高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊3.2.1第2課時函數(shù)的單調(diào)性(二)含答案第2課時函數(shù)的單調(diào)性(二)【學習目標】1.理解函數(shù)單調(diào)性的作用與實際意義.2.會用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小、求相關的參數(shù)問題、解抽象不等式.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象邏輯推理類型一比較函數(shù)值的大小【典例1】(2023·福州高一檢測)已知函數(shù)f(x)是區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的減函數(shù),則f(a2-a+1)與f(34)的大小關系為 (A.f(a2-a+1)≥f(34B.f(a2-a+1)≤f(34C.f(a2-a+1)=f(34D.不確定【解析】選B.因為a2-a+1=(a-12)2+34≥34,f所以f(a2-a+1)≤f(34)【總結升華】利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法當兩個自變量在函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間上時,比較兩個函數(shù)值的大小可以轉化為比較兩個自變量的大小.【即學即練】若函數(shù)f(x)在(-∞,-1]上是增函數(shù),則下列關系式中成立的是 ()A.f(-32)<f(-1)<fB.f(-1)>f(-32)<fC.f(-2)<f(-1)<f(-32D.f(-2)<f(-32)<f【解析】選D.因為f(x)在(-∞,-1]上是增函數(shù),且-2<-32所以f(-2)<f(-32)<f(-1)類型二與抽象函數(shù)有關的單調(diào)性問題角度1抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷【典例2】已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)對任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)-f(y),且當x>1時,f(x)<0(1)求f(1)的值;【解析】(1)令x=y=1,則f(1)=f(1)-f(1)=0;(2)證明f(x)的單調(diào)性.【解析】(2)設0<x1<x2,則x2因為當x>1時,f(x)<0,所以f(x2x1)=f(x2)-f(x1)<0,所以f(x2)<f(f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù).【總結升華】抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法緊扣函數(shù)單調(diào)性的定義,通過賦值,設法從題設中“湊出”“f(x1)-f(x2)”,然后判定符號.【即學即練】已知函數(shù)f(x)對任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且當x>0時,f(x)>1.求證:f(x)是R上的增函數(shù).【證明】任取x1,x2∈R且x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1.所以f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1),所以f(x)是R上的增函數(shù).角度2與抽象函數(shù)有關的不等式問題【典例3】(易錯·對對碰)(1)已知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,若f(1-m)<f(m),則實數(shù)m的取值范圍是(12,+∞)【解析】(1)由題意知,1-m<m,解得m>12(2)已知函數(shù)f(x)在定義域[-2,2]上單調(diào)遞增,若f(1-m)<f(m),則實數(shù)m的取值范圍是(12,2]【解析】(2)由題意知,-2≤1-m≤2-2≤(3)已知函數(shù)f(x)在定義域[-2,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),則實數(shù)m的取值范圍是-1,1【解析】(3)由題意知,-2≤1-m≤2-【總結升華】利用單調(diào)性解與抽象函數(shù)有關不等式的方法(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,將符號“f”脫掉;(2)列出關于未知量的不等式(組),要注意函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間;(3)求解不等式(組).【即學即練】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),且f(1-a)<f(2a-1),則實數(shù)a的取值范圍為(23,+∞)【解析】因為函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),且f(1-a)<f(2a-1),所以1-a<2a-1,所以a>23所以實數(shù)a的取值范圍為(23,+∞)類型三與單調(diào)性有關的參數(shù)問題角度1與二次函數(shù)有關的參數(shù)問題【典例4】(易錯·對對碰)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2,(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],則實數(shù)a的值(或范圍)是-3.

【解析】(1)因為f(x)的對稱軸為x=1-a,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],所以1-a=4,所以a=-3,所以實數(shù)a的值為-3;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的值(或范圍)是(-∞,-3].

【解析】(2)f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,所以1-a≥4,所以a≤-3,所以實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3].【總結升華】與二次函數(shù)單調(diào)性相關的參數(shù)問題(1)若已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,則對稱軸即區(qū)間的端點;(2)若已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性,則該區(qū)間是函數(shù)相關單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間,利用端點關系求范圍.【即學即練】(2023·廣州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=x2-kx-8在[1,4]上單調(diào),則實數(shù)k的取值范圍為 ()A.[2,8]B.[-8,-2]C.(-∞,-8]∪[-2,+∞)D.(-∞,2]∪[8,+∞)【解析】選D.函數(shù)f(x)=x2-kx-8在[1,4]上單調(diào),對稱軸為x=k2結合圖象得:k2≤1,或k2≥4,解得k≤2或k角度2與“分式型”函數(shù)有關的參數(shù)問題【典例5】函數(shù)f(x)=x-5x-a-2【解析】f(x)=x-a-所以當a<3時,函數(shù)f(x)在(a+2,+∞)上單調(diào)遞增;又函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;所以a+2≤-1,即a≤-3;所以a的取值范圍是(-∞,-3].【總結升華】與“分式型”函數(shù)單調(diào)性相關的參數(shù)問題(1)將“分式型”函數(shù)分離常數(shù),轉化為類反比例函數(shù);(2)對反比例函數(shù)圖象進行平移變換,得到所求分式函數(shù)的圖象;(3)結合函數(shù)圖象與已知條件,列出與參數(shù)有關的不等式.【即學即練】若函數(shù)f(x)=ax+3x-2在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(-∞,-【解析】因為函數(shù)f(x)=ax+3x-2=a(且函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以2a+3<0,解得a<-32所以a的取值范圍是a<-32角度3與分段函數(shù)有關的參數(shù)問題【典例6】已知函數(shù)f(x)=(a-3)x+5,A.(0,3) B.(0,3]C.(0,2) D.(0,2]【解析】選D.因為函數(shù)f(x)=(a所以a-3<02a>0【總結升華】與分段函數(shù)單調(diào)性相關的參數(shù)問題(1)根據(jù)每一段解析式的類型,分別求出符合單調(diào)性的參數(shù)的范圍;(2)對分界點處的函數(shù)值比較,如果函數(shù)單調(diào)遞增,在分界點處左側的函數(shù)值小于等于右側的函數(shù)值;如果函數(shù)單調(diào)遞減,在分界點處左側的函數(shù)值大于等于右側的函數(shù)值.【即學即練】已知函數(shù)f(x)=x2+2ax-3a+3,x≤1,【解析】因為f(x)=x2+2ax-3解得a≥7.第3課時函數(shù)的最大(小)值【學習目標】1.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義.2.能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性,求一些簡單函數(shù)的最值.3.能利用函數(shù)的最值解決有關的實際應用問題.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象直觀想象、邏輯推理數(shù)學建模函數(shù)的最大(小)值前提設函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M(或m)條件?x∈D,都有f(x)≤M?x0∈D,使得f(x0)=M?x∈D,都有f(x)≥m?x0∈D,使得f(x0)=m結論稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值教材挖掘(P80)若函數(shù)f(x)≥2恒成立,則f(x)的最小值是2嗎?提示:不一定,因為最大(小)值必須是一個函數(shù)值,是值域中的一個元素,當f(x)≥2恒成立時,2不一定是一個函數(shù)值.版本交融(蘇教P120思考)函數(shù)y=1x,x∈1,3時有最小值,函數(shù)y=x2提示:函數(shù)y=1x,x∈1,3的最大值為1,函數(shù)y=x2-2【教材深化】函數(shù)最大值和最小值定義中的兩個關鍵詞(1)?(存在):M(或m)首先是一個函數(shù)值,它是值域中的一個元素,如函數(shù)y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0.(2)?(任意):最大(小)值定義中的?(任意)是說對于定義域內(nèi)的每一個值都必須滿足不等式,即對于定義域內(nèi)的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥m)成立.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y=f(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標. (√)(2)一個函數(shù)可能有多個最小值. (×)提示:最大(小)值至多有1個.(3)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值不一定是f(a)(或f(b)). (√)提示:函數(shù)f(x)在[a,b]上不一定是單調(diào)函數(shù),故最值不一定是f(a)(或f(b)).(4)若一個函數(shù)有最大值,則最大值不一定是其值域中的一個元素. (×)提示:函數(shù)的最大(小)值,一定是其值域中的一個元素.類型一圖象法求函數(shù)的最值(直觀想象)【典例1】函數(shù)f(x)=-x+2,-1≤x<0x2+2【解析】如圖,畫出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象得,函數(shù)的最大值為f(-1)=3,最小值為f(0)=-1.【總結升華】圖象法求函數(shù)最值的步驟【即學即練】已知函數(shù)f(x)=x2,-1≤x≤1,1x,x>1.則【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象可知,當x=±1時,f(x)取最大值f(±1)=1.當x=0時,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值為1,最小值為0.【補償訓練】設f(x)為y=-x+6和y=-x2+4x+6中的較小者,則函數(shù)f(x)的最大值為6.

【解析】在同一平面直角坐標系內(nèi),作出兩個函數(shù)的圖象,如圖所示,由圖可知,f(x)的圖象是圖中的實線部分.觀察圖象可知函數(shù)f(x)的最大值為6.類型二單調(diào)性法求函數(shù)的最值(邏輯推理)【典例2】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)函數(shù)f(x)=-x+1在[-2,2]上的最大值為3;

【解析】(1)因為f(x)=-x+1在[-2,2]上是減函數(shù),所以x=-2時,函數(shù)的最大值為3.(2)函數(shù)f(x)=32x-1在[1,5]上的最小值為【解析】(2)設x1,x2是區(qū)間[1,5]上的任意兩個實數(shù),且x2>x1,f(x1)-f(x2)=32x1-1由于x1,x2∈[1,5],且x2>x1,所以x2-x1>0,且(2x1-1)(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)=32x所以最小值為f(5)=13(3)函數(shù)f(x)=x2+2x+ax,若對任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,則實數(shù)【解析】(3)因為f(x)=x2所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.記y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),所以y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故當x=1時,y取得最小值,最小值為3+a.所以當3+a>0,即a>-3時,f(x)>0恒成立,所以實數(shù)a的取值范圍為(-3,+∞).【總結升華】1.利用單調(diào)性求最值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用單調(diào)性寫出最值.2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關系(1)若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,則f(x)在[a,b]上的最大值為f(a),最小值為f(b).(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則f(x)在[a,b]上的最大值為f(b),最小值為f(a).(3)求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉,若是開區(qū)間,則不一定有最大(小)值.【即學即練】已知函數(shù)f(x)=2x-1x+1,x∈[3,5].求【解析】設?x1,x2∈[3,5],且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=2x1=3(因為3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在[3,5]上為增函數(shù).函數(shù)f(x)的最小值為f(x)min=f(3)=2×3-13+1=54,函數(shù)f(x)的最大值為f(x)max=f(5)=類型三求實際問題中的最值(數(shù)學建模)【典例3】某商場經(jīng)營一批進價是每件30元的商品,在市場試銷中發(fā)現(xiàn),該商品銷售單價x(不低于進價,單位:元)與日銷售量y(單位:件)之間有如下關系:x4550y2712(1)確定x與y的一個一次函數(shù)關系式y(tǒng)=f(x);【解析】(1)因為f(x)是一次函數(shù),設f(x)=ax+b(a≠0),由題表格得方程組45解得a所以y=f(x)=-3x+162.故所求函數(shù)關系式為y=-3x+162,又y≥0,所以30≤x≤54.(2)若日銷售利潤為P元,根據(jù)(1)中的關系式寫出P關于x的函數(shù)關系式,并指出當銷售單價為多少元時,才能獲得最大的日銷售利潤?【解析】(2)由題意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860=-3(x-42)2+432,當x=42時,日銷售利潤最大,最大值為432,即當銷售單價為42元時,才能獲得最大的日銷售利潤.【總結升華】求解實際應用中的最值問題的步驟(1)審題:把“問題情境”譯為數(shù)學語言,找出問題中的主要關系;(2)建模:建立函數(shù)解析式,把實際問題轉換成函數(shù)問題;(3)求解:選擇合適的數(shù)學方法求解函數(shù)最值;(4)評價:對結果進行驗證或評估,最后將結果應用于現(xiàn)實,作出解釋.【即學即練】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):R(x)=