2.2空間向量及其運算第2章第1課時1.了解空間向量的概念.2.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.3.掌握空間向量的加減法、數乘運算4.了解向量共線的充要條件.核心素養：數學運算、邏輯推理、直觀想象學習目標

新知學習新知引入

空間向量是平面向量的推廣，其表示方法以及一些相關概念與平面向量一致.我們可以類比平面向量得到空間向量的相關概念、表示、運算等.新知講解:

大小模方向有向線段名稱定義及表示相等向量方向

且長度

的向量稱為相等向量相反向量零向量模為0二幾類特殊的空間向量相等相反相等相同空間向量的線性運算加法

減法數乘

三空間向量的運算（同平面向量）當λ＝0時，λa＝0想一想

向量起點的選擇對向量線性運算的結果有影響嗎？沒有影響，向量起點可以平移到任何位置.注意：對于空間任意兩個向量a，b（a≠0），若b＝λa，其中λ為實數，則b與a共線會平行，記作a∥b.1.兩個有公共終點的向量，一定是共線向量.(

)2.在空間中，任意一個向量都可以進行平移.(

)3.空間兩非零向量相加時，一定可以用平行四邊形法則運算.(

)正誤辨析:×√×√即時鞏固五空間向量的運算律

（1）（2）

思考

怎樣作圖表示三個向量的和，作出的和向量是否與相加的順序有關？可以利用三角形法則和平行四邊形法則作出三個向量的和.加法運算是對有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.思考

由數乘λa＝0，可否得出λ＝0?不能.λa＝0?λ＝0或a＝0.2.空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使

.

想一想

對于空間向量a，b，c，若a∥b且b∥c，

是否可以得到a∥c?不能.若b＝0，則對任意向量a，c都有a∥b且b∥c.

解讀①當已知空間向量a，b（a≠0）平行或共線，即a∥b時，根據必要性可得b＝λa，其中λ是唯一確定的實數.也就是說，必要性是共線向量的性質定理.②當存在唯一的實數λ，使空間兩個向量a，b（a≠0），滿足b＝λa時，可據充分性判定a∥b（平行或共線）.也就是說，充分性是共線向量的判定定理.如果要用此結論判定a，b所在直線平行，還需說明a（或b）上有一點不在b（或a）上.

×即時鞏固

B典例剖析例1

(多選題)下列說法中正確的是（）A.若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反

B.若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C.空間向量的加法滿足結合律

D.任一向量與它的相反向量不相等

反思感悟

在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.例2如圖，已知長方體ABCD－A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結果的向量.反思感悟

空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果.例3在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F，H分別為邊CD，AD和BC的中點，化簡下列各表達式.所以由向量的加法法則，（2）如圖所示，分別取AB，AC的中點P，Q，連接PH，QH，證明∵E，H分別是AB，AD的中點，又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形.反思感悟向量共線的判定及應用(1)本題利用向量的共線證明了線線平行，解題時應注意向量共線與兩直線平行的區別.(2)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實數λ，使a＝λb成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.(3)判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數λ，使隨堂小測

①2.(多選)如圖，在正方體ABCD

－A1B1C1D1中，下列各式運算結果為

的是（）ABAA.P∈直線ABB.P?直線ABC.點P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上

D.以上都不對

A5.已知非零向量e1，e2不共線，則使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k的值是_____.解析若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

±16.如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點共線.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三點共線.課堂小結1.知識清單：(1)向量的相關概念.(2)向量的線性運算(加法、減法和數乘).(3)向量的線性運算的運算律.(4)共線向量基本定理.2.方法歸