2.4空間向量在立體幾何中的應用第2章2.4.2空間線面位置關系的判定1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關系.2.能用向量方法證明有關直線、平面位置關系的判定定理，解決空間中的垂直與平行問題.3.理解并會用三垂線定理及其逆定理.核心素養：直觀想象、數學運算.學習目標問題導入由直線上一點及直線的方向向量可以刻畫直線的位置，由平面內一點及平面的法向量可以刻畫平面的位置，那么我們如何利用向量來判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系？一用空間向量判定線面位置關系新知學習設空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為v1＝（x1，y1，z1），v2＝（x2，y2，z2），兩個平面α1，α2的法向量分別為n1＝（a1，b1，c1），n2＝（a2，b2，c2），則如下表格：新知講解位置關系向量表示向量運算坐標運算l1⊥l2v1⊥v2v1·v2＝0x1x2+y1y2+z1z2＝0l1⊥α1v1∥n1n1＝kv1a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1，k為非零常數α1⊥α2n1⊥n2n1·n2＝0a1a2+b1b2+c1c2＝0l1∥l2v1∥v2v2＝kv1x2＝kx1，y2＝ky1，z2＝kz1，k為非零常數l1∥α1v1⊥n1v1·n1＝0x1a1+y1b1+z1c1＝0α1∥α2n1∥n2n2＝kn1a2＝ka1，b2＝kb1，c2＝kc1，k為非零常數特別提醒（1）用向量刻畫空間中直線與平面間的平行、垂直等位置關系時，要注意線面關系與向量關系的異同，可簡記為“同類同性，異類相反”，即線線平行（垂直）、面面平行（垂直）中向量仍平行（垂直），但線面平行（垂直）中向量變為垂直（平行）；（2）由于直線的方向向量與平面的法向量都不是唯一的，所以運用時應以運算簡便為標準進行選擇.

二

三垂線定理及三垂線定理的逆定理思考

三垂線定理及其逆定理有何區別與聯系?聯系:都是一面四線,三種垂直關系.區別:①從條件或結論上看,三垂線定理是“線與射影垂直?線與斜線垂直”,而逆定理恰好相反;②從作用上看,三垂線定理是“共面直線垂直?異面直線垂直”,而逆定理恰好相反.(1)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直,則該直線與平面平行.(

)(2)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時,直線與平面垂直.(

)(3)兩個平面的法向量平行,則這兩個平面平行或重合;兩個平面的法向量垂直,則這兩個平面垂直.(

)1.判斷正誤√即時鞏固√√2.已知直線l的方向向量為a＝(－1,2,0)，平面α的法向量為n＝(2,1，－1)，則（）A.l⊥α

B.l∥αC.l?α

D.l∥α或l?αD一、證明線線垂直問題例1如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點.求證：EF⊥BC.證明由題意，以點B為坐標原點，在平面DBC內過點B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內過點B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，典例剖析反思感悟

證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.

證明設AB的中點為O，作OO1∥AA1.以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.二、證明線面垂直問題例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：PB⊥平面EFD.證明由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，如圖，設DC＝PD＝1，即x＋y

－z＝0. ①所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②因為PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE?平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二

設n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，反思感悟用坐標法證明線面垂直的方法及步驟(1)利用線線垂直①將直線的方向向量用坐標表示.②找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量.③

判斷直線的方向向量與平面內兩條直線的方向向量垂直.(2)利用平面的法向量①將直線的方向向量用坐標表示.②求出平面的法向量.③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.跟蹤訓練如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點.求證：EF⊥平面B1AC.證明設正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).設平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，∴EF⊥平面B1AC.令x＝1得n＝(1,1，－1)，三、證明面面垂直問題例3在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點.求證：平面BDE⊥平面ABCD.證明設AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標系，方法一連接AC，交BD于點O，連接OE，所以OE∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.方法二設平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z).令x＝1，可得平面BDE的一個法向量為n1＝(1,1,0).因為n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.反思感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直.跟蹤訓練在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，CD的中點.求證：平面AED⊥平面A1FD1.證明以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，設平面AED的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1).令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的一個法向量為n2＝(0,2,1).∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.四、證明線線平行例4在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點.求證：MN∥RS.證明方法一如圖所示，建立空間直角坐標系，因為M?RS，所以MN∥RS.反思感悟利用向量證明線線平行的思路證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可.又R?MN，所以MN∥RS.跟蹤訓練如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為DD1和BB1的中點.求證：四邊形AEC1F是平行四邊形.證明以點D為坐標原點，不妨設正方體的棱長為1，又∵F?AE，F?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形.五、證明線面平行例5在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點.證明：PA∥平面EDB.證明如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點G，連接EG，方法一設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.反思感悟證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面內的某一向量是共線向量且直線不在平面內；(2)證明直線的方向向量可以用平面內兩個不共線向量表示且直線不在平面內；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內.跟蹤訓練在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點，求證：AB∥平面DEG.證明∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直.以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，設平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1,1，－1)，∵AB?平面DEG，∴AB∥平面DEG.六、證明面面平行例6已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，求證：平面ADE∥平面B1C1F.證明建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，設n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，令z1＝2，則y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2).同理，設n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2).因為n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.反思感悟證明面面平行問題的方法(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.(2)將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明.跟蹤訓練在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中點.試用向量的方法證明：平面AA1D1D∥平面FCC1.證明因為AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中點，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF為正三角形.因為ABCD為等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.取AF的中點M，連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD.以D為原點，DM為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系Dxyz，所以DD1∥CC1，DA∥CF，又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA?平面AA1D1D，CC1，CF?平面FCC1，所以平面AA1D1D∥平面FCC1.例7如圖,空間四邊形ABCD中,點A在平面BCD內的射影O1是△BCD的垂心,求證:B在平面ACD內的射影O2必是△ACD的垂心.

七、三垂線定理及逆定理的應用反思感悟1.三垂線定理及其逆定理常用于判定空間直線互相垂直,在引用時要清楚以下問題:(1)從條件上看,三垂線定理的條件是“和射影垂直”;其逆定理的條件是“和斜線垂直”.顯然本例中三垂線定理和三垂線定理的逆定理都充分利用了.(2)從功能上看,三垂線定理用于解決已知共面垂直,證明異面垂直的問題;逆定理正好相反.解決垂心問題需要兩次垂直的證明,都能用上定理和其逆定理的框架結構.2.三垂線定理及其逆定理應用中的三個環節用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直的關鍵在于構造三垂線定理的基本圖形,創設應用定理的環境.構造三垂線定理基本圖形時要抓住下面三個環節:(1)確定投影面;(2)作出垂線;(3)確定射影.跟蹤訓練

如圖,BC是Rt△ABC的斜邊,過點A作△ABC所在平面α的垂線AP,連接PB,PC,過點A作AD⊥BC于點D,連接PD,那么圖中的直角三角形共有(

)A.4個

B.6個C.7個 D.8個

D隨堂小測1.已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于（）A.4 B.－4 C.5 D.－5D解析∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.2.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則（）D3.已知點A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，則點P的坐標為（）A.(1,0，－2) B.(1,0,2) C.(－1,0,2) D.(2,0，－1)得－x＋1－z＝0. ①聯立①②得x＝－1，z＝2，故點P的坐標為(－1,0,2).CC4.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點的坐標為（）解析方法一以C為原點，建立空間直角坐標系如圖所示.設M(a，a，1)，平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，方法二設AC與BD相交于O點，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以AM∥EO，又O是正方形ABCD對角線交點，所以M為線段EF的中點.5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，若點Q在線段B1P上，則下列結論正確的是（）A.當點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥平面A1BDB.當點Q為線段B1P的三等分點時，DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ⊥平面A1BDD.不存在DQ與平面A1BD垂直D解析以A1為坐標原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，取z＝－2，則x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一個法向量為n＝(2,1，－2).但此方程關于λ無解.故不存在DQ與平面A1BD垂直.6.已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，則平面ABC的一個法向量為__________________.(2,1,0)(答案不唯一)令y＝1，得x＝2，z＝0，故平面ABC的一個法向量為n＝(2,1,0).2∶3∶(－4)∵a是平面α的一個法向量，①②③∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確.9.如圖，已知點E，F分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E，C1F上的點，則與平面ABCD垂直的直線MN有________條.1解析假設存在滿足條件的直線MN，建立空間直角坐標系如圖所示，不妨設正方體的棱長為2，則D1(2,0,2)，E(1,2,0)，所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，所以M(2－m，2m，2－2m)，即存在滿足條件的直線MN，有且只有一條.10.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B，AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關系是__