與題22槐阜就計自狼莊特征之泉除合

十年考情-探規律

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點1獨立性檢驗2024■全國甲卷、2023.全國甲卷、2022.全國新I卷

為載體及其應用2022?全國甲卷、2021?全國甲卷、2020.海南卷、2020?山東卷

（10年6考）2020?全國卷、2017■全國卷

考點2線性回歸直1.熟練掌握獨立性

線方程為載體及其應2022?全國乙卷2020?全國卷2018?全國卷2017?全國卷檢驗和線性回歸直

用2017?全國卷2016?全國卷2015?重慶卷線方程的求解，該內

（10年6考）容會繼續作為載體

2024.全國新II卷、2023?全國新I卷、2022?全國甲卷內容命題

考點3賽事類（分配

2022?北京卷、2021.全國新I卷、2020?全國卷、2019?天津卷2.熟練掌握二項分

類）的分布列及期望

2019?全國卷、2017?山東卷、2016?山東卷、2016?天津卷布、超幾何分布及其

方差

2015?重慶卷、2015?天津卷、2015?湖南卷、2015?安徽卷他類別的分布列與

（10年9考）

2015?福建卷期望方差問題，同樣

考點4其他類型的2024?北京卷、2023?全國新I卷、2021?北京卷、2020?江蘇卷是高考命題熱點

分布列及期望方差2019?北京卷、2018?北京卷、2018?全國卷、2017?全國卷3.掌握對立事件、

（10年9考）2017?江蘇卷、2016?全國卷、2015?山東卷相互獨立事件的概

考點5條件概率、全率求解，會求古典概

概率公式、貝葉斯公率、條件概率、全概

2023?全國新I卷、2022?全國新I卷、2022?全國新II卷

式率，同樣是高考命題

（10年2考）熱點

考點6求解數字樣4.要會概率統計的

本特征及應用2023?全國乙卷、2021.全國乙卷、2015?廣東卷綜合運算及知識雜

（10年3考）糅問題

考點7概率統計的2024?全國甲卷、2023?全國新H卷、2023?北京卷、2020?北京卷

實際應用與決策問題2020?全國卷、2019?北京卷、2019?全國卷、2018?全國卷

（10年7考）2017?北京卷、2016?四川卷、2016?北京卷、2016?全國卷

2016?全國卷、2016?全國卷、2015?陜西卷、2015?全國卷

考點8概率統計與

2023?全國新H卷、2021?全國新II卷

其他知識的雜糅問題

2020?江蘇卷、2019?全國卷

（10年4考）

分考點?精準練

考點01獨立性檢驗為載體及其應用

L（2024?全國甲卷?高考真題）某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間

的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下:

優級品合格品不合格品總計

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

⑴填寫如下列聯表:

優級品非優級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產品

的優級品率存在差異？

⑵已知升級改造前該工廠產品的優級品率P=0.5,設方為升級改造后抽取的n件產品的優級品率.如果

萬＞P+1.65J"二"，則認為該工廠產品的優級品率提高了，根據抽取的150件產品的數據，能否認為生

產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？（阿。12.247）

n(ad-be)1

附：K2=

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2023?全國甲卷?高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中

20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼

養在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

（1）設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數，求X的分布列和數學期望；

（2）實驗結果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數也再分別統計兩樣本中小于相與不小于的數據的個數，完成如下

列聯表：

O<m>m

對照組□

實驗組U

3）根□據（i）□中的列聯表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與正常環境中體重的增加量

有差異.

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(7?+d)'

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

3.（2022?全國新I卷?高考真題）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習

慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未

患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

⑴能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

⑵從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛生習慣不夠良好"，2表示事件"選到的人患有該疾

譙號與舞卷的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為

病".R.

(El)證明：

P(A|B)P(A\B)

（國）利用該調查數據，給出入川3）,「（川豆）的估計值，并利用（回）的結果給出R的估計值.

n(ad-be)2

附K?=

(a+b)(c+d)(4+c)(b+d)

P(^K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4.（2022?全國甲卷?高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和2兩家公司運營，為了解這兩家公司長

途客車的運行情況，隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯表：

準點班次數未準點班次數

A24020

B21030

⑴根據上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；

⑵能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關?

產品按質量分為一級品和二級品，為了比較

產品的質量情況統計如下表:

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?

n(ad-be)。

(a+b)(c+(/)(?+c)(b+d)

P(^K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

6.（2020?海南?高考真題）為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機

抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：gg/m3）,得下表：

S02

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

（2）根據所給數據，完成下面的2x2列聯表：

S02

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根據（2）中的列聯表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關?

n(ad-be)。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

7.（2020?山東?高考真題）為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機

抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：gg/m3）,得下表：

[0,50](50,150]050,475]

PM2.5

[035]32184

(35,75]6S12

(75,115]3710

（1）估計事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150"的概率;

（2）根據所給數據，完成下面的2x2列聯表：

[0,150](150,475]

PM2.5\^

[0,75]

(75」15]

（3）根據（2）中的列聯表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO,濃度有關?

n(ad-be)2

(a+b)(c+(/)(?+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

8.（2020,全國?高考真題）某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛

煉的人次，整理數據得到下表（單位：天）：

鍛煉

[0,200](200,400](400,600]

人次空氣質量等級

1（優）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；

（3）若某天的空氣質量等級為1或2,則稱這天“空氣質量好"；若某天的空氣質量等級為3或4,則稱這天

“空氣質量不好”.根據所給數據，完成下面的2x2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天

中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？

人次“00人次＞400

空氣質量好

空氣質量不好

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9.（2017?全國?高考真題）（2017新課標全國II理科）海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產

量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）.其頻率分布直方圖如下:

頻

率

I頻率

一

一

組-

距

組

距

.O

4O

.0O

3446

320..044

.00..0

0.024

0.020

0.020

0.014SOI0

0.012OO8

O.OO4

---------------------------------O.

O25303540455055606570箱產量/kgO3540455055606570箱產量/kg

舊養殖法新養殖法

⑴設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件："舊養殖法的箱產量低于50kg,新養殖法的箱產量

不低于50kg”,估計A的概率；

（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：

箱產量V50kg箱產量250kg

舊養殖法

新養殖法

⑶根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值（精確到0.01）.

m0.0500.0100.001n（ad-bcf

pfj?,K=

k3.8416.63510.828（a+b）（c+d）（“+c）3+d）

考點02線性回歸直線方程為載體及其應用

L（2022?全國乙卷?高考真題）某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種

樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材積量（單位:

n?）,得到如下數據：

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量先0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得=0.038,》>；=1.6158,￡他=0.2474.

i=li=li=l

⑴估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

⑵求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數（精確到0.01）；

⑶現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186mt已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值.

豆（此一丁）（》一歹）_____

附：相關系數「=I"'""，JL896?1-377.

岳一）玄（…了

Vi=li=l

2.（2020?全國?高考真題）某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加.為調查該

地區某種野生動物的數量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20

個作為樣區，調查得到樣本數據①，yi）（i=l,2,20）,其中x/?和w?分別表示第，個樣區的植物覆蓋面積（單

20202020

位：公頃）和這種野生動物的數量，并計算得=60,￡>=1200,￡（無「寸=80,￡（x-y）2=9000,

1=1Z=1Z=14=1

20

X5-丁）（％-》）=8。。.

（1）求該地區這種野生動物數量的估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均

數乘以地塊數）；

（2）求樣本（x/,丫//=1，2,…，20）的相關系數（精確到0.01）；

（3）根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物

數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

汽（X,-君⑶一了）

附：相關系數r=“,,2=1.414.

臣（X,-君2t（y「力2

Vz=li=l

3.（2018?全國?高考真題）下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額，（單位：億元）的折線圖.

為了預測該地區2018年的環境基礎設施

投資額，建立了＞與時間變量，的兩個線性回歸模型.根據2000年至2016年的數據（時間變量,的值依次

為1,2,-,17）建立模型①：夕=-30.4+13.5入根據2010年至2016年的數據（時間變量r的值依次為L2,-,7）

建立模型②：夕=99+17.57.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值;

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

4.（2017?全國?高考真題）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取

16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的

尺寸服從正態分布

（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在（〃-3b,u+3b）之外的零件數，求

尸（X21）及X的數學期望；

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（"-36”+36之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產

過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

但）試說明上述監控生產過程方法的合理性；

（0）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116

經計算得釬病-97,?0.212,其中&為抽取的第i個零件

的尺寸，/=1,2,,16.

用樣本平均數5作為4的估計值&,用樣本標準差S作為。的估計值5,利用估計值判斷是否需對當天的生

產過程進行檢查？剔除3-33,.+38）之外的數據，用剩下的數據估計〃和。（精確到0.01）.

附：若隨機變量Z服從正態分布N（〃,02）,貝|尸（〃一3b<Z<〃+3b）=0.9974,0.997416?0.9592,

V0.008x0.09.

5.（2017?全國?高考真題）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30min從該生產線上隨

機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經計算得了='>,=9.97,s=（占一=y=落］x0.212，

l-L616

￡（Z-8.5）218.439,2（%-可（i-8.5）=-2.78,其中士為抽取的第i個零件的尺寸，，=1，2,…』6.

V1=11=1

（1）求（專。?=1,2,...,16）的相關系數廠，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行

而系統地變大或變小（若卜|<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小）.

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在口-3s,元+3s）之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產

過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

（0）從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？

（0）在（元-3s,元+3s）之外的數據稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值

與標準差.（精確到0。1）附：樣本a，%）（i=l,2,...,〃）的相關系數

’0.008?0.09.

6.（2016?全國?高考真題）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（0）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與/的關系，請用相關系數加以說明；

（0）建立y關于f的回歸方程（系數精確到0Q1）,預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

附注：

77

參考數據：Ex-=9.32,￡丘=40.17,

1=14=1

=0.55,近=2.646.

）

參考公式：相關系數廠=|J,

住&-T這（％-蘇

V/=i/=i

￡&-，）（y-歹）

回歸方程＞=。+"中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=J----------，a=y-bT.

t（一了

i=l

7.（2015?重慶?高考真題）隨著我國經濟的發展，居民的儲蓄存款逐年增長.設某地區城鄉居民人民幣儲蓄存

款（年底余額）如下表：

年份20102011201220132014

時間代號f12345

儲蓄存款y（千億元）567810

（團）求y關于t的回歸方程、=匕+。

但）用所求回歸方程預測該地區2015年a=6）的人民幣儲蓄存款.

￡（改-x）（y,.-y）2匕％一”取

八b=-..........................=且---------

附：回歸方程券=〃+。中｛￡（"丁）2少一標2'

i=li=l

a=y-bx.

考點03賽事類（分配類）的分布列及期望方差

1.（2024?全國新II卷?高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如

下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少

投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得

。分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p,

乙每次投中的概率為分各次投中與否相互獨立.

（1）若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設o<p<g,

（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

2.（2023?全國新I卷?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投

籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中

率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P（X,=1）=1-2區=0）=%』,2,…則，*>[=/一記

k/=l）i=l

前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數為人求后代）.

3.（2022?全國甲卷?高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，

負方得。分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝

的概率分別為0.5,0,4,0,8,各項目的比賽結果相互獨立.

⑴求甲學校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

4.（2022?北京?高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以

上（含9.50m）的同學將獲得優秀獎.為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽

成績，并整理得到如下數據（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

⑴估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；

（2）設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；

⑶在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）

5.（2021?全國新I卷?高考真題）某學校組織“一帶一路"知識競賽，有48兩類問題，每位參加比賽的同

學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則

從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束4類問題中的每個問題回

答正確得20分，否則得0分；8類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答

A類問題的概率為0.8,能正確回答2類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

6.（2020?全國?高考真題）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比

賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，

直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比

賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

7.（2019?天津?高考真題）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為（.假定甲、乙兩位

同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.

（回）用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量X的分布列和數學期望；

（回）設M為事件"上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數

恰好多2",求事件M發生的概率.

8.（2019?全國?高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發球權，

先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5,

乙發球時甲得分的概率為04各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發球，兩人又打了X個球

該局比賽結束.

（1）求尸（X=2）；

（2）求事件"X=4且甲獲勝”的概率.

9.（2017?山東,高考真題）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方

法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對

比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者4,X,4,A4,

4,4和4名女志愿者82,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.

（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含與的概率.

（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.

10.（2016?山東?高考真題）甲、乙兩人組成"星隊"參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一

輪活動中，如果兩人都猜對，貝〃星隊"得3分；如果只有一個人猜對，貝星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，

貝廣星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是】3，乙每輪猜對的概率是彳2；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影

43

響.各輪結果亦互不影響.假設“星隊"參加兩輪活動，求：

（團）"星隊"至少猜對3個成語的概率；

（回）“星隊"兩輪得分之和為X的分布列和數學期望EX.

11.（2016?天津?高考真題）邢江中學高二年級某班某小組共10人，利用寒假參加義工活動，已知參加義工

活動次數為1，2,3的人數分別為2,4,4.現從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會.

（1）記"選出2人參加義工活動的次數之和為4”為事件A,求事件A發生的概率；

（2）設X為選出2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望.

12.（2015?重慶?高考真題）端午節吃粽子是我國的傳統習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，

肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.

（1）求三種粽子各取到1個的概率.

（2）設X表示取到的豆沙粽個數，求X的分布列與數學期望.

13.（2015?天津?高考真題）為推動乒乓球運動的發展，某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有

來自甲協會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員

中隨機選擇4人參加比賽.

（1）設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協會"，求事件A發生的

概率；

（2）設X為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.

14.（2015?湖南?高考真題）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從

裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球

中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.

（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求》的分布列和數學期望.

15.（2015?安徽?高考真題）已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢

測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.

（0）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（0）已知每檢測一件產品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的

檢測費用（單位：元），求X的分布列和數學期望.

16.（2015?福建?高考真題）某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖

定，小王到銀行取錢時，發現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6

個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續嘗試，直

至該銀行卡被鎖定.

5）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；

（團）設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為X,求X的分布列和數學期望.

考點04其他類型的分布列及期望方差

L（2024?北京?高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單

中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：

賠償次數01234

單數800100603010

假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司

賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立用頻率估計概率.

⑴估計一份保單索賠次數不少于2的概率；

（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.

（i）記X為一份保單的毛利潤，估計X的數學期望E（X）；

（0）如果無索賠的保單的保費減少4%,有索賠的保單的保費增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤的數學期望估計值與（i）中E（X）估計值的大小.（結論不要求證明）

2.（2023?全國新I卷?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投

籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中

率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且尸（X,=l）=l-P（X,=0）=西=1,2,…,明則￡曰＞,]=記

\z=l）i=l

前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數為九求后代）.

3.（2021?北京?高考真題）在核酸檢測中，筑合1”混采核酸檢測是指：先將上個人的樣本混合在一起進行1

次檢測，如果這上個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:

如果這左個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結

果，檢測結束.

現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.

（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1"混采核酸檢測.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數；

（"）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為1.設X是檢測的總次數，求X的

分布列與數學期望E（X）.

（II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用"5合1"混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，

試判斷數學期望E（y）與（I）中E（X）的大小.（結論不要求證明）

4.（2020?江蘇?高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現從甲、乙兩口袋

中各任取一個球交換放入另一口袋，重復"次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為l，恰有2個黑球的概

率為Pn,恰有1個黑球的概率為qn.

（1）求pi,qi和P2,92；

（2）求2pn+qn與2pnu+qn-l的遞推關系式和Xn的數學期望E（Xn）（用。表示）.

5.（2019?北京?高考真題）改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變.近年來，移動支付已成為主要

支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100

人，發現樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布

情況如下：

交付金額（元）

(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（0）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率；

（回）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000

元的人數，求X的分布列和數學期望；

（團）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現

他們本月的支付金額都大于2000元.根據抽查結果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000

元的人數有變化？說明理由.

6.（2018?北京?高考真題）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.

假設所有電影是否獲得好評相互獨立.

（0）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

（0）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

（回）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“4=1"表示第左類電影得到人

們喜歡，"孩=。"表示第左類電影沒有得到人們喜歡（笈=1，2,3,4,5,6）.寫出方差。芻,黨2,D4,

。4，D短的大小關系.

7.（2018?全國?高考真題）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品

作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結

果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為P（0<P<D,且各件產品是否為

不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為F（P）,求A。）的最大值點P。；

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的外作為。的值.已知每件產品

的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

8.（2017?全國?高考真題）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元,

未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫

（單位:回）有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區間［20,25）,需求量為300瓶;如果

最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得

下面的頻數分布表：

最高[10,[15,[20,[25,[30,[35,

氣溫15)20)25)30)35)40)

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

⑴求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位:瓶）的分布列.

（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位:元），當六月份這種酸奶一天的進貨量”（單位:瓶）為多少時,Y的

數學期望達到最大值？

9.（2017?江蘇?高考真題）已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m,neN,n>2），這些球除顏色外全部

相同.現將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3,……，m+n的抽屜內，其中第k次

取球放入編號為k的抽屜（k=l,2,3.....m+n）.

（1）試求編號為2的抽屜內放

的是黑球的概率P；

（2）隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E（x）是x的數學期望，證明

E(X)<

(m+n