高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊課時過程性評價十一不等式的性質含答案十一不等式的性質(時間:45分鐘分值:100分)【基礎全面練】1.(5分)與a>b等價的不等式是 ()A.|a|>|b| B.a2>b2C.ab>1 D.a3>b【解析】選D.可利用賦值法.令a=1,b=-2,滿足a>b,但|a|<|b|,a2<b2,ab=-1故A,B,C都不正確.2.(5分)已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小關系是 ()A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b【解析】選C.由a+b>0知,a>-b,所以-a<b<0.又b<0,所以-b>0,所以a>-b>b>-a.【補償訓練】若b<0,a+b>0,則a-b的值 ()A.大于零 B.小于零C.等于零 D.不能確定【解析】選A.因為b<0,a+b>0,所以a>-b>0,所以a-b>0.3.(5分)設x<a<0,則下列不等式一定成立的是 ()A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax【解析】選B.因為x<a<0,所以x2>a2.因為x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax.又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2.所以x2>ax>a2.4.(5分)若實數α,β滿足-12<α<β<-13,則α-β的取值范圍是 (A.-12<α-β<-13 B.-56<αC.-12<α-β<13 D.-16<α【解析】選D.因為-12<α<β<-13,所以-12<α<-13,13<-β<12,α-β<0,所以-15.(5分)(多選)已知a<b,那么下列式子中正確的是 ()A.4a<4b B.-4a<-4bC.a+4<b+4 D.a-4<b-4【解析】選ACD.根據不等式的性質,a<b,4>0?4a<4b,A選項正確;a<b,-4<0?-4a>-4b,B選項錯誤;a<b?a+4<b+4,C選項正確;a<b?a-4<b-4,D選項正確.6.(5分)(2024·濰坊高一檢測)已知a>b>0,下列不等式中正確的是 ()A.a-1<b-1 B.ab<b2C.1a+1<1b+1 D【解析】選C.因為a>b>0,所以a-1>b-1,A錯誤;因為a>b>0,所以ab>b2,B錯誤;因為a+1>b+1>0,所以0<1a+1<因為0<1a<1b,若c>0,則ca<7.(5分)(2024·臨沂高一檢測)能說明“若a>b,則1a<1b”為假命題的一組a,b的值依次為1,-1(答案不唯一)【解析】只要保證a為正b為負即可滿足要求.當a>0>b時,1a>0>18.(5分)已知1<α<3,-4<β<2,若z=12α-β,則z的取值范圍是{z|-32<z<112【解析】因為1<α<3,所以12<12α<又-4<β<2,所以-2<-β<4.所以-32<12α-β<112,故-32<【補償訓練】若-1<a+b<3,2<a-b<4,則b的取值范圍是{b|-52<b<12}【解析】因為2<a-b<4,所以-4<b-a<-2,又-1<a+b<3,所以-5<(a+b)+(b-a)<1,則-52<b<19.(5分)設a,b,c是任意實數,能夠說明“若c<b<a且ac<0,則ab<ac”是假命題的一組整數a,b,c的值依次為1,0,-1(答案不唯一).

【解析】若c<b<a且ac<0,則a>0,c<0,則取a=1,b=0,c=-1,則滿足條件c<b<a且ac<0,但ab<ac不成立.10.(10分)已知a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,求證:(1)b+c>0;【證明】(1)因為|b|>|c|且b>0,c<0,所以b>-c,即b+c>0.(2)ba-c【證明】(2)因為c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以1b-d所以ba-c<b【綜合應用練】11.(5分)(多選)設a<b<0,則下列不等式中正確的是 ()A.2a>2b B.acC.|a|>-b D.-a>【解析】選ACD.a<b<0,則2a>2當c>0時,ac<bc,其余情況不成立,則選項B不正確;|a|=-a>-b,則選項C正確;由-a>-b>0,可得-a>-b12.(5分)十六世紀中葉,英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用,后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號,并逐漸被數學界接受,不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若a,b,c∈R,則下列命題正確的是 ()A.若a>0,則a2+1>(a-1)(a+2)B.若a<b<0,則a2<ab<b2C.若|a|≤1,|b|≤1,則|a-b|≤|1-ab|D.若a>b>0,則aa2【解析】選C.對于選項A,a2+1-(a-1)(a+2)=a2+1-a2-a+2=3-a,當a>3時,3-a<0,a2+1<(a-1)(a+2),當a=3時,3-a=0,a2+1=(a-1)(a+2),當a<3時,3-a>0,a2+1>(a-1)(a+2),故A錯誤;易知B錯誤;對于選項C,(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,所以C正確;對于選項D,a>b>0,所以b-a<0,但aa2+1-bb2+1=(b-13.(5分)已知12<a<60,15<b<36,則ab的取值范圍是ab【解析】因為15<b<36,所以136<1b<115.又12<a<60,所以1236<ab<6015【補償訓練】(多選)已知6<a<60,15<b<18,則下列正確的有 ()A.13<ab<4 B.21<a+2C.-12<a-b<45 D.76<a【解析】選AC.因為15<b<18,所以118<1b<115,又6<a<60,所以根據不等式的性質可得6×118<a×1b<60×1因為30<2b<36,所以36<a+2b<96,故B錯誤;因為-18<-b<-15,所以-12<a-b<45,故C正確;因為a+bb=ab+1,所以414.(10分)已知:(1)-1≤a≤3,2≤b≤4,【解析】(1)因為-1≤a≤3,2≤b≤4,可得-2≤2a≤6,-4≤-b≤-2,所以-2-4≤2a-b≤6-2,即-6≤2a-b≤4.(2)0<a+b<2,-1<b-a<1.分別求2a-b的取值范圍.【解析】(2)因為0<a+b<2,-1<-a+b<1,且2a-b=12(a+b)-32(-a+結合不等式的性質可得,-32<2a-b<515.(10分)(1)已知a>b,e>f,c>0,求證:f-ac<e-bc.【證明】(1)因為a>b,c>0,所以ac>bc.又因為e>f,所以e+ac>f+bc,所以e-bc>f-ac,所以f-ac<e-bc.(2)設a>b>c,求證:1a-b+1b【證明】(2)因為a>b>c,所以-c>-b.所以a-c>a-b>0,所以1a-b>所以1a-b+1c-a>0所以1b-c>0.所以1a-b【創新拓展練】16.(5分)在一次調查中,甲、乙、丙、丁四名同學的閱讀量有如下關系:甲、丙的閱讀量之和與乙、丁的閱讀量之和相同,丙、丁的閱讀量之和大于甲、乙的閱讀量之和,乙的閱讀量大于甲、丁的閱讀量之和.那么這四名同學中閱讀量最大的是 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選C.設甲、乙、丙、丁的閱讀量分別為x1,x2,x3,x4,則x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0.由甲、丙的閱讀量之和與乙、丁的閱讀量之和相同,可得x1+x3=x2+x4①,由丙、丁的閱讀量之和大于甲、乙的閱讀量之和,可得x1+x2<x3+x4②,由乙的閱讀量大于甲、丁的閱讀量之和,可得x2>x1+x4③,由②-①得,x2-x3<x3-x2?2(x2-x3)<0?x2<x3,由②+①得,2x1+x2+x3<x2+x3+2x4?x1<x4,由③得x2>x1,x2>x4,所以x3>x2>x4>x1,即閱讀量最大的是丙.17.(5分)已知三個不等式:ab>0,bc-ad>0,ca-db>0(其中a,b,c,d均為實數),用其中兩個不等式作為條件,余下的一個不等式作為結論組成一個命題,可組成正確命題的個數是3【解析】若ab>0,bc-ad>0成立,不等式bc-ad>0兩邊同除以ab可得ca-db>0,即ab>0,bc-ad>0?ca-db>0;若ab>0,ca-db>0成立,不等式ca-db>0兩邊同乘ab,可得bc-ad>0,即ab>0,ca-db>0?bc-ad>0;若ca-db>0,bc-ad>0成立,則ca-db=bc-adab>0,又bc綜上可知,以三個不等式中任意兩個為條件都可推出第三個不等式成立,故可組成的正確命題有3個.四并集、交集(時間:45分鐘分值:100分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·喀什高一檢測)設集合A={x|-1<x<3},B={x|2≤x≤4},則A∪B= ()A.{x|2≤x<3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|-1<x<4} D.{x|-1<x≤4}【解析】選D.因為集合A={x|-1<x<3},B={x|2≤x≤4},所以A∪B={x|-1<x≤4}.2.(5分)(2024·百色高一檢測)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|-2<x<2},則Venn圖中陰影部分表示的集合是 ()A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2} D.{x|-2<x<2}【解析】選B.題中Venn圖中陰影部分表示的集合是A∩B,因為A={-2,-1,0,1,2},B={x|-2<x<2},所以A∩B={-1,0,1}.【補償訓練】設集合A={1,2,6},B={2,4},C={x|-1≤x≤5},則(A∪B)∩C等于 ()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}【解析】選B.(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩C={1,2,4}.3.(5分)滿足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的個數是 ()A.1 B.2C.3 D.4【解析】選D.由{1,3}∪A={1,3,5},知A?{1,3,5}且A中一定有元素5,因此集合A可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}.【補償訓練】設集合A={x|x2-3x+2=0},則滿足A∪B={0,1,2},A∩B=?的集合B為 ()A.{0,1,2} B.{1,2}C.{0} D.{0,2}【解析】選C.由題意得A={1,2},又因為A∪B={0,1,2},A∩B=?,所以B={0}.4.(5分)已知集合A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},若A∩B≠?,則a的取值范圍是 ()A.{a|a<8} B.{a|a>8}C.{a|a>-3} D.{a|-3<a≤8}【解析】選A.A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},要使A∩B≠?,借助數軸,可知a<8.5.(5分)(多選)若集合M?N,則下列結論正確的是 ()A.M∩N=N B.M∪N=NC.M∈(M∩N) D.(M∪N)?N【解析】選BD.對于A,因為M?N,所以M∩N=M,故A錯誤;對于B,因為M?N,所以M∪N=N,故B正確;對于C,集合與集合之間不能用“∈”連接,故C錯誤;對于D,因為M?N,所以M∪N=N,則(M∪N)?N,故D正確.6.(5分)(多選)若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},則滿足條件的實數x可以是 ()A.-3 B.0 C.1 D.3【解析】選ABD.因為A∪B=A,所以B?A,所以x2=3或x2=x,解得x=±3或x=1或x=0.當x=1時,集合A,B不滿足元素的互異性,故x=±3或x=0.7.(5分)已知集合A=x|-12≤x≤3,B={x∈Z|x【解析】因為A=x|-12≤x≤3,所以A∩B=x|所以A∩B={0,1,2}.答案:{0,1,2}8.(5分)若集合A={x|-1<x<5},B={x|x≤1或x≥4},則A∪B=,A∩B=.

【解析】借助數軸可知:A∪B=R,A∩B={x|-1<x≤1或4≤x<5}.答案:R{x|-1<x≤1或4≤x<5}【誤區警示】解答本題時易出現端點處實虛混淆的錯誤.9.(5分)已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},則2a-b=.

【解析】根據題意,把集合A,B在數軸上表示出來,如圖所示,可知a=1,b=6,2a-b=-4.答案:-410.(10分)已知集合A={x|x2-px+15=0}和B={x|x2-ax-b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},分別求實數p,a,b的值.【解析】因為A∩B={3},所以3∈A,從而可得p=8,所以A={3,5}.又由于3∈B,且A∪B={2,3,5},所以B={2,3},所以方程x2-ax-b=0的兩個根為2和3.由根與系數的關系可得a=5,b=-6.綜上可得,p=8,a=5,b=-6.【綜合應用練】11.(5分)(多選)已知集合A={x∈Z|x<4},B?N,則下列說法正確的是 ()A.集合B∪N=NB.集合A∩B可能是{1,2,3}C.集合A∩B可能是{-1,1}D.0可能屬于B【解析】選ABD.因為B?N,所以B∪N=N,故A正確;因為集合A={x∈Z|x<4},所以集合A中一定包含元素1,2,3,又因為B?N,所以集合A∩B可能是{1,2,3},故B正確;因為-1不是自然數,所以集合A∩B不可能是{-1,1},故C錯誤;因為0是最小的自然數,所以0可能屬于集合B,故D正確.12.(5分)已知集合A={1,3a},B={a,b},若A∩B=13,則A∪B為 (A.13,1,b C.1,13 【解析】選D.因為A∩B=13,A={1,3a},B={a,b所以3a=13,所以a=-1,b=1所以A∪B=-113.(5分)某網店統計了連續三天售出商品的種類情況:第一天售出19種商品,第二天售出13種商品,第三天售出18種商品;前兩天都售出的商品有3種,后兩天都售出的商品有4種.則該網店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有種;

【解析】設三天都售出的商品有x種,第一天售出,第二天未售出,且第三天售出的商品有y種,則三天售出商品的種類關系如圖所示.由圖可知,(1)第一天售出但第二天未售出的商品有16-y+y=16(種).(2)這三天售出的商品最少有種.

【解析】(2)這三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=(43-y)種.由于16-y≥0所以(43-y)min=43-14=29.答案:(1)16(2)2914.(10分)設常數a∈R,集合A={x|x≥1或x<-2},B={x|x≤a-1}.(1)若a=2,求A∩B,A∪B;【解析】(1)因為A={x|x≥1或x<-2},B={x|x≤1},所以A∩B={x|x=1或x<-2},A∪B=R.(2)若A∪B=R,求a的取值范圍.【解析】(2)由題意,要使A∪B=R,需滿足a-1≥1,即a≥2.所以a的取值范圍為{a|a≥2}.15.(10分)已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求實數a的值;【解析】(1)由題意知A={-4,0}.若A∪B=B,則B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,求實數a的值或取值范圍.【解析】(2)由題意知A={-4,0}.若A∩B=B,則B?A.①若B為空集,則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,解得a<-1;②若B只有一個元素,則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1.將a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0,即x=0,B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},則a=1.綜上所述,{a|a≤-1或a=1}.【創新拓展練】16.(5分)由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀,直到1872年,德國數學家戴德金提出了“戴德金分割”,才結束了持續2000多年的數