第4章不定積分4.1不定積分的概念4.2換元積分法4.3分部積分法

本章小結

第4章不定積分

內容提要：微積分學主要研究微分和積分，微分學的基本問題是：已知一個函數,求它的導數。積分學的基本問題是：已知一個函數的導數,求出這個函數；積分分為不定積分和定積分兩大部分。本章將研究不定積分的概念、性質和基本積分方法。學習要求：能復述原函數的定義，知道不定積分的概念、性質，掌握基本積分方法，記住基本積分公式，會求簡單函數的不定積分。

4.1不定積分的概念4.1.1原函數與不定積分的概念設質點作直線運動,其運動的方程為s=s

(t)，那么質點的運動速度v=s′(t)，這就是已知一個函數，求這個函數的導數的問題。但是，在物理學中經常需要解決相反的問題：已知作直線運動的質點在任一時刻的速度v

(t)，求質點的運動方程s=s(t)，即由s′

(t)=v(t)求函數s(t

)。這就是由已知某函數的導數求原來函數的問題，從而引出原函數的概念。

定義1

如果在區間I

上,對任一x∈I，都有

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

則稱F

(x

)是f(x)在區間I

上的一個原函數，

例如，(sinx)′

=cosx

，那么sinx

就是cosx

的一個原函數。又如(x

2)′

=2x

，那么x

2是2x

的一個原函數。

研究原函數，首先要解決原函數的存在性問題，如果存在，原函數是否唯一?事實上，并不是每個函數都存在原函數，我們有如下定理：

原函數存在定理

如果函數f(x)在區間

I上連續，那么在區間I上存在可導函數F(x

)，使對任一x∈I都有

F

′

(x)=f(x)

也就是說：連續函數一定有原函數。

關于原函數有以下兩點說明：

(1)如果f(x)有一個原函數，那么f(x)就有無窮多個原函數。事實上，如果函數

f(x)在區間I上有原函數F(x

)，那么

[F

(x)+C]‘=F’(x)=f(x)

故F

(x

)+C(C

是任意常數)也是f(x)的原函數，即f(x)有無窮多個原函數。

(2)f(x)的任意兩個原函數相差一個常數。

如果函數F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數，而G(x)是f(x)在I上的另一個原函數。由于

[G(x)-F(x

)]′=G′(x)-F′

(x)=f(x)-f(x)=0

所以

G(x)-F(x)]=C0(C0為某個常數)

這表明f(x)的任意兩個原函數只相差一個常數。因此F(x

)的全體原函數可表示為

F(x

)+C(C

是任意常數)

由此我們引進不定積分的概念。

定義2

函數f

(x)的全體原函數F(x)+C

稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx，

即

∫f(x)dx=F(x)+C

其中記號“∫”稱為積分號，

f(x)稱為被積函數，x

稱為積分變量，f

(x)dx稱為被積表達式，

C

稱為積分常數。

由定義知，上述求質點的運動方程問題，就是求速度v

(t

)的不定積分,即

s

(t)=∫v

(t)dt

根據定義，要求函數f(x)的不定積分，就是求函數f(x)的全體原函數。實際上只要求出f(x)的一個原函數，再加上任意常數C

即可。

4.1.2不定積分的幾何意義

函數f

(x)的原函數的圖形稱為f(x)的積分曲線。因此

不定積分∫f(x)dx=F(x)+C

，在幾何上表示一族積分曲

線,這族積分曲線中的任何一條曲線對應于橫坐標x處的點

的切線都互相平行，且切線的斜率等于f(x)，如圖4－1所示。

圖4－1

例4

設曲線過點(1,2)，且其上任一點處的切線斜率

為2x

，求此曲線的方程。

解設所求的曲線方程為y=f(x)，依題意，曲線上任一點(x,y)處的切線斜率為2x

，因此y′=f′(x

)=2x

，即f(x)是2x的一個原函數。所以

∫2xdx=x2+C

故f

(x)=x2

+C

即曲線方程為y=x2+C.又曲線過點(1,2),所以C

=1.

因此,所求曲線方程為

y

=x2++1

函數f(x

)的原函數的圖形稱為f(x)的積分曲線.例4就是求函數2x

的一條過點(1,2)的積分曲線.如圖4－2所示.

圖4－2

4.1.3不定積分的性質

設下列被積函數的原函數均存在，則不定積分有如下性質：

性質1

[∫f

(x)dx]

′

=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx

性質2∫f′(x

)dx=f(x)+C

或∫df(x)=f(x)+C

性質3∫[f(x)±g(x)]dx

=∫f(x)dx±∫g

(x)dx

性質4∫kf(x)dx

=k∫f

(x)dx

(k≠0為常數)

4.1.4不定積分的基本積分公式

不定積分運算與求導運算一般是可逆運算，因此根據基本導數公式可以得到相應的積分公式，羅列如下(通常稱為基本積分表)，它們是不定積分的基礎，必須熟記。

習題4－1

1.填空題:

(1)函數sinx是函數

的原函數,函數sinx的一個原函數是

。

(2)若∫f

(x)dx=xlnx+c

，則f'(x

)=

.

(3)d∫e-x2dx

=

.

(4)∫(sinx)'dx=

.

(5)∫cosx

dx=

.

2.求下列不定積分:

3.已知某質點在時刻t的速度v=5t+2，且當t=0時路程

s=8。

求此質點的運動方程。

4.求經過點(2,5)，且其切線斜率為2x的曲線方程。

4.2換元積分法

利用基本積分表中的公式和不定積分的性質只能求出一些比較簡單的不定積分，本節介紹一種利用中間變量的代換求不定積分的方法，稱為換元積分法,簡稱換元法。

我們給出第一類換元積分法,也稱湊微分法.

定理1設

f(u)具有原函數,u=φ(x)可導,則有換元公式

可見,第一類換元法的關鍵在于將被積函數的一部分湊到微分里,選擇一個適當的函數φ

(x

)=u

作為新的積分變量,把所求的積分變形為基本積分表中已有的形式.

4.2.2第二類換元積分法(去根號法)

定理2設x=φ

(t)單調可導,且φ′(t)≠0,若∫f

[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C,則

∫f(x)dx=∫f[φ(

t)]φ

′(t)dt=F(t)+C=F[φ-1(x

)]+C

第二類換元法的關鍵是恰當地選擇一個x=φ

(t)，將x

的微分寫出來,使被積函數轉變為基本積分表中已有的形式.

圖4－3圖4－4圖4－5

下面一些積分可以由換元積分法求出，它們可以作為基本積分公式使用(為統一記憶，編號接4.1.4小節積分公式編號)：

習題4－2

1.填空題:

2.求下列不定積分:

4.3分部積分法

通過前面內容的學習，利用基本積分法和換元積分法可以解決大量的不定積分計算問題，但是諸如∫x

cosxdx，∫xexdx

，∫xlnxdx等不定積分就無法用上述方法求出。本節將介紹另一種基本積分方法———分部積分法。

定理設函數u=u

(x)，

v=v(x)有連續導數,則∫udv=uv

-∫vdu。

事實上，由于(uv)‘=u’v+uv‘，即

uv’=(uv)‘-u’v(1)

上式兩邊求不定積分，得

∫uv'dx=uv-∫u'vdx(2)

這就是分部積分公式,也可寫成

∫udv=uv-∫vdu

(3)

分部積分公式表明：當我們求∫uv‘dx=∫udv有困難時，可以轉化為求∫u’vdx=∫vdu；使用分部積分公式的關鍵在于，恰當地選擇u與dv。

通常是把欲求的被積函數分成兩部分：一部分作為u，另一部分與dx湊在一起作為dv。

下面舉一些例子說明如何運用這個重要公式。

習題4－3

求下列不定積分:

本章小結

一、不定積分的概念

1.原函數的概念如果在區間I

上,對任一x∈I

，都有F′(x)=f(x)(或dF(x)=f(x)dx)，則稱F(x)是f(x)在區間I

上的一個原函數;如果函數f(x)有原函數,那么它就有無窮多個原函數,并且其中任意兩個原函數的差為常數；如果函數f(x)在某一個區間上連續,則函數f(x)在該區間上的原函數必定存在。也就是說,連續函數一定有原函數,并且原函數也是連續的。

2.不定積分的概念

函數f(x)的全體原函數F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx，即∫f

(x)dx=F(x)+C

；它在幾何上表示一族積分曲線，這族積分曲線中的任何一條曲線對應于橫坐標x處的點的切線都互相平行,且切線的斜率等于f(x)。

導數與積分互為逆運算,由導數基本公式即可得到基本積分公式。

二、不定積分的性質

1.不定積分的性質

2.直接積分法

直接積分法是直接應用積分性質與基本積分公式求得積分.它是其他一些積分法的基礎,直接積分法的實質,就是直接利用基本運算法則把被積表達式化為基本積分公式直接

寫出結果.但在具體運算時,常要對被積函數經過適當的代數或三角的恒等變形才能實現.三、換元積分法

換元積分法的實質是把一個不能直接運用基本積分公式的被積函數,通過適當的變量代換,使它變成可以直接運用積分公式的形式,然后再由積分公式求出積分.

1.第一類換元法(湊微分法)

設F

(u

)為f(u)的原函數,u=φ(x)可微,則

“湊微分法”的特點是先“湊”微分再求積分,即將被積函數看做兩部分的乘積,其中一部分與dx湊起來稱為中間變量u

的微分du,而另一部分可以表示為u

的函數f

(u

),使∫f(u)du可以用積分公式求出