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文檔簡介

第二節正交化12標準正交基施密特正交化方法設Ｖ為歐氏空間，非零向量1、正交向量組如果它們兩兩正交，則稱之為正交向量組（orthononalvectors）.一、標準正交基證：設非零向量兩兩正交.令則由知故線性無關.1）

正交向量組必是線性無關向量組.注意1、正交向量組一、標準正交基3.

維歐氏空間中正交向量組所含向量個數2.

歐氏空間中線性無關向量組未必是正交向量組．例如：中線性無關．但不是正交向量組.1、正交向量組一、標準正交基維歐氏空間中，由個向量構成的正交向量組稱為正交基（orthogonalbasis）；2、標準正交基由單位向量構成的正交基稱為標準正交基（normalorthogonalbasis）.

注意1.由正交基的每個向量單位化，可得到一組標準正交基.一、標準正交基2.維歐氏空間V中的一組基為標準正交基3.維歐氏空間V中的一組基為標準正交基當且僅當其度量矩陣

①

2、標準正交基一、標準正交基4.維歐氏空間V中標準正交基的作用:設為V的一組標準正交基，則1)設由①，有②2、標準正交基一、標準正交基2)

③這里

3)2、標準正交基一、標準正交基設與是維歐氏空間V中的兩組標準正交基，它們之間過渡矩陣是

即

3、標準正交基間的基變換或由于是標準正交基，所以一、標準正交基

由公式③，有把A按列分塊為所以3、標準正交基間的基變換一、標準正交基（1）由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣.注意：（2）設是標準正交基，A為正交矩陣，若

則也是標準正交基.

（3）為正交矩陣A的列向量組是歐氏空間的標準正交基.（4）為正交矩陣A的行向量組是歐氏空間的標準正交基.3、標準正交基間的基變換一、標準正交基（定理1）

維歐氏空間中任一個正交向量組都能擴充成一組正交基.二、施密特(Schmidt)正交變換法證：設歐氏空間Ｖ中的正交向量組，對作數學歸納法．當時,

就是一組正交基了.

假設時結論成立，即此時可找到向量

使成為一組正交基.現在來看的情形.所以必有向量不能被線性表示，因為作向量待定．從正交向量組的性質知二、施密特(Schmidt)正交變換法于是取即為正交向量組．由歸納法假設知，對這個向量構成的正交組可得可擴充得正交基.定理得證．二、施密特(Schmidt)正交變換法都可找到一組標準正交基使（定理2）對于維歐氏空間中任一組基證：基本方法─逐個構成出滿足要求的首先，可取

一般地，假定已求出是單位正交的，且

④

當時，因為有二、施密特(Schmidt)正交變換法由④知不能被線性表出．按定理1證明中的方法，作向量⑤

即則且

二、施密特(Schmidt)正交變換法再設

可知是單位正交向量組．從④和⑤知與

是等價向量組，因此，有由歸納原理，定理2得證.二、施密特(Schmidt)正交變換法則過渡矩陣是上三角形（即） 注意且

1）

由知，若二、施密特(Schmidt)正交變換法

2）

Schmidt正交化過程:化成正交向量組先把線性無關的向量組再單位化得標準正交向量組二、施密特(Schmidt)正交變換法例1

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