Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一章數與式第02講整式與因式分解（思維導圖+4考點+2命題點14種題型（含7種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一代數式考點二整式的相關概念考點三整式的運算考點四因式分解04題型精研·考向洞悉命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式題型02求代數式的值.題型03整式的加減題型04冪的混合運算題型05整式的乘除題型06乘法公式的應用題型07整式的化簡求值題型08整式的混合運算題型09判斷因式分解的正誤題型10因式分解題型11因式分解的應用命題點二規律探索及新定義問題題型01圖形類規律探索題型02數字類規律探索題型03數式中的新定義問題Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標中考考點考查頻率新課標要求列代數式★能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示代數式求值★★將具體數代入代數式進行計算整式的加減★★1.了解整數指數罪的意義和基本性質；2.理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則；3.能進行簡單的整式加減乘除運算；4.理解乘法公式，了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理；5.靈活運用多種方法化簡代數式.冪的運算★★整式的乘除★★整式的混合運算★★★因式分解★★★能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超過二次)進行因式分解(指數為正整數).【考情分析】本專題包含整式的概念、整式的運算及因式分解，是中考的必考內容，試題形式多樣，難度不大，乘法公式的靈活運用是整式運算中的重要內容，同時在整式的化簡求值及因式分解中也都有所體現.整式求值計算中經常用到整體代入法，在應用的過程中注意觀察已知與所求間的關系，因式分解一般以填空題的形式出現，注意分解要徹底.02知識導圖·思03考點突破·考考點一代數式1.列代數式定義：把問題中與數量有關的詞語，用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，這就是列代數式.代數式的書寫要求：1）數字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；數與數相乘必須寫乘號.2）字母與數字相乘時，通常把數字寫在字母的前面；如果字母前面的數字是1或-1時，通常省略不寫.3）除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數.4）若代數式的最后結果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位.2.代數式的值定義：根據問題的需要，用具體數值代替代數式中的字母，計算所得的結果叫做代數式的值.求代數式的值的步驟：1）代入：將指定的數值代替代數式里的字母，代入數值時，必須將相應的字母換成數值，其他的運算符號、原來的數字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；2）計算：按照代數式指定的運算關系計算出結果，運算時，要分清運算種類及運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的.1．（2024·四川廣安·中考真題）下列對代數式-3x的意義表述正確的是（

）A．-3與x的和 B．-3與x的差 C．-3與x的積 D．-3與x的商2．（2024·廣東廣州·中考真題）若a2-2a-5=0，則23．（2023·吉林長春·中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為公里．（用含x的代數式表示）4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U=IR1+IR2+IR3．當R

5．（2024·四川雅安·中考真題）如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數量n的變化規律的活動中，我們可以獲得以下數據（字母），請選用適當的字母表示H=．①杯子底部到杯沿底邊的高h；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．考點二整式的相關概念1.單項式單項式的定義：由數字與字母、字母與字母的乘積組成的式子叫單項式.單項式的系數：單項式中的數字因數叫做單項式的系數.注意：圓周率π是常數，單項式中出現π時，應看作系數，而不能當成字母；單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數.注意：單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關.例如：單項式的次數是2＋3＋4=9而不是14.2.多項式多項式的定義：幾個單項式的和叫做多項式.多項式的項：在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項.多項式的次數：一個多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數.注意：1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數；2）一個多項式是幾次、有幾項就叫幾次幾項式，如是二次三項式.升冪排列與降冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來,叫做把多項式按這個字母降冪排列；若按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列．3.整式定義：單項式與多項式統稱為整式.1．（2024·江西·中考真題）觀察a，a2，a3，a42．（2024·吉林長春·中考真題）單項式-2a2b3．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規律，第六幅圖中正方形的個數為（

）A．90 B．91 C．92 D．934．（2024·山東濰坊·中考真題）將連續的正整數排成如圖所示的數表．記ai,j為數表中第i行第j列位置的數字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若a5．（2023·湖北恩施·中考真題）觀察下列兩行數，探究第②行數與第①行數的關系：-2，4，-8，16，-32，64，……0，7，-4，21，-26，71，……②根據你的發現，完成填空：第①行數的第10個數為；取每行數的第2023個數，則這兩個數的和為．QUOTEQUOTE考點三整式的運算1.同類項定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.判斷同類項的標準：一是所含字母相同；二是相同字母的指數也相同，缺一不可.2.合并同類項定義：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.法則：同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母與字母的指數不變.（簡稱：一相加兩不變）3.去括號與添括號添（去）括號法則：括號外是“+”，添(去)括號不變號；括號外是“-”，添(去)括號都變號.【補充】去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤.4.整式的加減運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.【補充說明】整式加減實際上就是：去括號、合并同類項；5.冪的運算冪的運算法則中底數a的規定：底數a可以是單項式，也可以是多項式.1）同底數冪相乘底數不變，指數相加，即（m，n都是整數）2）冪的乘方底數不變，指數相乘，即（m，n都是整數）注意：冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結論是“底數不變，指數相乘”．這里的“底數不變”是指“冪”的底數“a”不變．例如：，其中，“冪”的底數是“a”，而不是“”，指數相乘是指“3×2”．3）積的乘方積的乘方等于把每一個因式分別乘方，再把所得的積相乘，即（n為整數）4）同底數冪的除法底數不變，指數相減，即（a≠0，m，n都為整數）5）零指數冪任何不等于0的數的0次冪都等于1，即（a≠0）.6.整式的乘除1）單項式乘單項式運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.實質：乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.2）單項式乘多項式運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即.實質：利用乘法的分配律將單項式乘多項式轉化為單項式乘單項式.3）多項式乘多項式運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．即.【易錯易混】①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；

②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號.且結果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．4）單項式除以單項式運算法則：一般地,單項式相除,把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.5）多項式除以單項式運算法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.實質：把多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式.7.乘法公式1）平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.即：特點：等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；等號右邊是一個二項式，這個二項式是左邊兩個二項式中相同項與相反項的平方差.2）平方差公式的推導①用多項式的乘法推導平方差公式②通過面積法推導平方差公式：如圖1所示，左側涂色部分的面積為，右側涂色部分的面積為，所以可以得到.【補充】常見驗證平方差公式的幾何圖形3）完全平方公式完全平方公式：兩個數的和（或差）的平方等于這兩數的平方和加上（或減去）這兩數乘積的兩倍.即.特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號同前方.完全平方式的常見變形（①-⑤基礎必須掌握）：①②③④⑤4）完全平方公式的推導①用多項式的乘法推導完全平方公式：②通過面積法推導完全平方公式：①如圖甲所示是一個邊長為a+b的正方形，面積為，它的面積還可以看成是由兩個小正方形與兩個長方形的和，即，所以可以得到；②如圖乙所示，邊長為a-b的小正方形的面積是，它的面積還可以看成是由大的正方形面積減去兩個小的長方形面積，即，所以可以得到.8.整式的混合運算定義：含有整式的加減、乘除及乘方的多種運算叫做整式的混合運算.運算順序:先乘方，再乘除，后加減，有括號時，先算括號里的，去括號時，先去小括號，再去中括號，最后去大括號.1．（2024·山東泰安·中考真題）下列運算正確的是（

）A．2x2y-3xC．x-y-x-y=x2．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數，且滿足2a+2a+???+2aA．a+3=8b B．3a=8b C．a+3=b8 3．（2024·四川德陽·中考真題）若一個多項式加上y2+3xy-4，結果是3xy+2y4．（2023·江蘇南京·中考真題）計算23×45．（2024·甘肅·中考真題）先化簡，再求值：2a+b2-2a+b2a-b÷2b考點四因式分解1.因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.【補充說明】1）因式分解分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可.2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算，且因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．2.公因式定義：多項式的各項中都含有相同的因式，我們把這個相同的因式就叫做公因式.注意：公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式.3.提公因式法分解因式定義：如果多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外，將多項式寫成公因式與另一個多項式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫提公因式法，即：.實質：乘法分配律的逆用.關鍵：準確找出多項式各項的公因式.4.公因式法分解因式定義：運用平方差公式、完全平方公式將一個多項式分解因式的方法叫作公式法.逆用平方差法分解因式：逆用完全平方公式分解因式：5.因式分解的一般步驟：

1．（2023·四川攀枝花·中考真題）以下因式分解正確的是（

）A．ax2-a=aC．x2+2x-3=xx+22．（2023·河北·中考真題）若k為任意整數，則(2k+3)2-4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除3．（2024·山東淄博·中考真題）若多項式4x2-mxy+9y24．（2024·內蒙古通遼·中考真題）因式分解3ax220．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn=2，m-n=1，則代數式m2n-mn5．（2023·四川內江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c-10|+b-8=12a-36，則4題型精研·考命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式.代數式的書寫要求：1）數字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；數與數相乘必須寫乘號.2）字母與數字相乘時，通常把數字寫在字母的前面；如果字母前面的數字是1或-1時，通常省略不寫.3）除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數.4）若代數式的最后結果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位.1．（2022·湖南長沙·中考真題）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（

）A．8x元 B．10(100-x)元 C．8(100-x)元 D．(100-8x)元2．（2023·江蘇·中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是（用含a的代數式表示）．3．（2022·河北·中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數是甲盒所剩棋子數的2倍，則a＝；（2）設甲盒中都是黑子，共m(m>2)個，乙盒中都是白子，共2m個，嘉嘉從甲盒拿出a(1<a<m)個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數比甲盒所剩棋子數多個；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個棋子放到甲盒，其中含有x(0<x<a)個白子，此時乙盒中有y個黑子，則yx的值為4．（2023·山東臨沂·中考真題）大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金，當她工作滿20天后因故結束實習，結算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金．(1)這臺M型平板電腦價值多少元？(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現金，她應獲得多少報酬（用含m的代數式表示）？題型02求代數式的值.求代數式的值的步驟：1）代入：將指定的數值代替代數式里的字母，代入數值時，必須將相應的字母換成數值，其他的運算符號、原來的數字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；2）計算：按照代數式指定的運算關系計算出結果，運算時，要分清運算種類及運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的.1．（2024·四川·中考真題）已知x2+2x=3，那么2x2．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn=2，m-n=1，則代數式m2n-mn3．（2024·山東濟寧·中考真題）已知a2-2b+1=0，則4ba4．（2023·湖北隨州·中考真題）已知關于x的一元二次方程2x2-3x=-1的兩個實數根分別為x1和x2題型03整式的加減1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計算：2a(a-1)-2a2=A．a B．-a C．2a D．-2a2．（2024·四川廣元·中考真題）如果單項式-x2my3與單項式2xA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023·湖北宜昌·中考真題）在日歷上，某些數滿足一定的規律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為a，則下列敘述中正確的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的數字為a+1 B．左下角的數字為a+7C．右下角的數字為a+8 D．方框中4個位置的數相加，結果是4的倍數4．（2023·河北·中考真題）現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示(a>1)．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為S1(1)請用含a的式子分別表示S1,S2；當(2)比較S1與SQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE題型04冪的混合運算計算時可能用到以下公式：1)2）3)4)5)【注意】同底數冪的運算法則只適用于同底數冪的乘除，當底數不同時要看能否化成同底數，若不能則不能用同底數冪的運算法則進行計算.1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）下列運算中，結果正確的是（

）A．m3?m3=m6 B．2．（2024·山西·中考真題）下列各式中，運算結果為6m4的是（

A．3m+3m3 B．-3m22 3．（2024·上海·中考真題）計算：4x24．（2024·天津·中考真題）計算x8÷xQUOTE題型05整式的乘除整式的乘除法單項式×單項式例：系數相乘，字母相乘單項式×多項式例：利用乘法分配律，化為單項式×單項式多項式×多項式例：1.要按一定順序進行,注意做到不重不漏,確定積中每項的符號時,按“同號得正,異號得負”的法則確定.2.多項式與多項式相乘,仍得多項式，有同類項時要合并同類項.單項式÷單項式例：運算順序：首先將系數相除，然后將同底數冪相除，最后將被除式中單獨有的字母連同它的指數一起作為商的一個因式，系數相除時要注意先確定商的符號.多項式÷單項式例：1.多項式除以單項式所得商的項數與多項式的項數一致,在計算時不要漏項；2.計算時，多項式的各項要包括它前面的符號,注意符號的變化.1．（2024·西藏·中考真題）下列運算正確的是（

）A．x-2x=x B．x(x+3)=C．-2x232．（2024·四川德陽·中考真題）下列計算正確的是（

）A．a2?aC．aa+1=a3．（2023·山東青島·中考真題）計算：8x34．（2024·重慶·中考真題）計算：(1)a3-a(2)1+2題型06乘法公式的應用1．（2023·四川攀枝花·中考真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數恒等式：①a+b2=a2+2ab+b③(a+b)(a-b)=a2-b2

其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）已知2a2-a-3=0，則(2a+3)(2a-3)+A．6 B．-5 C．-3 D．43．（2024·四川樂山·中考真題）已知a-b=3，ab=10，則a2+24．（2023·浙江·中考真題）如圖，分別以a,b,m,n為邊長作正方形，已知m>n且滿足am-bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，則圖1陰影部分的面積是；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．4．（2023·四川成都·中考真題）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且m-n>1，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，16=52-32，16就是一個智慧優數，可以利用m題型07整式的化簡求值一般這類題會利用整體代入法/間接代入法求值，[整體代入法]從題中條件中不易直接得到某個字母的具體值，可以將原式化為已知條件中字母間的關系，然后將某個式子的值作為一個整體代入計算.[間接代入法]將已知的代數式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數式中計算求值.[賦值法]給未知數賦予一些特殊值，將其代入等式中，得到所求代數式的形式，從而求出代數式的值.一般情況下，多是代入-1、0、1這三個值.1．（2024·四川成都·中考真題）若m，n為實數，且m+42+n-5=0，則2．（2023·遼寧沈陽·中考真題）當a+b=3時，代數式2(a+2b)-(3a+5b)+5的值為．3．（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程x2+2024x-4=0的兩個解，則a24．（2023·四川涼山·中考真題）已知x2-2x-1=0，則3x5．（2023·四川涼山·中考真題）先化簡，再求值：(2x+y)2-2x+y2x-y-2y6．（2024·北京·中考真題）已知a-b-1=0，求代數式3a-2b題型08整式的混合運算1．（2022·江蘇無錫·中考真題）計算：(1)-1(2)aa+22．（2023·甘肅蘭州·中考真題）計算：x+2yx-2y3．（2022·重慶·中考真題）若一個四位數M的個位數字與十位數字的平方和恰好是M去掉個位與十位數字后得到的兩位數，則這個四位數M為“勾股和數”．例如：M=2543，∵32又如：M=4325，∵52+2(1)判斷2022，5055是否是“勾股和數”，并說明理由；(2)一個“勾股和數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記GM=c+d9，PM=10題型09判斷因式分解的正誤1．（2023·山東·中考真題）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（

）A．(a+3)2=aC．5ax2-5a2．（2023·湖南益陽·中考真題）下列因式分解正確的是（

）A．2a2-4a+2=2C．4a2-3．（2024·河北秦皇島·一模）對于①2x-xy=x2-y，②x-32=A．都是因式分解 B．都是乘法運算C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解4．（2024·河北邯鄲·模擬預測）將多項式“4m2-?”因式分解，結果為(2m+3)(2m-3)A．3 B．-3 C．9 D．-9題型10因式分解1．（2024·山東淄博·中考真題）若多項式4x2-mxy+9y22．（2023·浙江嘉興·中考真題）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為(x+1)，請你寫出一個符合條件的多項式：．3．（2024·山東威海·中考真題）因式分解：x+2x+4+1=4．（2023·黑龍江綏化·中考真題）因式分解：x2+xy-xz-yz=題型11因式分解的應用1．（2023·河北·中考真題）若k為任意整數，則(2k+3)2-4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除2．（2023·湖南·中考真題）已知實數m、x1、x2滿足：①若m=13，x②若m、x1、x2為正整數，則符合條件的有序實數對x13．（2023·浙江嘉興·中考真題）觀察下面的等式：3(1)寫出192(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．4．（2024·福建·中考真題）已知實數a,b,c,m,n滿足3m+n=b(1)求證：b2(2)若a,b,c均為奇數，m,n是否可以都為整數？說明你的理由．5．（2022·青海西寧·中考真題）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a-3ab-4+6b因式分解．【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】(1)請用分組分解法將x2【挑戰】(2)請用分組分解法將ax+a【應用】(3)“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和ba>b，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據以上信息，先將a命題點二規律探索及新定義問題題型01圖形類規律探索1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規律排列下去，第674個圖中三角形的個數是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20252．（2023·四川綿陽·中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數為a1，第2幅圖形中“●”的個數為a2，第3幅圖形中“●”的個數為a3

A．2021 B．6184 C．5898403．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個點……容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10．(1)探索：三角點陣中前8行的點數之和為_____，前15行的點數之和為______，那么，前n行的點數之和為______(2)體驗：三角點陣中前n行的點數之和______（填“能”或“不能”）為500．(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？4．（2023·安徽·中考真題）【觀察思考】【規律發現】請用含n的式子填空：(1)第n個圖案中“”的個數為；(2)第1個圖案中“★”的個數可表示為1×22，第2個圖案中“★”的個數可表示為2×32，第3個圖案中“★”的個數可表示為3×42，第4個圖案中“★”的個數可表示為4×5【規律應用】(3)結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數n，使得連續的正整數之和1+2+3+?+n等于第n個圖案中“”的個數的2倍．題型02數字類規律探索1．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數：3、8、18、38、…，按此規律，第5～7個數可能為（

）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、3182．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數2,2,則第八行左起第1個數是（

）A．72 B．82 C．58 3．（2023·西藏·中考真題）按一定規律排列的單項式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規律排列的第4．（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，(a+b)7展開的多項式中各項系數之和為QUOTE題型03數式中的新定義問題解題方法：新定義運算的規律其實是這幾種規律當中最為簡單的一種，因為其規律都是由題目給出的，想要找到其規律，需要從所給的條件當中進行簡單的推論.這時候就考驗大家的觀察能力，以及對數字的敏感程度.1．（2024·河北·中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數乘法運算轉化為一位數乘法和簡單的加法運算．淇淇受其啟發，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132×23，運算結果為3036．圖2表示一個三位數與一個兩位數相乘，表格中部分數據被墨跡覆蓋，根據圖2中現有數據進行推斷，正確的是（

）A．“20”左邊的數是16 B．“20”右邊的“□”表示5C．運算結果小于6000 D．運算結果可以表示為4100a+10252．（2023·重慶·中考真題）在多項式x-y-z-m-n（其中x>y>z>m>n)中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果．其中正確的個數是()A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·四川廣安·中考真題）定義一種新運算：對于兩個非零實數a、b，a※b=xa+yb．若2※4．（2024·重慶·中考真題）我們規定：若一個正整數A能寫成m2-n，其中m與n都是兩位數，且m與n的十位數字相同，個位數字之和為8，則稱A為“方減數”，并把A分解成m2-n的過程，稱為“方減分解”．例如：因為602=252-23，25與23的十位數字相同，個位數字5與3的和為8，所以602是“方減數”，602分解成602=252-23的過程就是“方減分解”．按照這個規定，最小的“方減數”是．把一個“方減數”A進行“方減分解”，即A=m2-n，將m放在n的左邊組成一個新的四位數B，若B5．（2022·湖南長沙·中考真題）當今大數據時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區區“二維碼”已經展現出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼．根據相關數學知識，這200個方格可以生成2200個不同的數據二維碼，現有四名網友對2YYDS（永遠的神）：2200DDDD（懂的都懂）：2200等于200JXND（覺醒年代）：2200QGYW（強國有我）：我知道210=1024,?103其中對2200的理解錯誤的網友是第一章數與式第02講整式與因式分解（思維導圖+4考點+2命題點14種題型（含7種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一代數式考點二整式的相關概念考點三整式的運算考點四因式分解04題型精研·考向洞悉命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式.題型02求代數式的值.題型03整式的加減題型04冪的混合運算題型05整式的乘除題型06乘法公式的應用題型07整式的化簡求值題型08整式的混合運算題型09判斷因式分解的正誤題型10因式分解題型11因式分解的應用命題點二規律探索及新定義問題題型01圖形類規律探索題型02數字類規律探索題型03數式中的新定義問題

01考情透視·目標中考考點考查頻率新課標要求列代數式★能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示代數式求值★★將具體數代入代數式進行計算整式的加減★★1.了解整數指數罪的意義和基本性質；2.理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則；3.能進行簡單的整式加減乘除運算；4.理解乘法公式，了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理；5.靈活運用多種方法化簡代數式.冪的運算★★整式的乘除★★整式的混合運算★★★因式分解★★★能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超過二次)進行因式分解(指數為正整數).【考情分析】本專題包含整式的概念、整式的運算及因式分解，是中考的必考內容，試題形式多樣，難度不大，乘法公式的靈活運用是整式運算中的重要內容，同時在整式的化簡求值及因式分解中也都有所體現.整式求值計算中經常用到整體代入法，在應用的過程中注意觀察已知與所求間的關系，因式分解一般以填空題的形式出現，注意分解要徹底.02知識導圖·思03考點突破·考考點一代數式1.列代數式定義：把問題中與數量有關的詞語，用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，這就是列代數式.代數式的書寫要求：1）數字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；數與數相乘必須寫乘號.2）字母與數字相乘時，通常把數字寫在字母的前面；如果字母前面的數字是1或-1時，通常省略不寫.3）除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數.4）若代數式的最后結果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位.2.代數式的值定義：根據問題的需要，用具體數值代替代數式中的字母，計算所得的結果叫做代數式的值.求代數式的值的步驟：1）代入：將指定的數值代替代數式里的字母，代入數值時，必須將相應的字母換成數值，其他的運算符號、原來的數字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；2）計算：按照代數式指定的運算關系計算出結果，運算時，要分清運算種類及運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的.1．（2024·四川廣安·中考真題）下列對代數式-3x的意義表述正確的是（

）A．-3與x的和 B．-3與x的差 C．-3與x的積 D．-3與x的商【答案】C【分析】本題考查了代數式的意義，用語言表達代數式的意義，一定要理清代數式中含有的各種運算及其順序．根據-3x中的運算關系解答即可．【詳解】解：代數式-3x的意義可以是-3與x的積．故選C．2．（2024·廣東廣州·中考真題）若a2-2a-5=0，則2【答案】11【分析】本題考查了已知字母的值求代數式的值，得出條件的等價形式是解題關鍵．由a2-2a-5=0，得【詳解】解：∵a∴a∴2a故答案為：11．3．（2023·吉林長春·中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為公里．（用含x的代數式表示）【答案】7.5-10x【分析】根據題意列出代數式即可．【詳解】根據題意可得，他離健康跑終點的路程為7.5-10x．故答案為：7.5-10x．【點睛】此題考查了列代數式，解題的關鍵是讀懂題意．4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U=IR1+IR2+IR3．當R

【答案】220【分析】本題考查了代數式求值，乘法運算律，掌握相關運算法則，正確計算是解題關鍵．根據U=IR【詳解】解：∵U=IR當R1=20.3，R2=31.9，U=20.3×2.2+31.9×2.2+47.8×2.2=20.3+31.9+47.8故答案為：220．5．（2024·四川雅安·中考真題）如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數量n的變化規律的活動中，我們可以獲得以下數據（字母），請選用適當的字母表示H=．①杯子底部到杯沿底邊的高h；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．【答案】h+an【分析】本題考查的是列代數式，由總高度H等于杯子底部到杯沿底邊的高h加上n個杯子的杯沿高na即可得到答案；【詳解】解：由題意可得：H=h+an，故答案為：h+an；考點二整式的相關概念1.單項式單項式的定義：由數字與字母、字母與字母的乘積組成的式子叫單項式.單項式的系數：單項式中的數字因數叫做單項式的系數.注意：圓周率π是常數，單項式中出現π時，應看作系數，而不能當成字母；單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數.注意：單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關.例如：單項式的次數是2＋3＋4=9而不是14.2.多項式多項式的定義：幾個單項式的和叫做多項式.多項式的項：在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項.多項式的次數：一個多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數.注意：1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數；2）一個多項式是幾次、有幾項就叫幾次幾項式，如是二次三項式.升冪排列與降冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來,叫做把多項式按這個字母降冪排列；若按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列．3.整式定義：單項式與多項式統稱為整式.1．（2024·江西·中考真題）觀察a，a2，a3，a4【答案】a【分析】此題考查了單項式規律探究．分別找出系數和次數的規律，據此判斷出第n個式子是多少即可．【詳解】解：∵a，a2，a3，∴第n個單項式的系數是1；∵第1個、第2個、第3個、第4個單項式的次數分別是1、2、3、4，…，∴第n個式子是an∴第100個式子是a100故答案為：a1002．（2024·吉林長春·中考真題）單項式-2a2b【答案】3【分析】此題考查單項式有關概念，根據單項式次數的定義來求解，解題的關鍵是需靈活掌握單項式的系數和次數的定義，單項式中數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數．【詳解】單項式-2a2b故答案為：3．3．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規律，第六幅圖中正方形的個數為（

）A．90 B．91 C．92 D．93【答案】B【分析】本題主要考查了規律型問題，解題的關鍵是仔細觀察圖形并找到有關圖形個數的規律．仔細觀察圖形知道第1個圖形有1個正方形，第2個有5=12+【詳解】第1個圖形有1個正方形，第2個圖形有5=1第3個圖形有14=1……第6個圖形有12故選：B.4．（2024·山東濰坊·中考真題）將連續的正整數排成如圖所示的數表．記ai,j為數表中第i行第j列位置的數字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若a【答案】452【分析】本題考查了規律型：數字的變化類，解題的關鍵是找出規律：當正整數為k2時，若k為奇數，則k2在第k行，第1列，下一個數再下一行，上一個數在第2列；若k為偶數，則k2【詳解】解：由圖中排布可知，當正整數為k2若k為奇數，則k2在第k若k為偶數，則k2在第1行，第k∵am,n而2025=452，在第∴2024在第45行，第2列，∴m=45，n=2，故答案為：45，2．5．（2023·湖北恩施·中考真題）觀察下列兩行數，探究第②行數與第①行數的關系：-2，4，-8，16，-32，64，……0，7，-4，21，-26，71，……②根據你的發現，完成填空：第①行數的第10個數為；取每行數的第2023個數，則這兩個數的和為．【答案】1024-【分析】通過觀察第一行數的規律為(-2)n，第二行數的規律為(-2)【詳解】第一行數的規律為(-2)n，∴第①行數的第10個數為(-2)第二行數的規律為(-2)n∴第①行數的第2023個數為(-2)2023，第②行數的第2023個數為(-2)∴-2故答案為：1024；-2【點睛】本題主要考查數字的變化，找其中的規律，是今年考試中常見的題型.QUOTEQUOTE考點三整式的運算1.同類項定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.判斷同類項的標準：一是所含字母相同；二是相同字母的指數也相同，缺一不可.2.合并同類項定義：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.法則：同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母與字母的指數不變.（簡稱：一相加兩不變）3.去括號與添括號添（去）括號法則：括號外是“+”，添(去)括號不變號；括號外是“-”，添(去)括號都變號.【補充】去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤.4.整式的加減運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.【補充說明】整式加減實際上就是：去括號、合并同類項；5.冪的運算冪的運算法則中底數a的規定：底數a可以是單項式，也可以是多項式.1）同底數冪相乘底數不變，指數相加，即（m，n都是整數）2）冪的乘方底數不變，指數相乘，即（m，n都是整數）注意：冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結論是“底數不變，指數相乘”．這里的“底數不變”是指“冪”的底數“a”不變．例如：，其中，“冪”的底數是“a”，而不是“”，指數相乘是指“3×2”．3）積的乘方積的乘方等于把每一個因式分別乘方，再把所得的積相乘，即（n為整數）4）同底數冪的除法底數不變，指數相減，即（a≠0，m，n都為整數）5）零指數冪任何不等于0的數的0次冪都等于1，即（a≠0）.6.整式的乘除1）單項式乘單項式運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.實質：乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.2）單項式乘多項式運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即.實質：利用乘法的分配律將單項式乘多項式轉化為單項式乘單項式.3）多項式乘多項式運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．即.【易錯易混】①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；

②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號.且結果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．4）單項式除以單項式運算法則：一般地,單項式相除,把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.5）多項式除以單項式運算法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.實質：把多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式.7.乘法公式1）平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.即：特點：等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；等號右邊是一個二項式，這個二項式是左邊兩個二項式中相同項與相反項的平方差.2）平方差公式的推導①用多項式的乘法推導平方差公式②通過面積法推導平方差公式：如圖1所示，左側涂色部分的面積為，右側涂色部分的面積為，所以可以得到.【補充】常見驗證平方差公式的幾何圖形3）完全平方公式完全平方公式：兩個數的和（或差）的平方等于這兩數的平方和加上（或減去）這兩數乘積的兩倍.即.特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號同前方.完全平方式的常見變形（①-⑤基礎必須掌握）：①②③④⑤4）完全平方公式的推導①用多項式的乘法推導完全平方公式：②通過面積法推導完全平方公式：①如圖甲所示是一個邊長為a+b的正方形，面積為，它的面積還可以看成是由兩個小正方形與兩個長方形的和，即，所以可以得到；②如圖乙所示，邊長為a-b的小正方形的面積是，它的面積還可以看成是由大的正方形面積減去兩個小的長方形面積，即，所以可以得到.8.整式的混合運算定義：含有整式的加減、乘除及乘方的多種運算叫做整式的混合運算.運算順序:先乘方，再乘除，后加減，有括號時，先算括號里的，去括號時，先去小括號，再去中括號，最后去大括號.1．（2024·山東泰安·中考真題）下列運算正確的是（

）A．2x2y-3xC．x-y-x-y=x【答案】D【分析】根據合并同類項法則、單項式除以單項式法則、平方差公式、積的乘方進行判斷即可求解．【詳解】解：A、2x2yB、4xC、x-y-x-yD、x2故選：D．【點睛】本題考查合并同類項法則、單項式除以單項式法則、平方差公式、積的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．2．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數，且滿足2a+2a+???+2aA．a+3=8b B．3a=8b C．a+3=b8 【答案】A【分析】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方的運算的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵．由題意得：8×2【詳解】解：由題意得：8×2∴23∴3+a=8b，故選：A．3．（2024·四川德陽·中考真題）若一個多項式加上y2+3xy-4，結果是3xy+2y【答案】y【分析】本題考查整式的加減運算，根據題意“一個多項式加上y2+3xy-4，結果是3xy+2y【詳解】解：依題意這個多項式為3xy+2=3xy+2=y故答案為：y4．（2023·江蘇南京·中考真題）計算23×4【答案】1【分析】本題考查了冪的乘方運算的逆用及積的乘方運算的逆用，根據冪的乘方運算的逆用及積的乘方運算的逆用進行運算，即可求得．【詳解】解：2==故答案為：1165．（2024·甘肅·中考真題）先化簡，再求值：2a+b2-2a+b2a-b÷2b【答案】2a+b，3【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據平方差公式和完全平方公式去小括號，然后合并同類項，再根據多項式除以單項式的計算法則化簡，最后代值計算即可．【詳解】解：2a+b====2a+b，當a=2，b=-1時，原式=2×2+-1考點四因式分解1.因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.【補充說明】1）因式分解分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可.2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算，且因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．2.公因式定義：多項式的各項中都含有相同的因式，我們把這個相同的因式就叫做公因式.注意：公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式.3.提公因式法分解因式定義：如果多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外，將多項式寫成公因式與另一個多項式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫提公因式法，即：.實質：乘法分配律的逆用.關鍵：準確找出多項式各項的公因式.4.公因式法分解因式定義：運用平方差公式、完全平方公式將一個多項式分解因式的方法叫作公式法.逆用平方差法分解因式：逆用完全平方公式分解因式：5.因式分解的一般步驟：

1．（2023·四川攀枝花·中考真題）以下因式分解正確的是（

）A．ax2-a=aC．x2+2x-3=xx+2【答案】B【分析】利用平方差公式，x2-1還可分解因式；利用十字相乘法，【詳解】解：axm3x2故選：B．【點睛】本題考查因式分解，靈活掌握因式分解的方法是本題的關鍵．2．（2023·河北·中考真題）若k為任意整數，則(2k+3)2-4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式進行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數或式．【詳解】解：(2k+3)=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3)，3(4k+3)能被3整除，∴(2k+3)2故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式的應用，平方差公式為a23．（2024·山東淄博·中考真題）若多項式4x2-mxy+9y2【答案】±12【分析】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出m的值．【詳解】解：∵多項式4x∴4x∴m=±2×2×3故答案為：±12．4．（2024·內蒙古通遼·中考真題）因式分解3ax2【答案】3a【分析】先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：原式=3ax故答案為：3ax-y【點睛】本題考查因式分解．解題的關鍵是掌握因式分解的方法．20．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn=2，m-n=1，則代數式m2n-mn【答案】2【分析】本題考查代數式求值．先將代數式進行因式分解，然后將條件代入即可求值．【詳解】解：∵mn=2，m-n=1，∴m2故答案為：2．5．（2023·四川內江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c-10|+b-8=12a-36，則【答案】45/【分析】由a2+|c-10|+b-8=12a-36，可得a-62【詳解】解：∵a2∴a2∴a-62∴a-6=0，c-10=0，b-8=0，解得：a=6,b=8,c=10，∴a2∴∠C=90°，∴sinB=故答案為：45【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術平方根，絕對值，偶次方的非負性，勾股定理的逆定理的應用，銳角的正弦的含義，證明∠C=90°是解本題的關鍵．4題型精研·考命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式.代數式的書寫要求：1）數字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；數與數相乘必須寫乘號.2）字母與數字相乘時，通常把數字寫在字母的前面；如果字母前面的數字是1或-1時，通常省略不寫.3）除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數.4）若代數式的最后結果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位.1．（2022·湖南長沙·中考真題）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（

）A．8x元 B．10(100-x)元 C．8(100-x)元 D．(100-8x)元【答案】C【分析】根據題意列求得購買乙種讀本100-x本，根據單價乘以數量即可求解．【詳解】解：設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本100-x本，乙種讀本的單價為8元/本，則則購買乙種讀本的費用為8(100-x)元故選C【點睛】本題考查了列代數式，理解題意是解題的關鍵．2．（2023·江蘇·中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是（用含a的代數式表示）．【答案】π【詳解】根據圓柱的體積=圓柱的底面積×圓柱的高，可得V=π故答案為：πa【點睛】本題主要考查代數式和整式的乘法運算，牢記整式乘法的運算性質是解題的關鍵．3．（2022·河北·中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數是甲盒所剩棋子數的2倍，則a＝；（2）設甲盒中都是黑子，共m(m>2)個，乙盒中都是白子，共2m個，嘉嘉從甲盒拿出a(1<a<m)個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數比甲盒所剩棋子數多個；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個棋子放到甲盒，其中含有x(0<x<a)個白子，此時乙盒中有y個黑子，則yx的值為【答案】4m+2a1【分析】①用列表的方式，分別寫出甲乙變化前后的數量，最后按兩倍關系列方程，求解，即可②用列表的方式，分別寫出甲乙每次變化后的數量，按要求計算寫出代數式，化簡，即可③用列表的方式，分別寫出甲乙每次變化后的數量，算出移動的a個棋子中有x個白子，(a-x)個黑子，再根據要求算出y，即可【詳解】答題空1：原甲：10原乙：8現甲：10-a現乙：8+a依題意：8+a=2×(10-a)解得：a=4故答案為：4答題空2：原甲：m原乙：2m現甲1：m-a現乙1：2m+a第一次變化后，乙比甲多：2m+a-(m-a)=2m+a-m+a=m+2a故答案為：m+2a答題空3：原甲：m黑原乙：2m白現甲1：m黑-a黑現乙1：2m白+a黑現甲2：m黑-a黑+a混合現乙2：2m白+a黑-a混合第二次變化，變化的a個棋子中有x個白子，(a-x)個黑子則：y=a-(a-x)=a-a+x=xy故答案為：1【點睛】本題考查代數式的應用；注意用表格梳理每次變化情況是簡單有效的方法4．（2023·山東臨沂·中考真題）大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金，當她工作滿20天后因故結束實習，結算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金．(1)這臺M型平板電腦價值多少元？(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現金，她應獲得多少報酬（用含m的代數式表示）？【答案】(1)這臺M型平板電腦的價值為2100元(2)她應獲得120m元的報酬【分析】（1）設這臺M型平板電腦的價值為x元，根據題意，列出方程進行求解即可；（2）根據題意，列出代數式即可．【詳解】（1）解：設這臺M型平板電腦的價值為x元，由題意，得：x+150030解得：x=2100；∴這臺M型平板電腦的價值為2100元；（2）解：由題意，得：m?2100+1500答：她應獲得120m元的報酬．【點睛】本題考查一元一次方程的應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．題型02求代數式的值.求代數式的值的步驟：1）代入：將指定的數值代替代數式里的字母，代入數值時，必須將相應的字母換成數值，其他的運算符號、原來的數字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；2）計算：按照代數式指定的運算關系計算出結果，運算時，要分清運算種類及運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的.1．（2024·四川·中考真題）已知x2+2x=3，那么2x【答案】1【分析】把所求代數式進行適當變形，然后整體代入求解即可．【詳解】解：∵x2∴2=2(=2×3-5=1故答案為：1．【點睛】本題考查的是求代數式的值，關鍵是利用整體思想把x22．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn=2，m-n=1，則代數式m2n-mn【答案】2【分析】本題考查代數式求值．先將代數式進行因式分解，然后將條件代入即可求值．【詳解】解：∵mn=2，m-n=1，∴m2故答案為：2．3．（2024·山東濟寧·中考真題）已知a2-2b+1=0，則4ba【答案】2【分析】本題考查了代數式的求值，解題的關鍵是熟練掌握整體思想的運用．根據對已知條件進行變形得到a2【詳解】解：∵a∴∴4b故答案為：24．（2023·湖北隨州·中考真題）已知關于x的一元二次方程2x2-3x=-1的兩個實數根分別為x1和x2【答案】1【分析】本題主要考查根與系數的關系，x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根時，【詳解】解：由2x2-3x=-1∵關于x的一元二次方程2x2-3x=-1的兩個實數根分別為x∴x1+x∴x1故答案為：1．題型03整式的加減1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計算：2a(a-1)-2a2=A．a B．-a C．2a D．-2a【答案】D【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可．【詳解】解：2a(a-1)-2=2=-2a故選：D．2．（2024·四川廣元·中考真題）如果單項式-x2my3與單項式2xA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題主要考查同類項和確定點的坐標，根據同類項的性質求出m,n的值，再確定點m,n的位置即可【詳解】解：∵單項式-x2my∴單項式-x2my∴2m=4,2-n=3，解得，m=2,n=-1，∴點m,n在第四象限，故選：D3．（2023·湖北宜昌·中考真題）在日歷上，某些數滿足一定的規律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為a，則下列敘述中正確的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的數字為a+1 B．左下角的數字為a+7C．右下角的數字為a+8 D．方框中4個位置的數相加，結果是4的倍數【答案】D【分析】根據日歷中的數字規律：同一行中后面的數字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三個數，表達規律即可．【詳解】解：日歷中的數字規律：同一行中后面的數字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，任意選擇其中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為a，則有：左上角的數字為a-1，故選項A錯誤，不符合題意；左下角的數字為a+6，故選項B錯誤，不符合題意；右下角的數字為a+7，故選項C錯誤，不符合題意；把方框中4個位置的數相加，即：a-1+a+a+6+a+7=4a+12=4a+3故選：D．【點睛】本題考查整式的混合運算和列代數式，解題的關鍵是掌握整式相關運算的法則．4．（2023·河北·中考真題）現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示(a>1)．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為S1(1)請用含a的式子分別表示S1,S2；當(2)比較S1與S【答案】(1)S1=a2+3a+2，(2)S1【分析】（1）根據題意求出三種矩形卡片的面積，從而得到S1,S2，S1+S2（2）利用（1）的結果，使用作差比較法比較即可．【詳解】（1）解：依題意得，三種矩形卡片的面積分別為：S甲∴S1=S∴S1∴當a=2時，S1（2）S1∵S1=∴S∵a>1，∴S1∴S1【點睛】本題考查列代數式，整式的加減，完全平方公式等知識，會根據題意列式和掌握做差比較法是解題的關鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE題型04冪的混合運算計算時可能用到以下公式：1)2）3)4)5)【注意】同底數冪的運算法則只適用于同底數冪的乘除，當底數不同時要看能否化成同底數，若不能則不能用同底數冪的運算法則進行計算.1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）下列運算中，結果正確的是（

）A．m3?m3=m6 B．【答案】A【分析】本題考查合并同類項、同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數冪的除法，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵．根據合并同類項法則；同底數冪相乘，底數不變，指數相加；冪的乘方，底數不變，指數相乘；同底數冪相除，底數不變，指數相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、m3B、m3C、(mD、m6故選：A．2．（2024·山西·中考真題）下列各式中，運算結果為6m4的是（

A．3m+3m3 B．-3m22 【答案】C【分析】本題考查了合并同類項，積的乘方，單項式除以單項式，單項式乘以單項式，根據合并同類項，積的乘方，單項式除以單項式，單項式乘以單項式法則逐項排除即可，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【詳解】A、3m與3mB、-3mC、12mD、-2m故選：C．3．（2024·上海·中考真題）計算：4x2【答案】64【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關運算法則是解題關鍵．先將因式分別乘方，再結合冪的乘方計算即可．【詳解】解：4x故答案為：64x4．（2024·天津·中考真題）計算x8÷x【答案】x【分析】本題考查同底數冪的除法，掌握同底數冪的除法，底數不變，指數相減是解題的關鍵．【詳解】解：x8故答案為：x2QUOTE題型05整式的乘除整式的乘除法單項式×單項式例：系數相乘，字母相乘單項式×多項式例：利用乘法分配律，化為單項式×單項式多項式×多項式例：1.要按一定順序進行,注意做到不重不漏,確定積中每項的符號時,按“同號得正,異號得負”的法則確定.2.多項式與多項式相乘,仍得多項式，有同類項時要合并同類項.單項式÷單項式例：運算順序：首先將系數相除，然后將同底數冪相除，最后將被除式中單獨有的字母連同它的指數一起作為商的一個因式，系數相除時要注意先確定商的符號.多項式÷單項式例：1.多項式除以單項式所得商的項數與多項式的項數一致,在計算時不要漏項；2.計算時，多項式的各項要包括它前面的符號,注意符號的變化.1．（2024·西藏·中考真題）下列運算正確的是（

）A．x-2x=x B．x(x+3)=C．-2x23【答案】C【分析】根據合并同類項、單項式乘以多項式、冪的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式的運算法則逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：A、x-2x=-x，故原選項計算錯誤，不符合題意；B、x(x+3)=xC、-2xD、3x故選：C．【點睛】本題考查了合并同類項、單項式乘以多項式、冪的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．2．（2024·四川德陽·中考真題）下列計算正確的是（

）A．a2?aC．aa+1=a【答案】B【分析】本題考查整式的運算，根據同底數冪的乘法，去括號，單項式乘以多項式，完全平方公式，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、a2B、-a-bC、aa+1D、a+b2故選B．3．（2023·山東青島·中考真題）計算：8x3【答案】2xy【分析】利用積的乘方及單項式除以單項式的法則進行計算即可．【詳解】解：原式=8=2xy，故答案為：2xy．【點睛】本題考查整式的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．4．（2024·重慶·中考真題）計算：(1)a3-a(2)1+2【答案】(1)4a-2(2)x【分析】本題主要考查了整式的混合計算，分式的混合計算∶（1）先根據單項式乘以多項式的計算法則和多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項即可得到答案；（2）先把小括號內的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡即可得到答案．【詳解】（1）解：a=3a-=4a-2；（2）解：1+===x題型06乘法公式的應用1．（2023·四川攀枝花·中考真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數恒等式：①a+b2=a2+2ab+b③(a+b)(a-b)=a2-b2

其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】觀察各個圖形及相應的代數恒等式即可得到答案．【詳解】解：圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有①②③④，故選：D．【點睛】本題考查用圖形面積解釋代數恒等式，解題的關鍵是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積．2．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）已知2a2-a-3=0，則(2a+3)(2a-3)+A．6 B．-5 C．-3 D．4【答案】D【分析】2a2-a-3=0變形為2a2【詳解】解：由2a2-a-3=0∴(2a+3)(2a-3)+=4=8=4=4×3-8=4，故選：D．【點睛】本題主要考查了代數式求值，解題的關鍵是熟練掌握整式混合運算法則，將(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2變形為3．（2024·四川樂山·中考真題）已知a-b=3，ab=10，則a2+【答案】29【分析】本題考查了完全平方公式的變形．熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關鍵．根據a2【詳解】解：由題意知，a2故答案為：29．24．（2023·浙江·中考真題）如圖，分別以a,b,m,n為邊長作正方形，已知m>n且滿足am-bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，則圖1陰影部分的面積是；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．【答案】255【分析】（1）根據正方形的面積公式進行計算即可求解；（2）根據題意，解方程組得出m=2a+4b3n=4a-2b3，根據題意得出m+n=【詳解】解：（1）a=3,b=4，圖1陰影部分的面積是a2故答案為：25．（2）∵圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，∴a2+b2∴m+n=10∵am-bn=2，an+bm=4．解得：m=∵a2∴m=2a+4b∴m+n=6a+2b∴2a+2聯立①②解得：a=30+91020∴2a+4b=30+3圖2陰影部分的面積是1mn===故答案為：53【點睛】本題考查了整式的乘方與圖形的面積，正方形的性質，勾股定理，二元一次方程組，解一元二次方程，正確的計算是解題的關鍵．4．（2023·四川成都·中考真題）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且m-n>1，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，16=52-32，16就是一個智慧優數，可以利用m【答案】1557【分析】根據新定義，列舉出前幾個智慧優數，找到規律，進而即可求解．【詳解】解：依題意，當m=3，n=1，則第1個一個智慧優數為3當m=4，n=2，則第2個智慧優