第01講導數的概念及運算(分層精練）A夯實基礎B能力提升C新定義題A夯實基礎一、單選題1．（23-24高二下·江蘇·階段練習）若某質點的運動方程是（單位：），則在時的瞬時速度為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用物理上“質點在時的瞬時速度即質點的位移的導函數在時的函數值”即可求得.【詳解】由求導得，則在時的瞬時速度為.故選：B.2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習）設函數在處存在導數為2，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用導數的定義即可得解.【詳解】由依題意，知，則.故選：C.3．（23-24高二下·重慶·階段練習）下列函數求導正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據基本初等函數的導數公式判斷即可.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：D4．（23-24高二上·山西·期末）若函數，則（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求導，再令即可得解.【詳解】，所以.故選：A.5．（2024高二下·全國·專題練習）函數的導函數，滿足關系式，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導后，代入，求出答案.【詳解】由進行求導得：，當時，可得：，解得：.故選：A.6．（23-24高二下·湖南岳陽·開學考試）設函數的圖象與軸相交于點，則該曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出點的坐標，再利用導數的幾何意義求出切線方程.【詳解】函數，由，得，則點，由，求導得，則，于是，所以該曲線在點處的切線方程為.故選：B7．（21-22高二下·北京房山·期中）函數的圖象如圖所示，則與的大小關系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由導數的幾何意義和函數的圖象可得答案.【詳解】與分別表示在和處切線的斜率，由圖象得，且在處切線的斜率比處切線斜率小，所以；故選：A8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函數，則的圖象在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出導函數后計算出切線斜率，然后寫出切線方程．【詳解】由題意知，所以，又，所以的圖象在處的切線方程為，即.故選：A.二、多選題9．（23-24高二下·湖北·階段練習）下列命題正確的有（

）A．已知函數在上可導，若，則B．C．已知函數，若，則D．設函數的導函數為，且，則【答案】CD【分析】根據導數的定義可判斷A的正誤，根據導數的四則運算可判斷BD的正誤，根據復合函數的導數的運算規則可判斷C的正誤.【詳解】對于A，，故A錯誤.對于B，，故B錯誤.對于C，，若，則即，故C正確.對于D，，故，故，故D正確.故選：CD.10．（2024高二下·全國·專題練習）各地房產部門為盡快穩定房價，提出多種房產供應方案，其中之一就是在規定的時間T內完成房產供應量任務．已知房產供應量Q與時間t的函數關系如圖所示，則在以下四種房產供應方案中，在時間內供應效率（單位時間的供應量）不逐步提高的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【分析】根據變化率的知識，結合曲線在某點處的導數的幾何意義可得結果.【詳解】當單位時間的供應量逐步提高時，供應量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會越來越大，故曲線是上升的，且越來越陡峭，所以函數的圖象應一直是下凹的，則選項B滿足條件，所以在時間內供應效率（單位時間的供應量）不逐步提高的有ACD選項．故選：ACD．三、填空題11．（23-24高三下·天津·開學考試）函數的圖象在處切線的斜率為.【答案】/【分析】首先求函數的導數，再根據導數的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意可知，，，根據導數的幾何意義可知，函數的圖象在處切線的斜率為.故答案為：12．（23-24高三下·廣西南寧·開學考試）已知，則曲線在點處的切線方程為.【答案】【分析】根據導數的運算性質，結合導數的幾何意義進行求解即可.【詳解】，所以曲線在點處的切線方程為，故答案為：四、解答題13．（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知曲線，設點坐標為，(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線過點的切線方程．(3)若曲線在點處的切線與曲線相切，求點的坐標【答案】(1)(2)或(3)或.【分析】（1）求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，再由點斜式計算可得；（2）設切點為，利用導數的幾何意義求出切線方程，再將點代入切線方程中，求出，即可求出切線方程；（3）設，表示出曲線在點處的切線，聯立直線與，根據求出，即可求出點的坐標.【詳解】（1）由，可得，所以，則曲線在點處的切線方程為，即；（2）設切點為，則，所以切線方程為，即，又切線過點，所以，即，即，即，即，即，解得或，則切線方程為或，所以過點的切線方程為或.（3）設，則，，所以曲線在點處的切線為，又曲線在點處的切線與曲線相切，由，可得，則，解得或，則或，所以或.14．（23-24高二上·湖南岳陽·期末）已知點和點是曲線上的兩點，且點的橫坐標是，點的縱坐標是，求：(1)割線的斜率；(2)在點處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出點、的坐標，利用斜率公式可求得割線的斜率；（2）求出切線的斜率，再利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：當時，，即點，令，可得，解得，即點，因此，割線的斜率為.（2）解：對函數求導得，所以，曲線在點處切線的斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，即.15．（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）已知函數與函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線與曲線在公共點處的公切線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，然后根據導數的幾何意義結合條件即得；（2）設曲線與曲線的公切點為，然后根據導數的幾何意義可得切點，進而即得.【詳解】（1），，.在點處的切線方程為：；（2）設曲線與曲線的公切點為，，，令，即，或（舍），，∴所求公切線方程：，即.B能力提升1．（2024·河北·一模）函數的導數仍是x的函數，通常把導函數的導數叫做函數的二階導數，記作，類似地，二階導數的導數叫做三階導數，三階導數的導數叫做四階導數……．一般地，階導數的導數叫做n階導數，函數的n階導數記為，例如的n階導數．若，則（

）A． B．50 C．49 D．【答案】A【分析】根據條件，列舉的前幾項，根據規律，寫出，代入，即可求解.【詳解】由，，，，依此類推，，所以.故選：A2．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知函數在點處的切線與曲線只有一個公共點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出切線方程，再對分和討論即可.【詳解】由得，所以切線方程是，①若，則曲線為，顯然切線與該曲線只有一個公共點，②若，則，即，由，即，得或，綜上:或或.故選：B.3．（23-24高三上·山東聊城·期末）最優化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達到事先規定的最優目標的方案，這類問題稱之為最優化問題.為了解決實際生活中的最優化問題，我們常常需要在數學模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關曲線與直線上點的距離的最值問題，請你利用所學知識來解答：若點是曲線上任意一點，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導數求得平行于直線與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由函數，可得，令，可得，因為，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點坐標為，由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.故選：B4．（2024·廣東·一模）設點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，得，代入曲線，所以的最小值即為點到直線的距離.故選：B.5．（23-24高三上·河北·階段練習）已知，，若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】設出切點坐標，利用導數求得切線方程的斜率，即為直線方程得，再利用基本不等式即可.【詳解】設切點為，由題得，所以切線的斜率，且所以切線方程為，即，與直線相同，所以，整理得，所以，當且僅當，時，取得最小值9．故選：CC新定義題1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數學工具——洛必達法則，法則中有結論：若函數，的導函數分別為，，且，則.②設，k是大于1的正整數，若函數滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數為區間上的k階無窮遞降函數.結合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區間上的2階無窮遞降函數；(2)計算：；(3)證明：，.【答案】(1)不是區間上的2階無窮遞降函數；(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據函數為區間上的k階無窮遞降函數的定義即可判斷；（2）通過構造，再結合即可得到結果；（3）通過換元令令，則原不等式