人教A版高中數學選擇性必修三7.3.2第2課時-離散型隨機變量的方差的綜合問題-導學案學習目標1.掌握離散型隨機變量的方差的性質.2.會用離散型隨機變量的均值和方差解決一些實際應用問題．一、方差的性質問題你能推導出Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))與Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aX＋b))的關系嗎？例1已知X的分布列如表所示：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a(1)求X2的分布列；(2)計算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．反思感悟方差性質應用的關注點(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)優勢：既避免了求隨機變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數的計算，從而簡化了計算過程．跟蹤訓練1已知隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，則D(2X－1)等于()A.eq\f(5,4)B.eq\f(5,2)C．4D．5二、方差的實際應用例2甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數相同，所得次品數分別為X，Y，且X和Y的分布列如下表：X012P0.60.10.3Y012P0.50.30.2根據次品數的均值和方差，試對這兩名工人的技術水平進行比較．反思感悟隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．跟蹤訓練2甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量也大致相等，兩個保護區內每個季度發生違反保護條例的事件次數的分布列分別為甲保護區：ξ0123P0.30.30.20.2乙保護區：η012P0.10.50.4試評定兩個保護區的管理水平．三、決策問題例3某保險公司對一個擁有20000人的企業推出一款意外險產品，每年每位職工只要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業的所有崗位共分為A，B，C三類工種，從事這三類工種的人數分別為12000，6000，2000，由歷史數據統計出三類工種的賠付頻率如表(并以此估計賠付概率)：工種類別ABC賠付頻率eq\f(1,105)eq\f(2,105)eq\f(1,104)已知A，B，C三類工種的職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年10萬元．(1)求保險公司在該業務中所獲利潤的均值；(2)現有如下兩個方案供企業選擇：方案1：企業不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給意外職工，企業開展這項工作的固定支出為每年12萬元；方案2：企業與保險公司合作，企業負責職工保費的70%，職工個人負責保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業無額外專項開支．請根據企業成本差異給出選擇合適方案的建議．反思感悟均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩定．(3)在決策中常結合實際情形依據均值、方差做出決斷．跟蹤訓練3某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研．項目A：通信設備．根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為eq\f(7,12)，eq\f(1,6)，a.項目B：新能源汽車．根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發生的概率分別為b，c.經測算，當投入A，B兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等．(1)求a，b，c的值；(2)若將100萬元全部投到其中一個項目，請你從投資回報穩定性的角度考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由．1．知識清單：(1)方差的性質．(2)方差的實際應用．2．方法歸納：轉化化歸．3．常見誤區：公式計算錯誤．1．已知隨機變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)等于()A．6B．8C．18D．202．已知隨機變量ξ滿足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，則E(ξ)和D(ξ)的值分別為()A．0.6和0.7 B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.213．設0＜a＜eq\f(1,2)，隨機變量X的分布列是：X－112Peq\f(1,2)－aeq\f(1,2)＋eq\f(a,2)eq\f(a,2)則當D(X)最大時的a的值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,16)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,25)4．已知隨機變量ξ的分布列如下表，D(ξ)表示ξ的方差，則D(2ξ＋1)＝________.ξ012Pa1－2aeq\f(1,4)參考答案與詳細解析問題Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aX＋b))＝a2Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X)).例1解(1)由分布列的性質知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，解得a＝eq\f(1,4)，所以X2的分布列為X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)(2)方法一由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16).方法二由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝eq\f(11,16).(3)因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.跟蹤訓練1D[∵P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，∴E(X)＝eq\f(1,4)×(1＋2＋3＋4)＝eq\f(5,2)，D(X)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(5,2)))2))＝eq\f(5,4)，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×eq\f(5,4)＝5.]例2解E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81.E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61.E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，兩者的均值相同，但乙的穩定性比甲好，故可認為乙的技術水平更高．跟蹤訓練2解甲保護區的違規次數ξ的均值和方差分別為E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護區的違規次數η的均值和方差分別為E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以兩個保護區內每個季度發生的違規事件的平均次數相同，但甲保護區的違規事件次數相對分散和波動，乙保護區內的違規事件次數更集中和穩定，故乙保護區的管理水平較高．例3解(1)設工種A，B，C職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量X，Y，Z，則X，Y，Z的分布列分別為X2525－100×104P1－eq\f(1,105)eq\f(1,105)Y2525－100×104P1－eq\f(2,105)eq\f(2,105)Z4040－50×104P1－eq\f(1,104)eq\f(1,104)所以E(X)＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,105)))＋(25－100×104)×eq\f(1,105)＝15(元)，E(Y)＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,105)))＋(25－100×104)×eq\f(2,105)＝5(元)，E(Z)＝40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))＋(40－50×104)×eq\f(1,104)＝－10(元)，保險公司所獲利潤的均值為12000×15＋6000×5－2000×10－100000＝90000(元)，所以保險公司在該業務中所獲利潤的均值為9萬元．(2)方案1：企業不與保險公司合作，則企業每年安全支出與固定開支共為12000×100×104×eq\f(1,105)＋6000×100×104×eq\f(2,105)＋2000×50×104×eq\f(1,104)＋12×104＝46×104(元)；方案2：企業與保險公司合作，則企業支出保險金額為(12000×25＋6000×25＋2000×40)×0.7＝37.1×104(元)．因為46×104>37.1×104，所以建議企業選擇方案2.跟蹤訓練3解(1)依題意，得eq\f(7,12)＋eq\f(1,6)＋a＝1，解得a＝eq\f(1,4).設投到項目A，B的資金都為x萬元，變量X1和X2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，則X1和X2的分布列分別為X10.4x－0.2x0Peq\f(7,12)eq\f(1,6)eq\f(1,4)X20.3x－0.1xPbc所以E(X1)＝0.4x×eq\f(7,12)＋(－0.2x)×eq\f(1,6)＋0×eq\f(1,4)＝0.2x，E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因為E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2.①又b＋c＝1，②由①②，解得b＝eq\f(3,4)，c＝eq\f(1,4)，所以a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，c＝eq\f(1,4).(2)選擇項目B.理由如下：當投入100萬元資金時，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，D(X1)＝(40－20)2×eq\f(7,12)＋(－20－20)2×eq\f(1,6)＋(0－20)2×eq\f(1,4)＝600，D(X2)＝(30－20)2×eq\f(3,4)＋(－10－20)2×eq\f(1,4)＝300.因為E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，說明雖然項目A和項目B的平均收益相等，但項目B更穩妥，所以從風險回報穩定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項目B.隨堂演練1．C[∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.]2．D[E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.]3．D[根據隨機變量的分布列和均值與方差的計算公式，可得E(X)＝－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(a,2)))＋2×eq\f(a,2)＝eq\f(5a,2)，又由E(X2)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(a,2)))＋22×eq\f(a,2)＝1＋eq\f(3,2)a，可得D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1＋eq\f(3,2)a－eq\f(25a2,4)＝－eq