吉安市高二上學期期末教學質量檢測2025.1數學試題（測試時間：120分鐘卷面總分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自已的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據直線的方程可得出其傾斜角.【詳解】因為為常數，故直線的傾斜角為.故選：A.2.橢圓的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據橢圓方程確定焦點位置，進而寫出其坐標.【詳解】由題設，故橢圓的焦點在軸上，且，所以焦點坐標為.故選：B3.直線與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據兩平行直線的距離公式計算即可求解.【詳解】因為直線和平行，由兩條平行直線間的距離公式可得．故選：D．4.已知雙曲線與雙曲線的離心率相同，則（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】【分析】先分別求得雙曲線和雙曲線的離心率，再根據其離心率相同求解.【詳解】解：因為雙曲線，所以，則，，又雙曲線，所以，則，因為雙曲線與雙曲線的離心率相同，所以，解得，則，故選：A5.圓與圓的公切線條數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據兩圓的位置關系可判斷兩圓公切線的條數.【詳解】圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，則，由于，即，故圓與圓相交，其公切線條數為．故選：C．6.如圖，正四面體中，分別為中點，為線段上一動點，設，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，再利用向量的加法法則與減法法則即可求得結果.詳解】設,則故,故選：B7.春節檔將有多部影片上映，小明一行五個人準備在大年初一各自從四部影片中選一部去觀看．已知每部影片都有人選，且小明沒有選影片，則所有不同的選法種數為（）A.72 B.96 C.180 D.288【答案】C【解析】【分析】先將五人進行分組，再根據題意進行影片選擇，由分步乘法計數原理可得結果.【詳解】根據題意先將五人分成四組，共有種，再將四組人員分別分配去觀看四部電影，且有小明的一組人員沒有選影片，共有種，因此所有不同的選法種數為種.故選：C8.如圖，四邊形，，現將沿折起，當二面角的值屬于區間時，直線和所成角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點為，連接，易知是的平面角，根據已知構建合適的空間直角坐標系，再應用向量法求得直線和所成角的余弦值關于的表達式，即可求最大值.【詳解】取的中點為，連接，又，所以，且，是的平面角，由都在面內，故面，面內過作，可構建如下圖示的空間直角坐標系，則，由，則，且，所以，則，當時，最大.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：構建合適空間直角坐標系，并確定含參的點坐標為關鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點在拋物線上，且，其中為拋物線的焦點，則（）A.拋物線的準線為 B.點的坐標為C. D.過點作軸于點，則的面積為【答案】AD【解析】【分析】根據拋物線的定義得，進而得到準線、焦點判斷A、B；將代入拋物線判斷C；求出三角形面積判斷D.【詳解】根據拋物線的定義知，，則，所以拋物線的準線為，焦點，A對，B錯；將代入拋物線，得，C錯；由軸于點，則，故，所以的面積為，D對.故選：AD10.已知展開式中二項式系數之和為64，則（）A. B.展開式的各項系數之和是1C.展開式中第4項的二項式系數最大 D.展開式中常數項為240【答案】BCD【解析】【分析】根據二項式系數之和得到，再根據二項式及展開式通項、組合數、賦值法判斷各項的正誤.【詳解】A，由題設，二項式系數之和，A錯；B，所以時各項系數之和為，B對；C，由組合數的性質知，，即時二項式系數最大，C對；D，對于，則，，令，則常數項為，D對.故選：BCD11.已知點，且點在直線上，下列說法正確的是（）A.的最大值為3B.若線段與直線有交點，則C.當時，存在點，使得D.當時，周長的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】易知的最大值為的長度，可得A正確，求得兩直線交點坐標得出不等式可得B正確，求出以為直徑的圓方程可得C錯誤，利用點關于直線對稱即可求得D正確.【詳解】對于A，由點可知兩點的縱坐標相同，即平行于軸，且的長度為3，因此的最大值為的長度3，即A正確；對于B，易知的方程為,可知直線與的交點坐標為?3,2；若線段與直線有交點，可得，解得，即B正確；對于C，當時可得，以為直徑的圓方程為，顯然圓心到直線的距離為，即直線與圓相離，沒有交點，所以不存在點，使得，即C錯誤；對于D，當時，設關于直線的對稱點坐標為，可得，解得，即，如下圖所示：顯然的周長為，即D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：求解周長最值以及線段長度最值問題時，經常求出對稱點坐標結合三角形性質可得結論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量滿足，則______．【答案】4【解析】【分析】根據空間向量的坐標表示和垂直向量的坐標表示計算即可求解.【詳解】因為，故，解得．故答案為：413.已知圓過三點，則圓的面積為______．【答案】【解析】【分析】設圓的一般方程，將三點的坐標代入方程，利用待定系數法求解圓的方程，結合圓的面積公式計算即可求解.【詳解】設圓的方程為，代入三點坐標可得，解得，所以圓的方程為，其標準方程為，半徑，故其面積．故答案為：14.已知雙曲線的左，右焦點分別為，過點作軸的垂線與雙曲線在第一象限交于點為坐標原點，若，且，則雙曲線的離心率為_________．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，確定直角三角形的直角頂點位置，建立方程并結合雙曲線定義求出，再借助相似三角形性質列式求解作答.【詳解】根據題意軸，所以為直角三角形，由有，設，把代入有，所以，即，由有，由，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.現有0，1，2，3，4這五個數字，回答下列兩個問題．（1）用這5個數字能夠組成多少個無重復數字的五位數？（2）用這5個數字能夠組成多少個無重復數字的五位偶數？【答案】（1）96；（2）60.【解析】【分析】（1）先排數字0，再排其它4個數字即可計算得解；（2）選偶數先排個位數，分個位數字為0和個位數字為2或4兩種情況，再排其它數位；【小問1詳解】先排數字0，0只能占除最高位外的其余四個數位，有種排法，再排四個非0數字有種，由分步乘法計數原理得，所以能組成96個無重復數字的五位數；小問2詳解】當個位數字為0時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，當個位數字為2或4時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，所以用這5個數字能夠組成組成個無重復數字的五位偶數；16.已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線交橢圓于兩點，且線段的中點為，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由點在橢圓上及、橢圓的參數關系求橢圓方程；（2）由題意，設，聯立橢圓及韋達定理和中點坐標求參數k，即可得直線方程.【小問1詳解】由題設，可得，則橢圓；【小問2詳解】由題設，令，聯立橢圓，所以，整理得，則，整理易得，所以，可得，直線的斜率為1.17.已知的圓心在軸上，且經過點和．（1）求的標準方程；（2）過點的直線與交于兩點．①若，求直線的方程；②求弦最短時直線的方程．【答案】（1）（2）①或；②；【解析】【分析】（1）設出圓心坐標，根據圓上點的坐標解方程即可；（2）①根據弦長求得圓心到直線的距離，分別討論直線的斜率是否存在解方程可得結果；②易知當時，弦最短，由直線的點斜式方程計算可得結果.【小問1詳解】設圓心坐標為，依題意可得：，解得；則該圓的圓心為，半徑為；故的標準方程為：；【小問2詳解】①由過點的直線與交于兩點，設圓心到直線的距離為,由，可得，；當直線斜率不存在時，直線方程為，滿足題意；當直線斜率存在時，設直線方程為，即，解得，故直線的方程為，即.綜上可知，直線的方程為或；②依題意可知點在圓內，如下圖所示：設圓心到直線的距離為，由弦長公式可得，顯然當取得最大值時，即時，此時，即當時，弦最短，易知，因此直線的斜率為，可得直線的方程為，即.18.在長方體中，側面為正方形，，為線段（不包含端點）上一動點，請利用空間向量法解決下列兩個問題．（1）若，求的長度；（2）求點到平面距離的取值范圍．【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）構建合適空間直角坐標系，設且，應用向量垂直的坐標表示列方程求參數m，即可得長度；（2）求出面的一個法向量，應用點面距離的向量求法求范圍.【小問1詳解】構建如下圖示的空間直角坐標系，則，設且，則，，又，則，可得，所以的長度為1.【小問2詳解】若是面的一個法向量，則，令，則，而，故，所以點到平面距離，，所以，且，故.19.已知雙曲線的漸近線方程為，與軸的正、負半軸分別交于，兩點，過點的直線與的右支交于，兩點.（1）若的斜率存在，求出斜率的取值范圍；（2）探究：是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由（其中，分別表示直線，的斜率）；（3）若直線，交于點，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）是，（3）【解析】【分析】（1）設，，直線的方程為，與雙曲線方程聯立利用韋達定理可得答案；（2）由韋達定理代入可得答案；（3）設直線與直線的方程分別為，，聯立兩直線方程可得交點的橫坐標為1，可得，再利用的單調性可得答案.【小問1詳解】由的漸近線方程為可得，易知直線的斜率不為0，設，，直線的方程為，聯立雙曲線與直線得，，則解得，再由斜率存在以及可得，的取值范圍為；【小問2詳解】依題意，，，由韋達定理可知，，，于是，因此；小問3詳解】