不定積分競賽試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.下列函數的原函數是（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=2x\)

C.\(f(x)=x^3\)

D.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

2.不定積分\(\intx^4dx\)的結果是（）

A.\(\frac{x^5}{5}+C\)

B.\(\frac{x^5}{4}+C\)

C.\(\frac{x^5}{3}+C\)

D.\(\frac{x^5}{2}+C\)

3.若\(\intf(x)dx=x^2+3x+C\)，則\(f(x)\)是（）

A.\(2x+3\)

B.\(2x^2+3x\)

C.\(x^2+3\)

D.\(x^2+2x+3\)

4.\(\int\sinx\cosxdx\)的結果是（）

A.\(\frac{1}{2}\sin^2x+C\)

B.\(-\frac{1}{2}\cos^2x+C\)

C.\(\frac{1}{2}\cos^2x+C\)

D.\(-\frac{1}{2}\sin^2x+C\)

5.\(\int\frac{1}{x^2}dx\)的結果是（）

A.\(-\frac{1}{x}+C\)

B.\(\frac{1}{x}+C\)

C.\(-\ln|x|+C\)

D.\(\ln|x|+C\)

二、填空題（每題5分，共25分）

1.\(\intx^3dx=\)

2.\(\int\sqrt{x}dx=\)

3.\(\inte^xdx=\)

4.\(\int\lnxdx=\)

5.\(\int\cos^2xdx=\)

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求解不定積分\(\int(2x^3-3x^2+4)dx\)。

2.求解不定積分\(\int\frac{1}{x^2-4}dx\)。

3.求解不定積分\(\int\sinx\cosxdx\)。

四、計算題（每題10分，共30分）

1.計算不定積分\(\intx^5e^xdx\)。

2.計算不定積分\(\int\frac{x}{x^2+1}dx\)。

3.計算不定積分\(\int\sqrt{x^2+1}dx\)。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明\(\int\frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\)。

2.證明\(\inte^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C\)，其中\(a\neq0\)。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.已知函數\(f(x)=e^{2x}-x^2\)，求\(f(x)\)的不定積分\(F(x)\)。

2.已知\(\intf(x)dx=x^2+3x+C\)，且\(f(x)\)在\(x=1\)處的值為2，求\(f(x)\)的表達式。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.D.\(f(x)=\frac{1}{x}\)的原函數是\(\ln|x|+C\)。

2.A.\(\intx^4dx=\frac{x^5}{5}+C\)。

3.C.\(f(x)=x^2+3\)的導數是\(2x\)，所以\(\intf(x)dx=x^2+3x+C\)。

4.D.\(\int\sinx\cosxdx=\frac{1}{2}\sin^2x+C\)。

5.A.\(\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C\)。

二、填空題（每題5分，共25分）

1.\(\intx^3dx=\frac{x^4}{4}+C\)。

2.\(\int\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C\)。

3.\(\inte^xdx=e^x+C\)。

4.\(\int\lnxdx=x\lnx-x+C\)。

5.\(\int\cos^2xdx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin2x+C\)。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.\(\int(2x^3-3x^2+4)dx=\frac{2}{4}x^4-\frac{3}{3}x^3+4x+C\)。

2.\(\int\frac{1}{x^2-4}dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C\)。

3.\(\int\sinx\cosxdx=\frac{1}{2}\sin^2x+C\)。

四、計算題（每題10分，共30分）

1.\(\intx^5e^xdx\)可以通過分部積分法求解。設\(u=x^5\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=5x^4dx\)，\(v=e^x\)。應用分部積分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，得到\(\intx^5e^xdx=x^5e^x-\int5x^4e^xdx\)。對\(\int5x^4e^xdx\)再次應用分部積分法，直到能夠求出不定積分。

2.\(\int\frac{x}{x^2+1}dx\)可以通過代換法求解。設\(u=x^2+1\)，則\(du=2xdx\)，或者\(xdx=\frac{1}{2}du\)。代換后得到\(\int\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|x^2+1|+C\)。

3.\(\int\sqrt{x^2+1}dx\)可以通過三角代換法求解。設\(x=\tan\theta\)，則\(dx=\sec^2\thetad\theta\)，并且\(\sqrt{x^2+1}=\sec\theta\)。代換后得到\(\int\sqrt{x^2+1}dx=\int\sec^3\thetad\theta\)，這是一個已知的積分公式，結果為\(\frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta+\frac{1}{2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C\)。再通過代換\(x\)和\(\theta\)的關系，得到最終答案。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.要證明\(\int\frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\)，可以通過部分分式分解法將\(\frac{1}{x^2-1}\)分解為\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\)，然后分別對每一項進行積分，最終得到\(\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C\)，簡化后即為所證明的結果。

2.要證明\(\inte^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C\)，可以直接對\(e^{ax}\)進行積分，因為\(e^{ax}\)的導數是\(ae^{ax}\)，所以\(\inte^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C\)。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.已知\(f(x)=e^{2x}-x^2\)，求\(f(x)\)的不定積分\(F(x)\)，即\(F(x)=\intf(x)dx\)。通過分部積分法求解，設\(u=e^{2x}\)，\(dv=-2xdx\)，則\(du=2e^{2x}dx\)，\(v=-x^2\)。應用分部積分公式得到\(F(x)=-x^2e^{2x}-\int-2x\cdot2e^{2x}dx\)。再次應用分部積分法對\(\int-4xe^{2x}dx\)進行積分，最終得到\(F(x)=-x^2e^{2x}+2xe^{2x}-2e^{2x}+C\