(X)先增大后減小D．E(X)先減小后增大12．某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜保鮮分裝，以每份10元的價格銷售到某生鮮超市，該生鮮超市以每份15元的價格賣給顧客，如果當天前8小時賣不完，則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客(根據經驗，當天能夠把剩余的有機蔬菜全部低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再進貨)．該生鮮超市統計了100天有機蔬菜在每天前8小時的銷售量(單位：份)，制成如下表格(注：x，y∈N*，且x＋y＝30)．每天前8小時的銷售量15161718192021頻數10x15161613y若以這100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發生的概率，以該生鮮超市當天銷售有機蔬菜利潤的均值為決策依據，當購進17份比購進18份的利潤的均值大時，x的取值集合為()A．{24,25,28,29} B．{26,27,28,29}C．{20,21,22} D．{25,26,27,28}13．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq\f(1,3)，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數ξ的均值E(ξ)為()A.eq\f(241,81)B.eq\f(266,81)C.eq\f(274,81)D.eq\f(670,243)14．某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎且相應獲獎概率是以a1為首項，以2為公比的等比數列，相應資金是以700元為首項，以－140元為公差的等差數列，則參與該游戲獲得資金的均值為____元．15．將字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每個格子各放一個字母，則每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率為________；若共有k行字母相同，則得k分，則所得分數ξ的均值為________．16．圖1是一顆擁有完美正八面體晶形的鉆石，其示意圖如圖2.設ξ為隨機變量，從棱長為1的正八面體的12條棱中任取2條，當2條棱相交時，ξ＝0；當2條棱平行時，ξ的值為2條棱之間的距離；當2條棱異面時，ξ＝2.(1)求P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列及E(ξ)．參考答案與詳細解析1．C[根據分布列的性質，得eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋a＝1，解得a＝eq\f(1,3)，所以隨機變量X的均值為E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6).又Y＝2X＋1，所以隨機變量Y的均值為E(Y)＝2E(X)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝eq\f(2,3).]2．C[因為E(Y)＝2E(X)＋3＝eq\f(7,3)，所以E(X)＝－eq\f(1,3)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1×\f(1,2)＋0×a＋1×b＝－\f(1,3)，,\f(1,2)＋a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,6).))]3．B[當ξ＝0時，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；當ξ＝1時，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.22；當ξ＝2時，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.]4．D[當n≥20時，X＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000，當n≤19時，X＝500n－100(20－n)＝600n－2000，則X的可能取值為8800,9400,10000,10200，10400，P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1，則當周的平均利潤E(X)＝0.1×8800＋0.2×9400＋0.3×10000＋0.3×10200＋0.1×10400＝9860(元)．]5．A[設該旅客候車的分鐘數為ξ，則ξ的取值范圍為{10,30,50,70,90}，P(ξ＝10)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝30)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝50)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，P(ξ＝70)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝90)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，所以ξ的分布列為ξ1030507090Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,16)eq\f(1,8)eq\f(1,16)故E(ξ)＝10×eq\f(1,2)＋30×eq\f(1,4)＋50×eq\f(1,16)＋70×eq\f(1,8)＋90×eq\f(1,16)＝30，即該旅客候車的分鐘數的均值為30.]6．ABC[由題意和分布列的性質得0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，又E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52.]7．2解析∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.8．4760元解析由題意知，一年后獲利6000元的概率為0.96，獲利－25000元的概率為0.04，故該公司一年后收益的均值是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．9．解(1)個位數是5的“三位遞增數”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知，全部“三位遞增數”的個數為Ceq\o\al(3,9)＝84，X的可能取值為0，－1,1，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,14)－eq\f(2,3)＝eq\f(11,42)，所以X的分布列為X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)因此E(X)＝0×eq\f(2,3)＋(－1)×eq\f(1,14)＋1×eq\f(11,42)＝eq\f(4,21).10．解(1)由題意得甲、乙在2小時以上且不超過3小時還車概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，記甲、乙兩人所付的租車費用相同為事件A，則P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).(2)ξ的可能取值為0,10,20,30,40，則P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝10)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝20)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝30)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，所以甲、乙兩人所付的租車費用之和ξ的分布列為ξ010203040Peq\f(1,8)eq\f(5,16)eq\f(5,16)eq\f(3,16)eq\f(1,16)故E(ξ)＝10×eq\f(5,16)＋20×eq\f(5,16)＋30×eq\f(3,16)＋40×eq\f(1,16)＝17.5.11．B[因為實數a，b，c成等差數列，所以a＋c＝2b.又由分布列的性質可得a＋b＋c＝1，所以a＋c＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)，所以0≤a≤eq\f(2,3)，所以E(X)＝0·a＋1×eq\f(1,3)＋2c＝eq\f(1,3)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＝－2a＋eq\f(5,3)，所以當a增大時，E(X)減小．]12．B[設該生鮮超市購進17份有機蔬菜時利潤為ξ，購進18份有機蔬菜時利潤為η，則ξ的分布列如下表所示：ξ657585Peq\f(1,10)eq\f(x,100)eq\f(90－x,100)所以E(ξ)＝65×eq\f(1,10)＋75×eq\f(x,100)＋85×eq\f(90－x,100)＝83－0.1x.η的分布列如下表所示：η60708090Peq\f(1,10)eq\f(x,100)eq\f(3,20)eq\f(75－x,100)所以E(η)＝60×eq\f(1,10)＋70×eq\f(x,100)＋80×eq\f(3,20)＋90×eq\f(75－x,100)＝85.5－0.2x.由題意知，E(ξ)>E(η)，即83－0.1x>85.5－0.2x，解得x>25，又x＋y＝30且x，y∈N*，則25<x≤29且x∈N*，即x的取值集合是{26,27,28,29}．]13．B[依題意知，ξ的所有可能值為2,4,6，設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有P(ξ＝2)＝eq\f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81)，故E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).]14．500解析由分布列的性質可得a1＋2a1＋4a1＝1，所以a1＝eq\f(1,7)，2a1＝eq\f(2,7)，4a1＝eq\f(4,7).因此獲得資金X的分布列為X700560420Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(4,7)所以E(X)＝700×eq\f(1,7)＋560×eq\f(2,7)＋420×eq\f(4,7)＝500(元)．15.eq\f(2,15)eq\f(3,5)解析當每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時，第一列a，b，c三個字母全排列，有Aeq\o\al(3,3)種方法，第二列剩下的a，b，c三個字母的排列方法有Aeq\o\al(2,2)種，所以共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12(種)排列方法，六個字母在3×2的表格中進行排列，共有eq\f(A\o\al(6