試題

2023學年第一學期九年級數學科期末測試題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.下列關于X的一元二次方程，有兩個不相等的實數根的方程的是（）

A.x2+l=0B.x2+2x+l=0C.x2+2x+3=0D.x2+2x

-3=0

2.將拋物線y=3x2向上平移2個單位，得到拋物線的解析式是（）

A.y=3x2-2B,y=3x2C.y=3（x+2）2D.y=3x2+2

3.古典園林中的花窗通常利用對稱構圖，體現對稱美.下面四個花窗圖案，既是軸對稱圖

4.某種商品原價是120元，經兩次降價后的價格是100元，求平均每次降價的百分率，設

平均每次降價的百分率為x,所列方程正確的是（）.

A.120(1+x)2=100B.120(1-%)2=100

C.100(1+X2)=120D.100(1-x)2=120

5.如圖，正方形/8CD內接于。。,點P在右上，則/P的度數為（

C.60°D.90°

6.用配方法將方程卡—"一1=0變形為（x—m）2=17,則加的值是（）.

A.-2B.4C.-4D.8

7.平面直角坐標系中，點N的坐標為（4,3）,將線段。/繞原點。順時針旋轉90。得到

試題1

試題

OA',則點4的坐標是（）

A.（—4,3）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（4,-3）

8.有一枚質地均勻的正方體骰子，六個面上分別刻有1到6的點數.將它投擲一次，則擲

得骰子朝上一面的點數為奇數的概率是（）.

1112

A.-B.—C.—D.一

2363

9.如圖，的內切圓。/與8C,CA,28分別相切于點。，E,F,若。/的半徑為

r,44=a，貝U（AF+CE—6C）的值和/EDE的大小分別為（）

Of

A.2r,90°-aB,0,90°—aC.2r,90°D.0,

2

10.拋物線了="2+區+。（a,b,c是常數，c<0）經過（1,1）,（m,0）,（名0）三點,

B.n>3.在下列四個結論中：①a+6+c>0；②4ac-b?<4a；③當"=3時，若點（2,0

在該拋物線上，貝U<1；④若關于x的一元二次方程辦2+云+°=%有兩個相等的實數根，

則0〈機V，；其正確結論的序號是（）.

3

A.②③④B.①②④C.①②③D.①③④

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分.）

II.一元二次方程刀2-9=o的解是

12.如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m,若水面下降1m,則水面寬度

增加m.（結果可保留根號）

IIII1IIII|一

1111II11^

illA、II

*i*i*1/2m

---

11/-------------------z_II

<----4m—>

試題2

試題

13.關于x的方程5f—mx—1=0的一根為1,則另一根為.

14.如圖，己知正方形46C。的邊長為3,￡為CD邊上一點，DE=1.以點A為中心,

把順時針旋轉90。，得△ABE',連接EE',則EE'的長等于

15.如圖，轉盤中四個扇形的面積都相等，任意轉動這個轉盤2次，當轉盤停止轉動時，指

針2次都落在灰色區域的概率是.

16.如圖，在丫45CO中，AB=C+1,BC=2,AH：LCD,垂足為H,AH=6.以點

A為圓心，/笈長為半徑畫弧，與分別交于點E,尸,G.若用扇形ZEF圍成

一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為《；用扇形圍成另一個圓錐的側面，記

這個圓錐底面圓的半徑為弓，則八-弓=.(結果保留根號)

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.)

17解方程：(x-3)(x+l)=%-3.

18.已知二次函數歹=/+云+。的圖象經過4(0,2),3(1,-3)兩點.

試題3

試題

(1)求6和c的值；

(2)自變量x在什么范圍內取值時，/隨x的增大而減小？

19.如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,在平面直角坐標系xQy內，四邊形

45C。的四個頂點都在格點上，且8(-2,1),。為/。邊的中點.若把四邊形4BC。繞著

點。順時針旋轉180。，試解答下列問題：

(1)畫出四邊形48C。旋轉后的圖形；

(2)設點8旋轉后的對應點為3',寫出5’的坐標，并求8旋轉過程中所經過的路徑長(結

果保留萬).

20.已知關于x的方程/+辦+4一2=0

(1)當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；

(2)求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.

21.如圖，48是。。的直徑，點C在。。上，且NC=8,BC=6.

(1)尺規作圖：過點。作ZC的垂線，垂足為￡,交劣弧態于點。，連接(保留作

圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)所作的圖形中，分別求和CD的長.

22.甲、乙兩位同學相約打乒乓球.

(1)有款式完全相同的4個乒乓球拍(分別記為/,B,C,D),若甲先從中隨機選取1個,

乙再從余下的球拍中隨機選取1個，求乙選中球拍C的概率；

試題4

試題

（2）雙方約定：兩人各投擲一枚質地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面

向上，那么甲先發球，否則乙先發球.這個約定是否公平？為什么？

23.如圖，在中，ZABC=90°,45=12cm,8C=248,動點尸從點/開始沿

邊48向點2以2cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移

動，如果尸，0兩點分別從N,8兩點同時出發，那么VAP。的面積s隨出發時間/而變

化.

（1）求出S關于/的函數解析式，寫出/的取值范圍；

（2）當/取何值時，S最大？最大值是多少？

24.VN是。。上的一條不經過圓心的弦，MN=4,在劣弧和優弧VN上分別有點力,

B（不與M,N重合），且彳獷=嬴，連接BM.

（1）如圖①，48是直徑，AB交MN于葭C,ZMOC=60°,求NCMO的度數；

（2）如圖②，連接。M,AB,過點。作交于點D求證：

ZMOD+2ZDMO=90°；

（3）如圖③，連接/N,BN,試猜想/"?"B+/N?NB的值是否為定值，若是，請求

出這個值；若不是，請說明理由.

25.蔬菜大棚是一種具有出色保溫性能的框架覆膜結構，它的出現使得人們可以吃到反季節

蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣

就形成了一個溫室空間.如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形45c。和拋物線的一

部分ZED構成（以下簡記為“拋物線ZED"），其中4B=4m,BC=6m,現取8C中

點。，過點。作線段8c的垂直平分線交拋物線ZED于點E,OE=7m,若以。點

試題5

試題

為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖①所示平面直角坐標系.請結合圖形解

答下列問題：

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖②，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置

LFGT,SMNR,其中乙R在拋物線ZED上，若FL=NR=0.75m,求兩個正方形裝

置的間距的長;

圖②

(3)如圖③，在某一時刻，太陽光線透過4點恰好照射到C點，大棚截面的陰影為5K,

此刻，過點K的太陽光線所在的直線與拋物線ZED交于點尸，求線段PK的長.

圖③

試題6

試題

2023學年第一學期九年級數學科期末測試題

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.下列關于X的一元二次方程，有兩個不相等的實數根的方程的是()

A.x2+l=0B.x2+2x+l=0C.x2+2x+3=0D.x2+2x

-3=0

【答案】D

【解析】

【分析】要判斷所給方程是有兩個不相等的實數根，只要找出方程的判別式，根據判別式的

正負情況即可作出判斷.有兩個不相等的實數根的方程，即判別式的值大于0的一元二次方

程.

【詳解】A、A=0-4xlxl=-4<0,沒有實數根；

B、△=22-4x1x1=0,有兩個相等的實數根；

C、A=22-4xlx3=-8<0,沒有實數根；

D、A=22-4xlx(-3)=16>0,有兩個不相等的實數根，

故選D.

【點睛】本題考查了根的判別式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a/))的根與△=b2-4ac

有如下關系：①當△>()時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=()時，方程有兩個相

等的兩個實數根；③當△<()時，方程無實數根.

2.將拋物線y=3x2向上平移2個單位，得到拋物線的解析式是()

A.y=3x2-2B.y=3x2C.y=3(x+2)2D.y=3x2+2

【答案】D

【解析】

【詳解】試題解析：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=3x2向上平移2單位，得到的拋

物線的解析式是y=3x2+2.

故選D.

考點：二次函數圖象與幾何變換.

3.古典園林中的花窗通常利用對稱構圖，體現對稱美.下面四個花窗圖案，既是軸對稱圖

形又是中心對稱圖形的是()

試題7

試題

【分析】根據中心對稱圖形和軸對稱圖形定義進行解答即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：C.

【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形定義，關鍵是掌握如果一個圖形沿著一

條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.如果一

個圖形繞某一點旋轉180。后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點

叫做對稱中心.

4.某種商品原價是120元，經兩次降價后的價格是100元，求平均每次降價的百分率，設

平均每次降價的百分率為無，所列方程正確的是().

A.120(1+x)2=100B.120(1-x)2=100

C.100(1+X2)=120D.100(1-x)2=120

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查求平均變化率的方法.若設變化前的量為變化后的量為6,平均變化

率為x,則經過兩次變化后的數量關系為a(l±x『=b.得到第二次降價后價格的等量關系

是解決本題的關鍵.

【詳解】解：設平均每次降價的百分率為X,

由題意得：120(1—x)2=100,

試題8

試題

故選：B.

5.如圖，正方形4BCD內接于。。，點P在4g上，則/P的度數為（）

B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【解析】

【分析】連接08,OC,由正方形N8C。的性質得N8OC=90°,再根據圓周角與圓心角

的關系即可得出結論.

【詳解】解：連接OC,如圖,

,/正方形ABCD內接于。。，

/.ZBOC=90°

/.ZBPC=-ZBOC=-x90°=45°

22

故選：B.

【點睛】此題主要考查了圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.

6.用配方法將方程X2一"一1=0變形為（x—加）2=17,則加的值是（）.

A.-2B.4C.-4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟練掌握配方法解一元二次方程步驟

是解題的關鍵.

試題9

試題

【詳解】解：、2一81=0,

AX2-8X=1)即：必―8》+16=17，

.,.(x-4)2=17,

m=4,

故選：B.

7.平面直角坐標系中，點N的坐標為(4,3),將線段CM繞原點。順時針旋轉90。得到

OA',則點4的坐標是()

A.(—4,3)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(4,-3)

【答案】C

【解析】

【分析】根據旋轉中心為點。，旋轉方向順時針，旋轉角度90。，作出點”的對應點4,可

得所求點的坐標.

【詳解】作軸于8點，軸于夕點.如圖所示.

,：A(4,3),.*.05=4,AB=3.

：.OB'=4,A'B'=3.

在第四象限，

：.A'(3,-4).

故選C.

【點睛】考查由圖形旋轉得到相應坐標根據旋轉中心，旋轉方向及角度得到相應圖形是解

決本題的關鍵.

8.有一枚質地均勻的正方體骰子，六個面上分別刻有1到6的點數.將它投擲一次，則擲

試題10

試題

得骰子朝上一面的點數為奇數的概率是（）.

1112

A.-B.-C.-D.一

2363

【答案】A

【解析】

【分析】此題考查了概率公式的應用.注意掌握概率=所求情況數與總情況數之比，是解決

問題得關鍵.

【詳解】解:骰子六個面中奇數為1,3,5,投擲一次出現1,2,3,4,5,6,共6種等

可能結果，

31

將它投擲一次，則擲得骰子朝上一面的點數為奇數的概率是:=一，

62

故選：A.

9.如圖，的內切圓。/與8C,CA,28分別相切于點。，E,F,若。/的半徑為

r,44=a，貝U（AF+CE—6C）的值和/EDE的大小分別為（）

Of

A.2r,90°-aB,0,90°—aC.2r,90°D.0,

2

90°--

2

【答案】D

【解析】

【分析】如圖，連接3,IE.利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質解決問題即

可.

【詳解】解：如圖，連接7F,IE.

試題11

試題

：A48C的內切圓。/與8C,CA,48分別相切于點。，E,F,

：.BF=BD,CD=CE,IFLAB,IELAC,

：.BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=O,NAFI=ZAEI=90°,

：.ZEIF=180°-a,

ZEDF=-ZEIF=90°--tz.

22

故選：D.

【點睛】本題考查三角形的內切圓與內心，圓周角定理，切線的性質等知識，解題的關鍵是

掌握切線的性質，屬于中考常考題型.

10.拋物線y=a/+及+。（q,方，°是常數，。<0）經過（1,1）,（m50）,（凡0）三點，

且〃23.在下列四個結論中：①。+6+。>0；②4QC<4〃；③當〃=3時，若點（2/）

在該拋物線上，貝心<1；④若關于x的一元二次方程〃*+為+o=%有兩個相等的實數根,

則0〈機其正確結論的序號是（）.

3

A.②③④B.①②④C.①②③D.①③④

【答案】B

【解析】

【分析】把（1,1）代入y=ax2+bx+c得a+6+c=l>0,即可判斷①正確；根據圖象經過

（1,1）,c<0,且拋物線與x軸的一個交點一定在（3,0）或（3,0）的右側，判斷出拋物線的

開口一定向下，即”0,繼而得出拋物線的對稱軸在直線x=1.5的右側，得出拋物線的頂

點在點（1,1）的右側，得出4.丁〉口,根據"0,利用不等式的性質即可得出

4呢-〃<4。即可判斷②正確；根據拋物線對稱軸在直線x=1.5的右側，得出（U）到對

稱軸的距離大于（2,7）到對稱軸的距離，根據.<0,拋物線開口向下，距離拋物線的對稱軸

越近的函數值越大，即可得出③錯誤；根據方程有兩個相等的實數解，得出

△=0—1）2—4ac=0,由a+6+c=l,即1—b=a+c,求出。=c,根據根與系數的關

C11

系得出加〃=—=1,即〃=一,根據〃23,得出一23,求出加的取值范圍，即可判斷④

amm

試題12

試題

正確.

【詳解】解：圖象經過(1,1),貝匹巴(1,1)代入y=ax2+bx+c,

得：a+b+c=l>0,故①正確；

圖象經過(1,1),c<0,即拋物線與了軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則拋物

線與x軸的交點都在(1,0)的左側，

(.0)中心3,

.?.拋物線與X軸的一個交點一定在(3,0)或(3,0)的右側，

拋物線的開口一定向下，即。<0,

,?*〃+b+c=1,

即6=1—a—c

Va<0,c<0,

:,b>G,->0,

a

，方程a*++c=0的兩個根的積大于0,即mn>0,

n>3,

m>0,

???------->1.5,即拋物線的對稱軸在直線x=1.5的右側，

2

???拋物線的頂點在點(1,1)的右上方，

.4ac-b2

??---------->1?>

4a

Va<0,

**-4ac—b2<4a，故②正確；

m>0,

,?拋物線對稱軸在直線x=1.5的右側，

1.(1,1)到對稱軸的距離大于(2,。到對稱軸的距離,

/a<0,拋物線開口向下，

試題13

試題

???距離拋物線越近的函數值越大，

???"1,故③錯誤；

方程q%2+C=X可變為Q%2+(6-1)X+C=0,

??,方程有兩個相等的實數解，

A=伍-1)2_4ac=0.

,**6Z+Z)+C=1,即1—b=Q+C

(a+c)2-4ac=0,

即a2+2ac+c2-4ac=0，

：.a-c=Q,即。=c,

V（m,0）,（凡0）在拋物線上，

，n為方程+6%+C=0的兩個根，

???加〃，=1,

a

1

,,n——,

m

,：n>3,

m

：.0<m<-.故④正確.

3

綜上，正確的結論有：①②④.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，拋物線上點的坐標的特征，待定系數法,

數形結合法，拋物線與x軸的交點，二次函數與一元二次方程的聯系，一元二次方程的根的

判別式，熟練掌握二次函數的性質和二次函數與一元二次方程的聯系是解題的關鍵.

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11.一元二次方程刀2-9=0的解是_.

【答案】/=3,必=-3.

【解析】

試題14

試題

【分析】先移項，在兩邊開方即可得出答案.

【詳解】：1-9=0

Ax2=9,

.?.X=±3,

即修=3,X2=-3,

故答案為修=3,X2=-3.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法，熟練掌握該方法是本題解題的關鍵.

12.如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m,若水面下降1m,則水面寬度

增加m.（結果可保留根號）

<----4m—>

【答案】（2V6-4）

【解析】

【分析】此題主要考查了二次函數的應用，根據已知建立坐標系從而得出二次函數解析式,

再通過把V=-1代入拋物線解析式得出水面寬度，是解決問題的關鍵.

【詳解】解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過水面45,縱軸了通過48中點。且通過

C點，則通過畫圖可得知。為原點,

則拋物線以》軸為對稱軸，且經過A,B兩點，可知O4=02=；/3=2m,

試題15

試題

則拋物線頂點C坐標為（0,2）,

設頂點式＞=?2+2,代入A點坐標（―2,0）,

得：Q-----，

2

19

所以拋物線解析式為y=--X2+2,

把y=-l代入拋物線解析式得出：-1=—X2+2,

2

解得：x=±^6，

所以水面寬度增加到2&m，比原先的寬度當然是增加了（2指-4）m,

故答案為：（26一4）.

13.關于x的方程5爐—機％—1=0的一根為1，則另一根為.

【答案】T

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，設這個一元二次方程的另一根為恐，

-1

根據一元二次方程的根與系數的關系可得lx%=不，進而可求解，熟練掌握一元二次方程

根與系數的關系是解本題的關鍵.

【詳解】解：設這個一元二次方程的另一根為乙,

:關于尤的方程5爐—加X—1=0的一根為1,

1

故答案為：一1?

14.如圖，己知正方形/BCD的邊長為3,E為CD邊上一點,DE=1.以點A為中心,

把△4DE順時針旋轉90°,得△ABE',連接EE',則EE'的長等于

試題16

試題

【答案】2#>

【解析】

【分析】根據旋轉的性質得到：BE，=DE=1,在直角中，利用勾股定理即可求解.

【詳解】根據旋轉的性質得到：BE,=DE=1,在直角AEEC中：EC=DC-DE=2,

CE'=BC+BE'=4.

根據勾股定理得到：EE，=7EC2+CE,2=V20=2A/5-

故答案為：2亞

15.如圖，轉盤中四個扇形的面積都相等，任意轉動這個轉盤2次，當轉盤停止轉動時，指

針2次都落在灰色區域的概率是.

4

【解析】

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法求概率是解答本題的關

鍵.畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及指針2次都落在灰色區域的結果數，再利用概率

公式可得出答案.

【詳解】解：因轉盤中四個扇形的面積都相等，可將轉盤看作是等分為灰、白兩種顏色，

畫樹狀圖如下：

試題17

試題

開始

灰色白色

灰色白色灰色白色

共四種等可能的結果，其中指針2次都落在灰色區域的結果有1種，

指針2次都落在灰色區域的概率是▲.

4

16.如圖，在丫45C。中，AB=C+1,BC=2,AH：LCD,垂足為H,AH=也.以點

A為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點瓦廠,G.若用扇形圍成

一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為4；用扇形圍成另一個圓錐的側面，記

這個圓錐底面圓的半徑為弓，則八-々=.（結果保留根號）

【答案】^##—V3

2424

【解析】

【分析】由丫A8C。，AB=y5+l,BC=2,AHLCD,AH=△，AD=BC=2,

口”=52_(3=]cosDAH=黑=與,AB=CD=M+\，AB//CD,求

解ND4H=30°,CH=43=AH，證明=NC44=45。，可得N8ZC=45°,

再分別計算圓錐的底面半徑即可.

【詳解】解：：在YA5CD中，AB=41,BC=2,AHLCD,AH=6

：.AD=BC=2,=,22—=1，

■■■cosZDAH=—=—，AB=CD=43+1，

AD2

試題18

試題

ADAH=30°,CH=也=AH，

：.NACH=ZCAH=45°,

'：AB//CD,

：.ABAC=45°,

.45乃xG-30萬xG

,?---------=2兀Y\，--------=2冗丫〉,

18011802

解得：r=,r?=^~，

1812

,3G2GV3

..yv*—-----------?

12-2424-24'

故答案為：立

24

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，扇形的

弧長的計算，圓錐的底面半徑的計算，熟記圓錐的側面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長

是解本題的關鍵.

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.)

17.解方程：(x—3)(x+1)=x—3.

【答案】西=3,x2=0

【解析】

【分析】本題考查了求解一元二次方程，把右邊的項移到左邊，然后提公因式法因式分解,

求出方程的兩個根.熟練掌握解一元二次方程的解法是解決問題的關鍵.

【詳解】解：,?,(%—3)(x+l)=(x—3),

(x—3)(x+l)—(x—3)—0,即(％—3)x=0,

，％-3=0或％=0,

**?再=3,=0.

18.已知二次函數yuf+bx+c的圖象經過4(0,2),5(1,-3)兩點.

(1)求b和c的值；

試題19

試題

(2)自變量x在什么范圍內取值時，y隨x的增大而減小？

【答案】(1)b=-6,c=2

(2)當x<3時，V隨x的增大而減小

【解析】

【分析】此題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及二次函數圖象上點的坐標特征，熟

練掌握待定系數法是解本題的關鍵.

(1)把已知兩點坐標代入拋物線解析式求出6與c的值即可；

(2)利用二次函數的性質確定出滿足題意x的范圍即可.

【小問1詳解】

解：將/(0,2),3(1,-3)代入3；=/+云+0,

c=2

得：…、，

\+b+c=-3

b=—6

解得：〈C,

c=2

b=-6,c=2；

【小問2詳解】

由(1)可知：y=x?-6x+2=(x-3)一一7,

則拋物線的對稱軸為直線x=3,。>0,開口向上，

...當x<3時，了隨x的增大而減小.

19.如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,在平面直角坐標系X。內，四邊形

4BC。的四個頂點都在格點上，且8(-2,1),。為幺。邊的中點.若把四邊形45C。繞著

點。順時針旋轉180。，試解答下列問題：

試題20

試題

（1）畫出四邊形48C。旋轉后的圖形；

（2）設點3旋轉后的對應點為H,寫出8'的坐標，并求5旋轉過程中所經過的路徑長（結

果保留乃）.

【答案】（1）見解析（2）"（2,—1）,也兀

【解析】

【分析】本題考查了旋轉變換作圖和弧長公式的計算方法，根據要求作出圖形是解決問題的

關鍵.

（1）根據旋轉的性質作圖即可；

（2）結合圖形可得點9的坐標，由旋轉可知點B的旋轉路徑是以。為圓心，

OB』”=6為半徑的半圓弧,進而即可求解?

【小問1詳解】

解：如圖所示，即為所求;

【小問2詳解】

由旋轉可知,"（2,—1）,

點B的旋轉路徑是以。為圓心，OB=712+22=V5為半徑的半圓弧.

則B旋轉過程中所經過的路徑長為右?.

20.已知關于x的方程/+4》+4-2=0

（1）當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；

（2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.

【答案】（1）（2）證明見解析

22

【解析】

【分析】（1）根據一元二次方程根與系數的關系列方程組求解即可;

試題21

試題

（2）要證方程都有兩個不相等的實數根，只要證明根的判別式大于0即可.

【詳解】解：（1）設方程的另一根為X1，

.?該方程的一個根為1,

a

]+再二一

1

a—2

1?玉

~T~

3

解得J].

Ct———

[2

■■-a的值為;，該方程的另一根為.

22

（2）---A=（2_—4x1x（。-2）=。~—4a+8=。~—4。+4+4=（。—2）+4〉0,

???不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.

【點睛】本題考查了根的判別式和根與系數的關系，注意：如果修，必是一元二次方程

bc

ax2+bx+c=Q（a、b、c為常數，aWO）的兩個根，貝!]制+必=，x「X2=—,要記牢公

aa

式，靈活運用.

21.如圖，48是。。的直徑，點C在O。上，且NC=8,BC=6.

C

（1）尺規作圖：過點。作ZC的垂線，垂足為E,交劣弧段于點。，連接（保留作

圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖形中，分別求和CD的長.

【答案】（1）見解析（2）OE=3,CD=245

【解析】

【分析】本題考查了作垂線，直徑所對的圓周角為直角，垂徑定理，勾股定理，中位線的性

質.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

試題22

試題

(1)如圖，作/。的垂直平分線，與圓的交點即為連接8即可；

(2)由題意可知點E為幺C的中點，可知為AABC的中位線，進而可得。E=45C=3,

2

由圓周角定理可知乙4c8=90。，再利用勾股定理可得/8=10,則。。=08=^28=5,

2

得DE=OD-OE=2,再結合勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

解：分別A、C以為圓心，大于的長為半徑畫弧交于點廠，連接。尸，與圓的交點

2

即為。，則OD即為幺C的垂線，連接C。，如圖即為所求；

由（1）可知，OD1AC,則ZE=CE=」ZC=4,即點E為NC的中點,

2

OA—OB,

???。力為△48C的中位線,

：.OE=-BC=3,

2

：48是。。的直徑，

乙4c8=90。，

由勾股定理可得：AB=^AC2+BC2=10-

AOD=OB=-AB=5,則Z>￡=一OE=2,

2

由勾股定理可得：CD=1由+B=245-

22.甲、乙兩位同學相約打乒乓球.

(1)有款式完全相同的4個乒乓球拍(分別記為/,B,C,D),若甲先從中隨機選取1個,

乙再從余下的球拍中隨機選取1個，求乙選中球拍C的概率；

(2)雙方約定：兩人各投擲一枚質地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面

向上，那么甲先發球，否則乙先發球.這個約定是否公平？為什么？

試題23

試題

【答案】（1）-

4

（2）公平.理由見解析

【解析】

【分析】（1）用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結果，再用乙選中球拍C的結果

數除以總的結果數即可；

（2）分別求出甲先發球和乙先發球的概率，再比較大小，如果概率相同則公平，否則不公

平.

【小問1詳解】

解：畫樹狀圖如下:

乙BCDACDABDABC

一共有12種等可能的結果，其中乙選中球拍C有3種可能的結果,

31

，乙選中球拍C的概率=一=—；

124

【小問2詳解】

解：公平.理由如下：

畫樹狀圖如下：

開始

第1枚正反

人八

第2枚正反正反

一共有4種等可能的結果，其中兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上有2種可能的結果,

，甲先發球的概率=2=!，

42

4-21

乙先發球的概率=——=—,

42

..j__j_

?一，

22

，這個約定公平.

【點睛】本題考查列表法或畫樹狀圖法求等可能事件的概率，游戲的公平性，掌握列表法或

畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關鍵.

試題24

試題

23.如圖，在中，ZABC=90°,AB=12cm,BC=2AB,動點P從點、4開始沿

邊48向點2以2cm/s的速度移動，動點0從點B開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移

動,如果P,0兩點分別從，，8兩點同時出發，那么VAPQ的面積s隨出發時間/而變

化.

（1）求出S關于/的函數解析式，寫出f的取值范圍；

（2）當/取何值時，S最大？最大值是多少？

【答案】（1）5=247-4/2（0</<6）

（2）當/=3時，的面積S有最大值36

【解析】

【分析】本題主要考查動點在線段上運動的規律，二次函數圖像與性質等知識，理解動點運

動中時間與△尸2。的面積關系是解題的關鍵.

（1）根據題意直接列式表示BP=（12-2。cm,8Q=4/cm,結合三角形的面積公式即

可作答；

（2）將（1）的結果配成頂點式，即可作答.

【