2024-2025學年北京市東城區八年級（上）期末數學試卷

一，選擇題：本題共10小題,每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.內角和為540。的多邊形是（）

2.如圖,為估計池塘岸邊A,B兩點的距離，小方同學在池塘的一側選取一點O,測得。4=14m,OB=9m,則

點間的距離不可能是（）

A.5mB.10mC.15mD.20m

3.下列各式計算正確的是（）

A.a3-a2—a6B.a6a2—a4C.（a3）2=a5D.（2a2b尸=2a6b3

4.在一些科學研究或工程實驗中,對測量結果的誤差分析是非常重要的.例如,某個測量值的誤差范圍是

±0.00056,用科學記數法表示這個誤差值可以更直觀地看出誤差的大小和相對精度.0.00056用科學記數法

表示應為（）

A.0.56xIO-B.5.6x10-4C.5.6x10-5D.5.6x104

5.下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）

6.下列分式變形正確的是（）

?2b+a2+a

bD

C0.2y+l_2y+lca2—4a+4

D.----------=a—2o

'0.5%5xa—2

7.將一副三角板按如圖所示的方式放置,圖中NC4F的大小等于（）

8.下面是“作一個角使其等于乙40B”的尺規作圖方法.

（1）如圖，以點。為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交于點

C,D.

（2）作射線。'4,以點。'為圓心,0C長為半徑畫弧,交。'4于點C',以

點C'為圓心,C。長為半徑畫弧,兩弧交于點0'.

（3）過點。作射線。'B',貝此AO'B'=/.A0B.

上述方法通過判定△C'O'D'^LC。。得到乙4'0'B'=^AOB,其中判定4C'O'D'^AC。。的依據是（）

A.三邊分別相等的兩個三角形全等

B,兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

9.牛奶和雞蛋中含有豐富的蛋白質.已知機克牛奶中含。克蛋白質，比〃克雞蛋中含的蛋白質少b克,則m

克雞蛋中蛋白質的含量是（）

A-(a-b)m(a+b)C)(a—b)Dn(a+b)

D.------------

?nn?m?m

10.如圖,AB=AC,BE1AC,CF1AB,垂足分別為E,F,CF與BE交于點D,有

下歹!J結論：?AABE義AACF,@ABDFACDE,③點。在/B4c的平分線

上，④ZB=DF+DB,其中所有正確結論的序號是（）

A.①②

B

B.②③

C.①②③

D.①②③④

二，填空題：本題共8小題,每小題2分，共16分。

11.港珠澳大橋全長約55公里,集橋,島，隧于一體,是連接香港,珠海和澳門的超大型跨海通道,是迄今世界

最長的跨海大橋.下圖是港珠澳大橋中的斜拉索橋,索塔,斜拉索,橋面構成了三角形,這樣使其更穩定,其中

運用的數學原理是.

12.若分式二有意義,則無的取值范圍是____.

X—5

13.因式分解：a3-4ab2=_.

14.計算：?尸+（兀一門）。=.

15.如圖，點E,I在BC上,AB=CD,AF=DE,AF,DE相交于點G,若添加一個

條件,可使得△ABF咨△DCE,則添加的條件可以是.

16.如圖，在四邊形ABC。中，NB=90°,AD=BC=4,AB=6,若AC平分

乙BAD,則四邊形ABCD的面積為.

17.如圖，等腰△ABC中AB=AC,AD1BC,EF垂直平分AB,交A8于點

E,交8c于點F,點、G是線段EF上的一動點,若小ABC的面積是

6cm2,BC=6cm,則△4DG的周長最小值是一

BD

18.如圖，有正方形A,B,現將B放在A的內部得圖1,將4,8并列放置后構造新的正方形得圖2,若圖1,圖2

中陰影部分的面積分別為4,30.下列說法正確的有.①正方形A和2的面積和是34,②圖2中新的正

方形的面積是64,③正方形A和8的面積差是16,④正方形A的邊長是5.

A

圖1

圖2

三，解答題：本題共10小題，共54分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題5分)

計算：a4?(2a)2+(a3)3—6a9+2a3.

20.(本小題5分)

解分式方程：士=1+七.

x￡—2x2—x

21.(本小題5分)

已知：37ml=5m2-2,求代數式(m+n)(m—n)+(3m—n)?的值.

22.(本小題5分)

先化簡(答+久+1)+考,再選一個合適的數作為x值代入,求出代數式的值.

23.(本小題5分)

如圖，在所給正方形網格圖中完成下列各題,△48C的三個頂點都在格點上(用無刻度的直尺畫圖).

(1)畫出AABC的中線AD

(2)作出△ABC關于直線I對稱的△4/16.

(3)在直線/上找到一點。，使QB+QC的值最小.

24.（本小題4分）

如圖，在△ABC和△ADE中，4B=AD,AC=AE,Zl=22.求證：BC=DE.

25.（本小題5分）

列分式方程解應用題:

2024年7月27日，北京中軸線申遺成功.中軸線南起永定門，北至鐘鼓樓.某班級兩個小組分別在永定門和鐘

鼓樓參觀之后,他們同時出發到故宮集合.第一小組從永定門騎行至故宮,行程約6.軌犯第二小組從鐘鼓樓

步行至故宮,行程約3.7/ca.已知騎行的速度是步行速度的2倍,第一小組比第二小組提前6分鐘到達,求第二

小組步行的速度是每小時多少千米.

申遺成W1

A,—IT

26.(本小題6分)

已知租=—[=(九是正整數),m叫作n的平方差倒數.例如2=T■⑦白叫作3的平方差倒數.

(n+2)-n2165-3216

(1)4的平方差倒數是.

(2)m=二一是n的平方差倒數,求m的值.

(3)已知6=--------2-^------------是某一正整數的平方差倒數(a,6是正整數),求a+6的最小值.

(a—2b)—3(b—2ab+12)

27.(本小題7分)

在RtAAB。中,N2B。=90°,^AOB=60°,C為直線OB上一點(點C不與點。，點B重合)，點C關于點B的

對稱點為點D,連接AC,在直線OA上取一點E,使CE=AC,直線CE交直線AD于點F.

圖1圖2

(1)當點C在如圖1所在位置時,請補全圖形.

①若NOW=a,求乙4EC的度數(用含a的式子表示).

②寫出此時OA,0C,之間的數量關系,并證明.

(2)當點C不在如圖1所在位置時,請你確定一個滿足題意的點C的位置,在圖2中補全圖形,直接寫出一個

OA,OC,OE之間的數量關系.(要求：和(1)中OC,OE之間的數量關系不同)

28.(本小題7分)

在平面直角坐標系尤Oy中，過點P(zn,0)作直線11式軸，圖形W關于直線I的對稱圖形為勿'，圖形上任一點

到x軸,y軸的距離的最大值是4稱d是圖形W關于直線/的m倍鏡像“接收距離”.

已知點4(3,2).

B(5,2).(1)①線段AB關于直線/的1倍鏡像“接收距離”是.

②線段AB關于直線/的相倍鏡像“接收距離”是2,根的取值范圍是.

(2)點C(-3,3),△ABC關于直線/的加倍鏡像“接收距離”的最小值是.

(3)點。(-4,-3),E(-2,-3),線段關于直線/的m倍鏡像“接收距離”小于線段AB關于直線/的機倍

鏡像“接收距離”，求m的取值范圍(直接寫出結果即可).

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：設多邊形的邊數是“，則

(n-2)?180°=540°.

解得71=5.

故選：C.

根據多邊形的內角和公式(n-2)-180。列式進行計算即可求解.

本題主要考查了多邊形的內角和公式,熟記公式是解題的關鍵.

2.【答案】A

【解析】解：由三角形三邊關系定理得：14一9<4B<14+9.

.--5<AB<23.

.?.48間的距離不可能是5nL

故選：A.

三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊,三角形的兩邊差小于第三邊，由此得到5<AB<23,即

可得到答案.

本題考查三角形三邊關系,關鍵是由三角形三邊關系定理得到5<AB<23.

3.【答案】B

【解析】解：A,a3-a2a5,故此選項不符合題意.

B,a64-a2=a4,故此選項符合題意.

C,(a3)2=a6,故此選項不符合題意.

D,(2a2b尸=8a6b3,故此選項不符合題意.

故選：B.

根據同底數幕相乘,底數不變指數相加，同底數塞相除,底數不變指數相減,幕的乘方,底數不變指數相乘,積

的乘方,等于把積中的每一個因式分別乘方,再把所得的幕相乘,對各選項分析判斷后利用排除法求解.

本題考查了同底數幕的乘法,哥的乘方與積的乘方，同底數幕的除法,熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：0.00056=5.6XKF，.

故選：B.

科學記數法的表示形式為ax10"的形式,其中1<|a|<10,〃為整數.確定”的值時,要看把原數變成a

時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值N10時，〃是正數,當原數的

絕對值<1時，〃是負數.

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10兀的形式,其中1<|a|<10,n為整數,表

示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

5.【答案】A

【解析】解：8,C,。選項中的圖形不是軸對稱圖形，故BCD不符合題意.

A選項中的圖形是軸對稱圖形,故C符合題意.

故選：A.

如果一個平面圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形，由此即可

判斷.

本題考查軸對稱圖形,關鍵是掌握軸對稱圖形的定義.

6.【答案】D

【解析】解：M=(a+塊：叫=a+6,則4不符合題意.

a—ba—b

號無法進行約分,則B不符合題意.

嚓±1=竿2,則c不符合題意.

0.5%5%

次之+4=攵孝=a—2,則D符合題意.

a—2a—2

故選：D.

利用分式的基本性質逐項判斷即可.

本題考查分式的基本性質，熟練掌握其性質是解題的關鍵.

7.【答案】C

【解析】解：/-DAC=乙DFE+乙C=60°+45°=105°.

.-./.CAF=180°-^DAC=75".

故選：C.

利用三角形內角和定理和三角形的外角的性質計算即可.

本題考查了三角形的內角和，熟練掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵.

8.【答案】A

【解析】解：由作圖過程可得,OC=OD=O'C'=O'D',CD'=CD.

C'O'D'0ACOD(SSS).

.??判定^C'O'D'^hC。。的依據是三邊分別相等的兩個三角形全等.

故選：A.

由作圖過程可得,OC=OD=O'C'=O'D',CD'=CD,結合全等三角形的判定可得答案.

本題考查作圖-復雜作圖,全等三角形的判定,熟練掌握全等三角形的判定是解答本題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】解：由題意知，〃克雞蛋中含的蛋白質(a+6)克.

所以機克雞蛋中蛋白質的含量是幽地.

n

故選：B.

由題意知,n克雞蛋中含的蛋白質(a+b)克,據此可得答案.

本題主要考查列代數式，把問題中與數量有關的詞語,用含有數字,字母和運算符號的式子表示出來,就是列

代數式.

10.【答案】C

【解析】解：48=AC,BE1AC,CF14&

???"FC=AAEB=90°.

在RtAAEB中，48=90°-”,在Rt△力FC中NC=90°-乙4.

乙B=Z.C.

在AABE和ZMCF中.

Z.A=ZX

AB=AC.

"乙B=Z-C

△ABE^LACF{ASA),故①選項正確.

???△ABE^LACF.

AE=AF.

???AC=AB.

得BF=CE.

在△BDF和△COE中.

2BFD=MED=90°

Z-B—Z-C.

BF=CE

??.△BDF義ACDE(AASy選項②正確.

???△ABE^^,ACF.

AE=AF,AC=AB.

連接AD

在Rt△AFD^Rt△AED^P.

(AE=AF

UD=AD'

???Rt△AFD=RtAAED(HL).

/.^DAF=ACME,即點。在Nb4c的平分線上,選項③正確.

???△BDF咨ACDE.

??.DE=DF.

DF+BD=DE+BD=BE.

???AB>BE.

AB>DF+DB,選項④錯誤.

故正確的為①②③.

故選：C.

根據垂直的定義得到乙力尸。=4AEB=90°,根據三角形的內角和得到NB=NC,由全等三角形的判定定理得

至IjAABE^AACF(ASA),故①選項正確，由AE=AF,AC=AB,得BF=CE,于是得至!!△BDF心

CDE{AAS},選項②正確,根據全等三角形的性質得到4E=AF,AC=AB,連接AD,證得RtAAFD=RtK

AED(HL),根據全等三角形的性質得到NZMF=^DAE,即點。在NB4C的平分線上,選項③正確，由OE=

DF,得到DF+BD=DE+BD=BE,根據AB>BE,AB>DF+DB,選項④錯誤,進而得到答案.

本題主要考查了垂直定義,全等三角形的判定與性質，角平分線的判定,熟記三角形判定定理是解決問題的

關鍵.

11.【答案】三角形具有穩定性

【解析】解：港珠澳大橋中的斜拉索橋,索塔,斜拉索,橋面構成了三角形,這樣使其更穩定,其中運用的數

學原理是三角形具有穩定性.

故答案為：三角形具有穩定性.

根據三角形具有穩定性解答即可.

本題考查的是三角形的性質的應用，熟記三角形具有穩定性是解題的關鍵.

12.【答案】久75

【解析】解：由題意得：比一5力0.

解得：x豐S.

故答案為：久H5.

根據分式的分母不為零列出不等式,解不等式得到答案.

本題考查的是分式有意義的條件,熟記分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關鍵.

13.【答案】a(a+2b)(a-2b)

【解析】解：a3-4ab2

=cz(a2—4/?2)

=a(a+2b)(a—2b).

故答案為：a(a+2b)(a-2b).

先提公因式,然后再利用平方差公式繼續分解,即可解答.

本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公司式,必須先提公因式.

14.【答案】4

【解析】解：原式=3+1=4.

故答案為：4.

利用負整數指數惠及零指數塞進行計算即可.

本題考查實數的運算,其相關運算法則是基礎且重要知識點,必須熟練掌握.

15.【答案】乙4=ND(答案不唯一)

【解析】證明：在AABF和△￡>(7￡1中.

(AB=DC

\z.A=Z.D.

UF=DE

0△DCE(SAS').

.??使得^DCE,則添加的條件可以是乙4=AD(答案不唯一).

故答案為：乙4=(答案不唯一).

由全等三角形的判定方法,即可得到答案.

本題考查全等三角形的判定,關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS.

HL.16.【答案】20

【解析】解：過C點作CE1AD于E點,如圖,

???AC平分NBA。，CE1AD,CB1AB.

CE=CB=4.

11

X6X4+

2-2-

???四邊形ABCD的面積=S.ABC+S.ADC

B

故答案為：20.A

過C點作CE14D于E點,如圖,先根據角平分線的性質得到CE=CB=4,然后根據三角形面積公式,利用

四邊形ABCD的面積=S-BC+S-DC進行計算即可.

本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形面積公式.

17.【答案】5

【解析】解：如圖，連接GB.

AB=AC,AD1BC.

BD=DC=3.

S〉ABC=BC，AD=6.

AD=2.

???E尸垂直平分AB.

???GB—GA.

?**AG+GD=BG+GD.

,?*BG+GDNBD.

?**GB+GDN3.

??.GB+GO的最小值為3.

.-.△2DG的周長最小值為2+3=5.

故答案為：5.

如圖,連接GB,利用三角形的面積公式求出AD,由EF垂直平分AB,推出GB=GA,推出4G+GD=BG+

GD,由BG+GD>BD,推出G8+GD>3,GB+GD的最小值為3,由此即可解決問題.

本題考查軸對稱-最短問題,線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識,解題的關鍵是靈

活運用所學知識解決問題,屬于中考常考題型.

18.【答案】①②③④

【解析】解：設正方形A的邊長為正方形8的邊長為。

圖1的陰影部分是邊長為a-b的正方形,因此面積為(a-b)2.

圖2的陰影部分是邊長為a+b的大正方形與邊長為a,邊長為b的兩個正方形的面積差，即(a+b)2-a2-

b2.

又???圖1,圖2中陰影部分的面積分別為4.

30.(a—b)2=4,(a+h)2—a2—b2—30,即ab=15.

a2-2ab+b2=4.

即a?+=4+2ab=4+30=34.

因此①正確.

(a+bp—(a—b)2+4ab=4+60—64.

因此②正確.

??1(a—b)2=4,(a+b)2=64,a>b>0.

a—b=2,a+b=8.

a—5,b—3.

a2-b2=25-9=16.

即正方形A與正方形B的面積差為16.

因此③正確.

由于a=5,即正方形A的邊長為5.

因此④正確.

綜上所述,正確的結論有①②③④.

故答案為：①②③④.

根據圖1,圖2與正方形A,正方形8的關系以及正方形面積的計算方法逐項進行判斷即可.

本題考查完全平方公式的幾何背景,掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵.

19.【答案】解：a4?(2a)2+(a3)3—6a9+2a3

=a4-4a2+a9-3a6

=4a6+a'-3a6

—a9+a6.

【解析】根據題意，先算乘方，再算乘除，然后合并同類項即可.

本題考查了整式的混合運算，解決本題的關鍵是掌握整式混合運算的運算順序和運算法則.

20.【答案】解：原方程去分母得：4=%2-2%-%2.

整理得：一2%=4.

解得：%=-2.

檢驗：當久=—2時,/—2%H0.

故原方程的解為％=-2.

【解析】將原方程去分母后化為整式方程,解得工的值后進行檢驗即可.

本題考查解分式方程,熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵.

21.【答案】解：13mn=5m2—2.

???6mn=10m2—4.

原式=m2—n2+97n2—6mn+n2

=n2—n2+m2+9m2—6mn

=10m2—6mn

=10m2—(10m2—4)

=10m2—10m2+4

=4.

【解析】先根據已知條件和等式的性質求出6nm=10m2-4,然后再根據多項式乘多項式法則和完全平方

公式進行化簡，最后把6nm=10m2-4代入進行計算即可.

本題主要考查了整式的化簡求值，解題關鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則和完全平方公式.

22.【答案】解：原式=(誓+號)一學

%2+4%+4x—1

—x—1x+2

_(%+2)2x—1

-x—1x+2

=%+2.

x=1或—2時分式無意義.

%不能是1或一2.

??.當％=3時.

原式=3+2

=5.

【解析】先把括號內的整式化成分母是X-1的分式,然后按照同分母的分式相加法則計算括號內的,再把除

法化成乘法,進行約分,然后取能讓分式有意義的數，代入化簡后的式子進行計算即可.

本題主要考查了分式的化簡求值,解題關鍵是熟練掌握分式的通分與約分.

23.【答案】解：(1)如圖,4。即為所求.

(2)如圖，△必%前即為所求.

(3)如圖,連接BQ,交直線/于點Q,連接CQ.

此時QB+QC的值最小.

則點。即為所求.

【解析】(1)取8C的中點。連接即可.

(2)根據軸對稱的性質作圖即可.

(3)連接BCi，交直線/于點Q,連接CQ,此時點Q即為所求.

本題考查作圖一軸對稱變換,軸對稱-最短路線問題,三角形的中線,熟練掌握軸對稱的性質,三角形的中線的

定義是解答本題的關鍵.

24.【答案】證明：;Nl=42.

zl+Z-CAD=42+Z.CAD.

???Z-BAC=Z.DAE.

在△ABC和△ADE中.

AB=AD

Z-BAC=Z-DAE.

AC=AE

???△?%△ADE(SZS).

BC=DE.

【解析】由N1=N2,推導出NB4C=NZME,而48=力。,4。=4瓦即可根據“SAS”證明△ABCg△力DE,

貝IJBC=DE.

此題重點考查全等三角形的判定與性質,推導出NR4c=NDAE,進而證明△ABC0A2DE是解題的關鍵.

25.【答案】解：設第二小組的步行速度是x每小時千米，則第一小組的騎行速度是每小時2尤千米.

依題意得：雙=竽+焉

X乙X0U

解得：%=5.

經檢驗,x=5是原方程的解,且符合題意.

答：第二小組的步行速度是每小時5千米.

【解析】設第二小組的步行速度是x每小時千米,則第一小組的騎行速度是每小時2x千米,根據第一小組比

第二小組提前6分鐘到達,列出分式方程,解方程即可.

本題考查了分式方程的應用,找準等量關系,正確列出分式方程是解題的關鍵.

26.【答案】焉

【解析】解：⑴一J=上=春

(4+2)2-426-4220

4的平方差倒數是去

故答案為：

(2)由題易得,-y-=-----2--

62—71(n+2)-n2

2_1

.62—九一4八+4

即8九+8=62—n.

解得九=6.

2_21

此時772=

62-n―62-628,

1

⑶m―(a_2b)2-3(7-2ab+12)

1

a2+2ab+Z)2—36

1

(a+b)2-62,

???(a+b}2-62=(n+2)2—n2.

(a+b)2=4(n+10).

???a,為正整數.

幾可取的最小值為6.

?,?a+b的最小值為8.

(1)根據平方差倒數的定義直接求解即可.

(2)根據題意建立方程求解即可.

(3)利用因式分解化簡求解即可.

本題主要考查了因式分解的應用,解分式方程等內容,熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

27.【答案】解：(1)①???^ABO=90°,/-AOB=60°.

???乙BAO=30°.

Z.OAD=a.

Z.DAB=Z.OAD+Z-BAO=a+30°.

???點C和點。關于點3對稱.

BC=BD.

AC=AD.

?*.Z.BAC+Z-DAB=cc+30°.

???Z.CAE=Z-BAC+Z-BAO=a+30°+30°=a+60°.

???AC=CE.

Z.AEC=Z-CAE=a+60°.

OC=OA+OE,理由如下：

作CG104于G.

??.Z.CGO=90°.

???"OB=60°.

???乙OCG=30°.

.?.OC=2OG=2(04—AG).

???AC=CE.

AG=^AE=^OA-OE}.

??.OC=2[0A-^0A-OE)]=OA+OE.

(2)如圖2.

圖2、心

當點C在OC上時.

作CG1。4于G.

由②知,OC=2OG,AG=EG=^AE.

???OC=2OG=2(04-4G)=2(04-%E)=2[0X-^(04+OE}]=0A-OE.

【解析】(1)①可得出NDAB=AOAD+ABAO=a+30",AC=AD,從而得出ABAC+乙DAB=a+30",進

而得出NQ4E=a+60。,進一得出結果.

②作CG1。4于G,在RtACOG中得出。C=20G=2(04-4G),可推出4G==，(。4一0E),進一步

得出結果.