第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省莆田五中高二（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在等差數列{an}中，若a4+A.4 B.±4 C.8 D.±82.在空間直角坐標系O?xyz中，平面α過原點O，其一個法向量為a=(1,0,1)，則點P(2,0,1)到α的距離為(

)A.355 B.35 3.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點A(m,1)到其焦點的距離為p，O為坐標原點，則|OA|=(

)A.2 B.52 C.4 4.等比數列{an}共有2n項，其和為240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q=A.14 B.2 C.1 D.5.從2017年起，某人每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉為新的一年的定期，到2021年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(單位：元)的總數為(

)A.a(1+p)4 B.a(1+p)5

C.6.已知F是橢圓C：x29+y25=1的左焦點，P為C上一點，A.103 B.113 C.4 7.過雙曲線x2a2?y2b2=1的左焦點F1A.2 B.3 C.2 8.已知點O(0,0)，A(0,1)，B(1,1)，C(1,0)，平面上僅在線段OA，AB，BC所在位置分別放置一個雙面鏡.現有一道光束沿向量s=(1,m)(m>0)的方向從線段OC上某點(不含端點)射入，若光束恰好依次在BC，AB，OA各反射一次后從線段OC上某點射出，則m的取值范圍是(

)A.(13,2) B.(12,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列命題不正確的是(

)A.若數列{an}的前n項和為Sn=n2+2n?1，則數列{an}是等差數列

B.等差數列{an}的公差d>010.圓C：x2+y2+4x?6y?3=0，直線l：3x?4y?7=0，點P在圓C上，點Q在直線A.直線l與圓C相交

B.|PQ|的最小值是1

C.從Q點向圓C引切線，切線長的最小值是3

D.直線y=k(x?2)+4與曲線y=1+4?x211.點P是棱長為1的正方體ABCD?A1B1CA.當P在平面CC1D1D上運動時，四棱錐P?ABB1A1的體積發生變化．

B.當P在線段AC上運動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[π3,π2]

C.若F是A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF//平面12.已知直線l1：ax+2y?4=0，l2：x?(a?3)y?2=0.若l1//l213.在如圖所示的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BA14.已知數列{an}滿足an+1=an+1,an<3,an3,an≥3,記四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知等差數列{an}公差為d，d≠0，a2=7，且a1，a4，a5成等比數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設b16.(本小題12分)

已知圓C經過點A(3,1)，B(?1,3)，且它的圓心C在直線3x?y?2=0上．

(1)求圓C的方程；

(2)若E點為圓C上任意一點，且點F(4,0)，求線段EF的中點M的軌跡方程．17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E，F分別是AD，PC的中點．

(Ⅰ)證明：PC⊥平面BEF；

(Ⅱ)求平面BEF與平面BAP18.(本小題12分)

已知數列{an}滿足a1+3a2+5a3+?+(2n?1)an=(n?1)3n+1(n∈N?)．

(1)求{an}的通項公式；

(2)在an和19.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為32，點A(3,52)在C上，F是C的右焦點．

(1)求雙曲線C的標準方程．

(2)不過點A的直線l與C交于兩個不同的點M，N，若直線AM和AN的斜率之和為3．

(i)求證：l經過定點B；

(ii)若線段參考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.D

6.D

7.A

8.C

9.ACD

10.BCD

11.BC

12.1

13.314.99

11315.解：(1)已知等差數列{an}公差為d，d≠0，且a1，a4，a5成等比數列，

則a1+d=7(a1+3d)2=a1(a1+4d)，解得a1=9d=?2，

a16.解：(1)由已知可設圓心N(a,3a?2)，又由已知得|NA|=|NB|，

從而有(a?3)2+(3a?2?1)2=(a+1)2+(3a?2?3)2，解得：a=2．

于是圓N的圓心N(2,4)，半徑r=10．

所以，圓N的方程為(x?2)2+(y?4)2=10．

(2)設M(x,y)，又點D是圓N：(x?2)2+(y?4)2=10上任意一點，

17.解：(Ⅰ)以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

∵AP=AB=2，BC=AD=22，四邊形ABCD是矩形．

∴A，B，C，D的坐標為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22,0)，D(0,22,0)，P(0,0,2)

又E，F分別是AD，PC的中點，

∴E(0,2,0)，F(1,2,1)．

∴PC=(2,22,?2)，BF=(?1,2,1)，EF=(1,0,1)，

∴PC?BF=?2+4?2=0，PC?EF=2+0?2=0，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，

∴PC⊥平面BEF．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面BEF的法向量18.解：(1)數列{an}滿足a1+3a2+5a3+?+(2n?1)an=(n?1)3n+1(n∈N?)，

當n=1時，a1=1，

當n≥2時，由a1+3a2+5a3+?+(2n?1)an=(n?1)3n+1(n∈N?)，

可得a1+3a2+5a3+?+(2n?3)an?1=(n?2)3n?1+1，

兩式相減可得(2n?1)an=[(n?1)3n+1]?[(n?2)3n?1+1]=(2n?1)3n?1(n≥2)．

所以an=3n?1(n≥2)，

上式對n=1也成立，

所以{an}的通項公式為an=3n?1．

(2)19.解：(1)因為點A(3,52)在雙曲線上，且離心率為32，

所以9a2?254b2=1ca=32a2+b2=c2，

解得a2=4，b2=5，

則雙曲線C的標準方程為x24?y25=1；

(2)(i)證明：設M(x1,y1)，N(x2,y2)，

此時kAM=y1?52x1?3，kAN=y2?52x2?3，

則kAM+kAN=y1?52x1?3+y2?52x2?3=3，

整理得(x2?3)(y1?52)+(x1?3)(y2?52)=3(x1?3)(x2?3)，