2023年河北省中考數學一輪復習一圓練習題

一、單選題

1.（2021?河北石家莊?二模）如圖，A,B,。是。。上三點，ZACB=25°f則NBA。的度數是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

2.（2022.河北廊坊?一模）如圖，CD是。的直徑，弦。石〃AO,若NA=25。，則"的度數為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2022?河北?中考真題）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2,PA,P8分別與所在圓相切于點A,

B.若該圓半徑是9cm,ZP=40°,則AMB的長是（）

7

C.7萬cmD.一?cm

2

4.（2021?河北石家莊?一模）如圖，已知點。是正六邊形A3C0Eb的中心，扇形AOE的面積是12兀，則正

六邊形的邊長為（）

5.（2021?河北廊坊?一模）如圖，四邊形ABCD是。。的內接四邊形，若N8OD=88。，貝iJ/BCD的度數

是

A.88°B.92°C.106°D.136°

6.（2021?河北承德?一模）如圖，四邊形ABCD內接于（O,AB=CD,A為BO中點，N3DC=60。，則NADB

等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

7.（2022?河北秦皇島?一模）如圖，48是。。的直徑，弦COLAS,ZCDB=30°,CD=273,則陰影部

分圖形的面積為（）

A.4TTB.27rC.?D.—

3

8.（2022.河北承德?一模）如圖，在單位長度為1米的平面直角坐標系中，曲線是由半徑為2米，圓心角

2

2

為120°的A3多次復制并首尾連接而成.現有一點尸從A（A為坐標原點）出發，以每秒（?米的速度沿曲線

向右運動，則在第2019秒時點P的縱坐標為（）

A.-2B.-1C.0D.1

9.（2022?河北張家口?一模）如圖，六邊形尸是正六邊形，點尸是邊AF的中點，PC,尸。分別與破

10.（2022?河北承德?一模）如圖，AABC內接于半徑為5的。。，點8在。。上，且cosB=g,則下列量

中，值會發生變化的量是（）

A.—3的度數B.3c的長C.AC的長D.弧ABC的長

11.（2022.河北?寬城滿族自治縣教研室模擬預測）已知，在△ABC中，AB=AC,根據以下各圖所保留的

作圖痕跡，一定能使點。到△ABC三邊距離相等的是（）

A.B.

AA

12.（2021?河北?中考真題）如圖，等腰一么03中，頂角NAC?=40。，用尺規按①到④的步驟操作:

①以。為圓心，為半徑畫圓；

②在。上任取一點P（不與點A,8重合），連接AP;

③作AB的垂直平分線與。交于M,N；

④作AP的垂直平分線與（。交于E,F.

結論I：順次連接E,N,尸四點必能得到矩形；

結論II：，。上只有唯一■的點尸，使得S扇形OFM=S扇形OAB.

對于結論I和II,下列判斷正確的是（）

A.I和II都對B.I和n都不對

c.I不對n對D.I對n不對

13.（2021?河北?中考真題）如圖，點。為正六邊形ABCDEF對角線ED上一點，5^=8,SACD0=2,

則S正六邊形ABCDEF的值是（）

B.30

4

C.40D.隨點。位置而變化

二、填空題

14.（2021?河北石家莊?二模）如圖，正方形A3CO和正六邊形AEFCG8均內接于O,連接HD；若線段

恰好是。的一個內接正〃邊形的一條邊，則〃=.

15.（2021?河北唐山?一模）如圖，。與正五邊形A2CDE的邊A2、OE分別相切于點2、D,則劣弧瓦）所

對的圓心角NBOD的大小為____度.

16.（2022?河北唐山?一模）如圖，已知圓。的半徑。4=6,以。4為邊分別作正五邊形O4BCD和正六邊形

OAEFGH,則/,圖中陰影部分的面積為（結果保留兀）.

17.（2022?河北石家莊?二模）如圖，。的半徑是6,48是的弦，C是A3上一點，AC=6,BC=2,

點尸是。上一動點，則點尸與點C之間的最大距離是,最小距離是

p

18.（2021?河北保定?一模）如圖，扇形AOB中，半徑。4在直線/上，乙4。8=120。，OA=1,矩形EFGH

的邊E尸也在/上，且EH=2,小叵將扇形A08在直線/上向右滾動.

32

（1）滾動一周時得到扇形400,這時。。，=.

（2）當扇形與矩形E/GH有公共點時停止滾動，設公共點為則。E=.

19.（2022.河北保定.二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1,0）與（7,0）.對

于坐標平面內的一動點P,給出如下定義:若乙4尸8=45。，則稱點尸為線段的“等角點

①若點尸為線段A8在第一象限的“等角點”，且在直線x=4上，則點P的坐標為；

②若點P為線段AB的“等角點”，并且在y軸上，則點P的坐標為.

20.（2021.河北邢臺?一模）如圖，正六邊形A8CDEF的邊長為2,M點是四邊形CD跖內的一個動點,

若4CFM=NMCD.

6

(1)NFMC=；

(2)動點M所經過的路線長是.

21.(2022?河北保定?一模)某廠家要設計一個裝彩鉛的紙盒，已知每支筆形狀、大小相同，底面均為正六

邊形，六邊形邊長為1cm.目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設計方案，我們以6支彩鉛

為例，可以設計如圖的兩種收納方案：

圖2

(1)如果要裝6支彩鉛，在以上兩種方案里，你認為更小的底面積是cm.

(2)如果你要裝12只彩鉛，要求相鄰彩鉛拼接無空隙，請設計一種最佳的布局，并使用圓形來設計底面,

則底面半徑的最小值為cm.

三、解答題

22.(2021.河北保定.一模)如圖，在AA8C中，AB^AC,。是邊AC上的點，以OC為半徑的圓分別交邊

BC、AC于點。、E,過點D作DF1.AB于點F.

(1)求證：直線。尸是。。的切線；

(2)若OC=1,ZA=45°,求劣弧。E的長.

DB

23.（2022?河北?寬城滿族自治縣教研室模擬預測）已知。。的半徑和正方形ABC。的邊長均為1,把正方

形ABC。放在。。中，使頂點A,D落在。。上，此時點A的位置記為4，如圖1,按下列步驟操作:

如圖2,將正方形ABCD在。。中繞點A順時針旋轉，使點2落到。。上，

完成第一次旋轉；再繞點B順時針旋轉，使點C落到0O上，完成第二次旋轉;

（1）正方形ABC。每次旋轉的度數為°;

（2）將正方形ABC。連續旋轉6次，在旋轉的過程中，點B與4之間的距離的最小值為

24.（2022?河北唐山?二模）如圖，A8是半圓形量角器的直徑，點。為半圓的圓心，D4與半圓。相切于點

A,點尸在半圓上，且點尸對應的示數為120。（60。），點C是尸8上一點（不與點P重合）.連接。。交半

圓。于點E,點E對應的示數為60°（120。）.

D

（1）連接PC,AC,求NPCA的度數；

（2）連接AP,PB,求證：4DAO義AAPB；

（3）已知半圓。的半徑是3,若直徑AB上存在一點使得EM+PM的值最小，請直接寫出EM+RW的最

小值.

25.（2021.河北滄州?一模）如圖，射線。是蜀/上的一點，以。為圓心，長為半徑，在AM

上方作半圓AOC,BE與半圓相切于點。，交40于點E,EFLBO于點F.

8

⑴求證：BA=BD;

⑵若ZABE=60。，

①判斷點F與半圓AOC所在圓的位置關系，并說明理由；

②若AB=6直接寫出陰影部分的面積.

26.（2021.河北邯鄲.一模）如圖，在ABC中，AB=C3=10,NABC=90。，點。為直線上一點，點E為

A3延長線上一點，且BE=BD,連接AD,EC.

（1）求證:

⑵當NC4D=20時，求/￡1的度數；

（3）點尸是一C4D的外心，當點。在直線BC上運動，且點尸恰好在ABC內部或邊上時，直接寫出點尸運

動的路徑的長，

27.（2021?河北唐山?一模）如圖，。為RtABC的外接圓，NAC3=9（r,BC=4百,AC=4,點。是O

上的動點，且點C、￡）分別位于的兩側.

(1)求，。的半徑；

(2)當CD=4夜時，求—ACD的度數；

(3)設AO的中點為M,在點。的運動過程中，線段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值;

若不存在，請說明理由.

28.(2022?河北石家莊?三模)如圖1,已知是半圓。的直徑，AB=4,點。是線段A8延長線上的一

個動點，直線垂直于射線AB于點。，在直線。尸上選取一點C(點C在點。的上方)，使CD=6M,

將射線CD繞點D逆時針旋轉，旋轉角為打(0°<?<90°).

圖1圖2

⑴若。。=5,求點C與點。之間距離的最小值；

(2)當射線0c與。。相切于點C時，求劣弧BC的長度；

(3)如圖2,當射線CO與半圓。相交于點C,另一交點為E時，連接AE,OC,若AE//OC.

①猜想AE與0D的數量關系，并說明理由；

②求此時旋轉角的度數.

29.(2022.河北保定.三模)請閱讀以下材料，并完成相應的任務.

在《阿基米德全集》中的《引理集》中記述了偉大的古希臘數學家、哲學家、物理學家阿基米德提出的六

個有關圓的引理，其中第二個引理是：如圖1,點尸是上的任意一點，尸C，AB于點C,點。在弦AB

上且AC=CD,在A8上取一點。，使哈PA,連接8。，則有3=3，

10

A

圖1

(1)如圖2,小明同學嘗試說明"8。=8￡>"，于是他連接了R4,PB,PD,PQ,請根據小明的思路完

成后續證明過程;

Q

圖2

⑵如圖3,以為直徑的半圓上有一點尸，AP=6,AB=10,直線/與工。相切于點尸，過點B作板口

于點E,交。于點。，則BQ=.

圖3

30.(2022?河北承德?一模)如圖，R4是。的切線，切點為A,AC是。的直徑，連接。尸交1。于E.過

A點作于點O,交。于8,連接BC,PB.

BC

⑴求證：PB是「O的切線；

⑵求證：E為AR4B的內心；

(3)若cos/PAB=巫，BC=1,求P0的長.

10

31.(2022?河北邯鄲?一模)如圖，在AABC中，ZACB=90°,NABC=45。，BC=l2cm,半圓。的直徑

DE=12cm.點E與點C重合，半圓。以2cm/s的速度從左向右移動，在運動過程中，點。、E始終在BC

所在的直線上.設運動時間為x(s)，半圓。與AABC的重疊部分的面積為5卜病).

(1)當x=0時，設點"是半圓。上一點，點N是線段AB上一點，則的最大值為；的

最小值為.

(2)在平移過程中，當點。與BC的中點重合時，求半圓。與AABC重疊部分的面積S；

(3)當x為何值時，半圓。與AABC的邊所在的直線相切？

12

參考答案:

1.c

【解析】連接05,要求NA40的度數，只要在等腰三角形043中求得一個角的度數即可得到答案，利用

同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得NAO5=50。，然后根據等腰三角形兩底角相等和三角形內角和定理

即可求得.

解：連接。5,

ZACB=25°,

：.ZAOB=2x25°=50°,

由0A=0B,

：.ZBAO=ZABO,

：.ZBAO=^(180°-50°)=65°.

故選C.

考點：圓周角定理.

2.C

【解析】由04=0。,得NC=NA=25。，再由三角形外角性質得NAOZ>50。，然后根據平行線的性質可求解.

解：???8是。的直徑，

：.OA=OC,

：.ZC=ZA=25°,

：.ZAOD=ZC+ZA=50°,

U：OA//DE,

：.ZD=ZAOD=50°,

故選：C.

本題考查圓的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，平行線的性質，本題屬基礎題目，難度不大.

3.A

13

【解析】如圖，根據切線的性質可得NB4O=NPBO=90。，根據四邊形內角和可得/AO3的角度，進而

可得403所對的圓心角，根據弧長公式進行計算即可求解.

解：如圖，

圖2

尸8分別與所在圓相切于點A，B.

ZPAO=ZPBO=90°,

ZP=40°,

ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,

該圓半徑是9cm,

/.AMB=^^~^^-7ix9=117icm,

180

故選：A.

本題考查了切線的性質，求弧長，牢記弧長公式是解題的關鍵.

4.A

【解析】先求出中心角NAO石-120。，證得△Q4F是等邊三角形，得到=根據扇形的面積求出圓的

半徑，即可得到正六邊形的邊長.

解：連接OF,

設。。的半徑為R,

丁O是正六邊形ABCDEF的中心，

360°

ZAOF=ZEOF=——=60°,

6

ZAOE=120°,

?：OA=OF,

**?aaF是等邊三角形，

???AF=OA=R,

?扇形AOE的面積是1271,

14

.120萬收

,?一1LlC,

360

/.R2=36,

AF=R=6,

正六邊形的邊長是6,

故選：A.

本題考查了正多邊形與圓，扇形的面積計算，解題的關鍵是求出正多邊形的邊長等于圓的半徑.

5.D

【解析】首先根據NBOD=88。，應用圓周角定理，求出/BAD的度數；然后根據圓內接四邊形的性質,

可得NBAD+/BCD=180。，據此求出/BCD的度數

由圓周角定理可得NBAD=WZBOD=44°,

根據圓內接四邊形對角互補可得/BCD=180。-NBAD=180°-44°=136°,

故答案選D.

考點：圓周角定理；圓內接四邊形對角互補.

6.A

【解析】根據AB=CD,A為中點求出/CBD=/ADB=NABD,再根據圓內接四邊形的性質得到

ZABC+ZADC=180°,即可求出答案.

A為8。中點,

??AB=AD,

.*.ZADB=ZABD,AB=AD,

AB=CD,

：.ZCBD=ZADB=ZABD,

:四邊形ABC。內接于I

.,.ZABC+ZADC=180°,

.".3ZADB+60°=180°,

J^ADB=4Q°,

15

故選：A.

此題考查圓周角定理：在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的圓周角相等，圓內接四邊形的性

質：對角互補.

7.D

【解析】根據垂徑定理求得CE=E￡>=相;然后由圓周角定理知/COE=60。.然后通過解直角三角形求得線

段。C,然后證明△OCEgZXBDE,得到“?EB=ZCE。求出扇形COB面積，即可得出答案.

解:設AB與CD交于點E,

是。。的直徑，弦COLAB,CD=2后,如圖，

ZCDB=30°,

：.ZCOB=2ZCDB=60°,

.,.ZOCE=30°,

：.OE=-OC,

2

BE^OE=-OB=-OC

22f

XVOC2=CE2+OE2,BPOC2=-OC2+3

4

???OC=2,

在^OCE^ABOE中，

ZOCE=ZBDE

<ZCEO=/DEB,

OE=BE

???△OCE咨ABDE(A4S),

,,SADEB-SACEO

陰影部分的面積S=S扇形COB=迎上工=—,

16

故選D.

本題考查了垂徑定理、含30度角的直角三角形的性質，全等三角形的性質與判定，圓周角定理，扇形面

積的計算等知識點，能知道陰影部分的面積=扇形C08的面積是解此題的關鍵.

8.B

【解析】先計算點P走一個的時間，得到點P縱坐標的規律：以1,0,-1,0四個數為一個周期依次

循環，再用2019+4=504...3,得出在第2019秒時點P的縱坐標為是-1.

解：點運動一個AB用時為⑵匹2一%=2秒.

lot)3

如圖，作CDLAB于D,與知交于點E.

在RtAACD中，VZADC=9Q°,ZACD=-ZACB=6(),

2

ZG4D=30°,

CD=-AC=-x2=l

22f

：.DE=CE-CD=2-1=1,

???第1秒時點P運動到點E,縱坐標為1；

第2秒時點P運動到點B,縱坐標為0；

第3秒時點P運動到點F,縱坐標為-1；

第4秒時點P運動到點G,縱坐標為0；

第5秒時點P運動到點H,縱坐標為1；

.?.,

...點P的縱坐標以1,0,-b0四個數為一個周期依次循環，

20194-4=504...3,

.?.第2019秒時點P的縱坐標為是-1.

本題考查了規律型中的點的坐標，解題的關鍵是找出點P縱坐標的規律：以1,0,-1,0四個數為一個周

期依次循環.也考查了垂徑定理.

9.D

【解析】設正六邊形的邊長為必想辦法求出APA/N,的面積即可.

17

解：設正六邊形的邊長為a.則必尸（力=2義"。2=也/,S承1形BCDE=3又昱。2=空a2,

4244

由題意MN是APCD的中位線，

SAPMN=-SAPCD=昱a2,

48

S舉形MNDC=Ba2-2a2=記a2,

28

2

a2_bHa)=在“2

S^BMC=SADNE=I(—

?；PM=CM,

：.Si^PBM=SLBMC=—a2,

16

：.SAPMN：S^PBM=—a2：

8

故選：D.

本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，三角形的中位線定理，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，解

題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

10.B

【解析】連接AO并延長交（O于BI連接BC,OC,根據已知條件得到的度數一定；解直角三角形

得到AC=10-sinB,故AC的長一定；根據弧長公式得到A百c的長度=（"。一？個-B的度數上一一定;

于是得到結論.

解：連接AO并延長交?。于B,連接BC,OC,

.../ACB'=90,

.?.NB的度數一定;

.\AC=10sinB,故AC的長一定;

，AOC=2”,

（36。-2個/B的度數）“5一定;故選B

/.ABC的長度=

本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

11.D

18

【解析】根據到三角形三邊距離相等的點是三角形角平分線的交點，判斷各選項所給的射線是角的平分線

即可.

解：A.以B為端點的射線不是-3的平分線，故此選項不符合題意；

B.交點。到三角形的三個頂點距離相等，故此選項不符合題意；

C.射線80不是23的平分線，，故此選項不符合題意；

D.兩條射線均為角的平分線，交點。到AA8C三邊距離相等，故此選項符合題意；

故選：D

本題主要考查了三角形的內心，明確三角形的內心是三角形角平分線的交點是解答本題的關鍵.

12.D

【解析】I、根據“弦的垂直平分線經過圓心”，可證四邊形MEN尸的形狀；

II、在確定點P的過程中，看NMOG40。是否唯一即可.

是的垂直平分線，EF是AP的垂直平分線，

和所都經過圓心0,線段和川是。。的直徑.

?.OM=ON,OE=OF.

四邊形MENF是平行四邊形.

:線段MN是。。的直徑，

ZMEN=90°.

：.平行四邊形MENF是矩形.

.??結論I正確；

II、如圖2,當點尸在直線左側且AP=AB時，

'：AP=AB,

AB=AP-

"：MN±AB,EFLAP,

19

???AE=-APAN=-AB.

22f

?*-AE=AN.

：.ZAOE=ZAON=-ZAOB=20.

2

:?NEON=44.

ZMOF=ZEON=40.

???扇形。尸M與扇形。43的半徑、圓心角度數都分別相等,

,,S扇形。FM=S扇形OAB?

如圖，

當點尸在直線MN右側且BP=AB時，

問理可證：§扇形F0”=S扇形AOB-

結論n錯誤.

故選：D

本題考查了圓的有關性質、矩形的判定、扇形面積等知識點，熟知圓的有關性質、矩形的判定方法及扇形

面積公式是解題的關鍵.

13.B

【解析】連接AC、AD、CF,與CP交于點M,可知M是正六邊形ABCDEF的中心，根據矩形的性質

求出SMF“=5,再求出正六邊形面積即可.

解：連接AC、AD,CF,AO與CF交于點可知/是正六邊形ABCDEF的中心，

多邊形ABCDEF是正六邊形，

J.AB^BC,NB=NBAF=120°,

：.ZBAC=3Q°,

：.ZMC=90°,

20

同理，ZDCA=ZFDC=ZDFA=90°,

.,?四邊形ACD尸是矩形，

SAAFO+^ACDO=萬S矩形"0c一1°，^AAFM=^矩形4ra>C=,

S正六邊形ABOTEk—6s一3°，

故選：B.

本題考查了正六邊形的性質，解題關鍵是連接對角線，根據正六邊形的面積公式求解.

14.12.

【解析】連接。4、OD,OH,利用正多邊形與圓，分別計算。的內接正四邊形與內接正六邊形的中心角

得至！JNAOD=90°,ZAOH=60°,相減算出NZ)OH=30°,然后算出小

解：如圖所示，連接。4、OD、OH,

???正方形ABC。和正六邊形AEFCGH均內接于O,

360°

.??ZAOD=——=90。，

4

360°

ZAOH=——=60。，

6

：.ZDOH=ZAOD-ZAOH=90°-60°=30°,

."=*2,

30°

21

故答案為：12.

本題考查了正多邊形與圓，根據中心角=型360-°得到相應的中心角，關鍵還要靈活運用公式求出加

n

15.144

【解析】根據正多邊形內角和公式可求出NE、ND,根據切線的性質可求出/OAE、ZOCD,從而可求

出NAOC,然后根據圓弧長公式即可解決問題.

解：五邊形A8CDE是正五邊形,

08。.

5

45、OE與一O相切,

ZOBA=ZODE=90°,

ZBOD=(5-2)x180°-90°-108°-108°-90°=144°,

故答案為144.

本題主要考查了切線的性質、正五邊形的性質、多邊形的內角和公式、熟練掌握切線的性質是解決本題的

關鍵.

16.12°

【解析】先根據多邊形內角和公式計算出48、N2O”的度數，再求出-HOD,利用扇形面積公式計

算即可.

fC-O'jy180°

解：由題意得，；=108。,

(6—2)x180。

ZAOH==120°

6

NDOH=ZAOH-ZAOD=120。—108。=12。,

,陰影部分的面積：比￡=色兀，

3605

故答案為：12。，

本題考查了正多邊形和圓，熟練運用多邊形內角和公式和扇形面積公式是解題的關鍵.

17.6+2A/66-25/6

【解析】過點。作。GLA8于點G,連接。P、OC、OB、PC,根據勾股定理求得OC=2?,進一步得到

尸C的取值范圍得出結果.

解：過點。作OGLAB于點G,連接0尸、OC、OB、PC,

：.BG=-AB=-7S4,

22

22

GC=BG-BC=2,

由勾股定理得：OG1=OB--BG1=OC--CG1,

即36-16=OC2-4,

解得OC=2灰,

又?/OP+OC>PC>PO-OC,

/.6+2V6>PC>6-2V6,

故答案為6+2#,6-2A/6.

本題考查垂徑定理、勾股定理以及三角形三邊關系，解決問題的關鍵是是遇弦作弦心距構造直角三角形.

18.—+2交

32

【解析】(1)利用扇形弧長公式求出AB，滾動一周，則OO，=A2+2OA;

(2)求得0E與OO'的關系，可知扇形滾動5周后，。與E相距走，繼續滾動，8點與HE相交,

2

即公共點。點，根據勾股定理求出OE的長.

(1)扇形AOB滾動一周得到扇形400,

VZAOB=120°,OA=\

OO'=AB+20A=——+2

3

(2)VQE=—+20+y^,OO'=—+2

323

.c口10^^20+7210萬上20工應</2萬工。)工友scN

32322^3)22

23

即扇形A08滾動5周后，。與E相距正，繼續滾動，B點與HE相交，即公共點。點，

2

AOD=OB=OA=i,OE=—,ZHEO=90°

2

DE=yJOD2-OE2=.I2-f—=—

VI2J2

本題考查扇形弧長的計算、利用勾股定理解幾何題.本題的關鍵在于理解扇形滾動的規律.

19.①（4,3+3加），②（0,3±0）或（0,-3土血）

【解析】①根據尸在直線尤=4上畫圖1,作AAPB的外接圓C,連接AC,BC,可知：AB—6,G>C的半

徑為3后，最后計算產。的長可得點尸的坐標；

②同理作AAPB的外接圓C,計算OP和OB的長，可得點尸的坐標，注意不要丟解.

解：①如圖1,作△APB的外接圓，設圓心為C,連接AC,BC,

二,點A與點B的坐標分別是（1,0）與（7,0）,

：.AB=l-l=6,

'：ZAPB=45°,

ZACB=90°,

VAC=BC,

.?.△ABC是等腰直角三角形，AC2+BC2=AB2

:.AC=BC=3?,

:.PC=3也,

:點P在直線x=4上，

：.AD=4-1=3,

24

：.AD=BD,

'：CD±AB,

：.CD=AD=3,

：.P（4,3拒+3）；

故答案為：（4,3應+3）；

②如圖2,同理作A4PB的外接圓，設圓心為C,過C作無軸于。，作CE，。尸于E,連接PC,P〕C,

在y軸上存在/AP8=/AP/B=45。，

則①知：CD=OE=3,OD=CE=4,PC=3后,

由勾股定理得：尸￡=J（30『一4?=0,

."0=3+0,

同理得：OP尸3-叵,

：.P（0,3±72）,

同理在y軸的負半軸上，存在符合條件的點P的坐標為（0,-3+72），

綜上，點尸的坐標為（0,3土◎）或（0,-3±￡）.

故答案為：（0,3土加）或（0,-3土正）.

此題主要考查坐標和圖形的性質，圓周角定理，勾股定理等知識，作AAP8的外接圓是本題的關鍵.

Q

20.120°一島:

9

【解析】（1）由題意結合正六邊形的性質可求出/S=60。.再根據三角形內角和定理結合

Z.CFM=ZMCD,即可求出/加。=180。-/尸8=120。.

（2）如圖，延長CB、FA,交于點N,由題意可知點〃在_@叫的外接圓上的劣弧C歹上.設該外接圓圓

25

心為。，作CW-LCF.易證NQVF=60。，即可求出/CO尸=120。，從而求出NOCH=30。.由題意易求出

CF=4,即可求出CO=逑，即該圓的半徑為生叵，最后由弧長公式即可求出結果.

33

(1)由題意結合正六邊形的性質可知CF平分/BCD,且4CD=120。.

/.ZFCD=-ZBCD=60°.

2

ZFMC=180°-ZCFM-ZFCM,ZCFM=ZMCD.

：.NFMC=180°—NA/CD—NFO/=180°—NFCD=120°.

故答案為：120°.

(2)如圖，延長CB、FA,交于點N,

由(1)ZFMC^120°,可知點M在。N的外接圓上的劣弧CF上.

設該外接圓圓心為。，作OHLCF.

由題意可知NNCF=ZNFC=60°,

即一C/W為等邊三角形，

ZCNF=60°,

zcoF=no°.

：.AOCH=30°.

由正六邊形的性質可知CF=2CD=4.

CH=-CF=2,

2

?8一2若”_46

??CCz=-------C/1=-------?

33

?,?圓。的直徑為2。0=更.

3

?120X%X￡300

?*/=_________3_8^3^?

'弧b一。（八一C〃

26

故答案為：晅兀.

9

本題考查正六邊形的性質、三角形內角和定理、等邊三角形的判定和性質、含30。角的直角三角形的性質、

圓周角定理、弧長公式等知識，綜合性強，較難.理解點M在.CFN的外接圓上的劣弧CF上是解答本題

的關鍵.

21.1273V13

【解析】（1）利用圓的面積、等邊三角形的面積.即可判斷；

（2）設計方案如圖，利用勾股定理求出半徑即可.

解：（1）如圖1,在正六邊形中，過點8作過C作CALLOA,

（6-2）x180。50。,

:正六邊形的邊長為1,ZABC=ZBCO=

6

.".ZBAM=-xl20°=60°,

2

ZABM=3Q°,ZMBC=9Q°,

：.AM=^AB=^,四邊形BMNC是矩形,

：.MN=BC=\,

同理ON=3,

：.OA=AM+MN+ON=2,

如圖2中，圓的半徑為3,

如圖3中，連接。4,OD,OB

27

B

圖3

V0D=2cmfZOAD=30°,ZADO=90°

/.OA=OB=2OD=4cm,

AD=4OJ^-OD1=2A/3(cm),

，等邊三角形的邊長AO4石cm,

二底面積=；*(4+2?46=12百(cm2)<9%(cm1)

等邊三角形作為底面積時，面積較小，底面積為126°加；

(2)如圖4中，設計方案如圖4所示，過點G作GXLOE于X,

在RtXGHE中，ZHGE=-xl20°=60°,G￡=lcm

2

：.GH=^-cm,HE=,ll2-(-)2=—(cm)

2V22

；.OE=4x走=2括(cm)

2

在E/TkOET中，ET=lcmfOE=2y/3cm,

；?07=JOE?+ET?=J(26)2+產=岳(cm)

...底面半徑的最小值為歷cm,

故答案為：A/T3

本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用

28

輔助線，構造直角三角形解題.

3

22.(1)詳見解析；(2)-Jr.

4

【解析】⑴連結0。，根據等腰三角形的性質得到0D〃A2,根據平行線的性質得到N。。尸=90。，根據

切線的判定定理證明；

(2)根據平行線的性質得到180。-45。=135。，根據弧長公式計算即可.

證明：如圖，連結O。，

\'AB=AC,

：.ZB=ZACB,

OC=OD,

：.ZODC=ZACB,

1/B=NODC,

：.OD//AB,

'：DF±AB,

：.ZODF=ZBFD=90°,

為半徑，

直線。尸是。。的切線；

(2)解：VZA=45°,OD//AB,

：.ZAOD=180°-45°=135°,

???劣弧。E的長為胃/=

1804

本題主要考查了切線的判定及弧長的計算，熟練掌握切線的判定定理及弧長的計算公式是解題的關鍵.

23.302-72

【解析】根據題意可知△。⑦是等邊三角形，每一次旋轉可以轉化為等邊三角旋轉60度，則正方形各頂

點構成正六邊形，邊長為1,進而求得每次旋轉的角度；在正方形的旋轉過程中，第三次旋轉過程中點B

與4之間的距離的最小值為Q的直徑減去正方形的對角線的長度

29

QO的半徑和正方形ABCD的邊長均為1,

OAD是正三角形

:.ZOAD=60°

根據旋轉可得正方形各頂點構成正六邊形，

ZBoAB=12O°-9O°=3O°

即正方形每一次旋轉的角度為30。，

如圖，8點的運動路徑如圖中為“…-線部分,

.正方形的邊長為1,

正方形的對角線長為虎,

。的半徑為1

???最短距離為2-亞

故答案為：30,2-72

30

本題考查了正多邊形的性質，圓的性質，旋轉的性質，正三角形的性質，找到正方形旋轉的規律是解題的

關鍵.

24.(1)60°

(2)見解析

(3)6

【解析】(1)連接OP,根據同弧所對的圓周角等于其圓心角的一半解答；

(2)連接。P,AE,由小OAE1和△。尸2為等邊三角形，得到/B=60。，PB=OB,/AOE=NB,PB=OA,

由AB為圓的直徑，得/AP8=90。，由切線的定義解得/D4O=90。，繼而證明△D40g/XAPB(ASA)；

(3)作點E關于AB的對稱點E,連接OF,由垂直平分線的性質得到0E=0￡,ZE'OA^ZEOA^60°,

證明/EO￡+/EOP=180。，繼而得到當點M與點。重合時，使得EM+PM的值最小.

(1)

解:連接0P,

D

由題意得：NAOP=120。.

NPCA=|ZAOP,

：.ZPCA=60°；

(2)

連接。尸，AE,

31

D

由題意得：ZAOP=120°,ZAOE=60°,/尸05=60。

?：OA=OE=OP=OB,

.,.△OAE^A。尸8為等邊三角形

：.ZB=60°,PB=OB

???NAOE=NB,PB=OA

TAB為圓的直徑，AZAPB=90°

〈DA與半圓。相切于點A,???OA_L0A

：.ZDAO=90°

：.ZAPB=ZDAO

在△D4O和△AP5中，

ZAOD=ZB=60°

<AO=PB,

ZDAO=/APB=90°

/.ADAO^AAPB(ASA)

(3)

EM+PM的最小值為6.

作點石關于AB的對稱點E',連接OE',

32

D

E

則。4垂直平分線段EE,，OE=O￡,，/EOA=/Ea4=60。，120。，：/EOP=180。-ZAOE

-ZPOB=60°,：.ZEOE'+ZEOP^180°,：.E',O,尸三點在一條直線上，

二當點〃與點O重合時，使得EM+PM的值最小，

/.EM+PM的最小值=EP=OE'+OP^3+3=6.

本題考查圓的性質，涉及圓周角的性質、切線的性質、全等三角形的判定與性質、垂直平分線的性質、兩

點之間線段最短等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

25.(1)見解析；(2)①點尸在半圓AOC所在的圓上，見解析；②也-工

26

【解析】(1)根據切線長定理證明即可

(2)①先證明03=OE,在證明二.054三OE尸即可得出點尸在半圓AOC所在的圓上②先根據等腰三角

形三線合一證出AB,再利用，S陰影=SODE-S扇形coo計算即可

(1)證明：AM1AB

區4是半圓的切線切點為點A.

又BE與半圓相切于點。

BA=BD.

(2)解：①點尸在半圓AOC所在的圓上.

理由：若NAfiE=60。

.\ZBE4=30°

又，AOBA=ZOBE=-ZABE=30°

2

33

:.ZOBE=ZOEB

OB=OE.

又,ZAOB=NFOE,ZA=ZF=90°

/.OBA=OEF

:.OF=OA.

點F在半圓AOC所在的圓上.

②如圖連接OD則OD±BE.

OB=OE,

DE=BD=AB=s/3.

-ZOBA=30°,

OD=OA=AB-tan30°=A/3X—=1.

3

，員」60萬xF=j1/

V

..〃陰影vODEu扇形COD236026

本題考查切線長定理、全等三角形的判定、扇形的面積、靈活應用定理及角的轉換是關鍵，熟練掌握扇形

面積公式是重點.

26.(1)見解析;(2)：NE=65°或25°；(3)5A/2

【解析】(1)(1)利用“邊角邊”證明即可;

(2)分兩種情況：點D在線段BC上時和點D在BC延長線上時，利用全等三角形對應角相等，推出

ZE=ZADB,再根據等腰直角三角形的性質求出/ACB=NCAB=45。，根據外角性質求出/ADB,即可解

答；

(3)過點B作BF垂直AC,交AC于F,作DC邊的垂直平