高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊課時過程性評價二十五圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積含答案二十五圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)若球的過球心的圓面的周長是C,則這個球的表面積是()A.C24π B.C22π C.C2π【解析】選C.由2πR=C,得R=C2π,所以S球=4πR2=C2.(5分)(2024·錫林郭勒盟高一期末)已知圓錐PO的母線長為2,O為底面的圓心,其側面積等于23π,則該圓錐的體積為()A.3π B.2π C.π D.2π【解析】選C.設圓錐PO的底面圓半徑為r,由母線長為2,側面積等于23π,得πr×2=23π,解得r=3,因此圓錐的高h=22-r2=4-(3)2=1,所以該圓錐的體積為V=13πr23.(5分)已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側面積為84π,則該圓臺較小底面的半徑為()A.7 B.6 C.5 D.3【解析】選A.設圓臺較小底面的半徑為r,則另一底面的半徑為3r.由S側=3π(r+3r)=84π,解得r=7.4.(5分)(多選)圓柱的側面展開圖是長12cm、寬8cm的矩形,則這個圓柱的體積可能是()A.288πcm3 B.192πC.288πcm3 D.192πcm3【解析】選AB.當圓柱的高為8cm時,V=π×122π2×8=288π(cm3),當圓柱的高為12cm時,V=π×82π2×12=192π(cm3).5.(5分)(多選)一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,下列結論正確的是()A.圓柱的側面積為2πR2B.圓錐的側面積為2πR2C.圓柱的側面積與球的表面積相等D.圓錐的表面積最小【解析】選CD.對于A,因為圓柱的底面直徑和高都與一個球的直徑2R相等,所以圓柱的側面積為S=2πR×2R=4πR2,故錯誤;對于B,因為圓錐的底面直徑和高都與一個球的直徑2R相等,所以圓錐的側面積為S=πR·(2R)2+R對于C,因為圓柱的側面積為S=2πR×2R=4πR2,球的表面積為S球=4πR2,所以圓柱的側面積與球的表面積相等,故正確;對于D,圓柱的表面積為S圓柱=2πR×2R+2πR2=6πR2,圓錐的表面積為S圓錐=πR·(2R)2+R2+πR2=(5+1)πR2,球的表面積為6.(5分)下列說法不正確的是()A.若把球的半徑擴大到原來的2倍,則它的體積擴大到原來的8倍B.若把球的表面積擴大到原來的2倍,則它的體積擴大到原來的4倍C.若球的體積與其表面積的數值相等,則球的半徑等于3D.若棱長為2的正方體的8個頂點都在同一球面上,則球的表面積為12π【解析】選B.設球原來的半徑為r,體積為V,則V=43πr3,當球的半徑為2r時,其體積變為843πr3,A正確;設球變化前后的半徑分別為r與r',體積分別為V與V',則4πr'2=2·4πr2,得r'=2r,則V'=43πr'3=2243πr3=22V,即體積變為原來體積的22倍,B不正確;設球的半徑為R,則43πR3=4πR2,得R設正方體外接球的半徑為R,則23=2R,得R=3,即S球=4πR2=12π,D正確.7.(5分)已知圓柱OO'的母線l=4cm,表面積為42πcm2,則圓柱OO'的底面半徑r=______cm.

【解析】圓柱OO'的側面積為2πrl=8πr(cm2),兩底面面積為2×πr2=2πr2(cm2),所以2πr2+8πr=42π,解得r=3或r=-7(舍去),所以圓柱的底面半徑為3cm.答案:38.(5分)將一個圓形紙片沿半徑剪開為兩個扇形,其圓心角之比為3∶4,再將它們卷成兩個圓錐側面,則這兩個圓錐的體積之比為__________.

【解析】設圓的半徑為r,則兩個圓錐的母線長為r.由已知可得兩個圓錐的底面半徑分別為:2πr×372π=37r所以兩圓錐的體積之比為:π3×(37r答案:3330889.(5分)若一個圓柱與圓錐的高相等,且軸截面面積也相等,那么圓柱與圓錐的體積之比為__________.

【解析】設圓柱、圓錐的高都為h,底面半徑分別為r,R,則有12·2Rh=2rh,所以R=2rV圓錐=13πR2h=43πr2h,V圓柱=πr2h,故V圓柱∶V圓錐=3∶答案:3∶410.(10分)某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.【解析】該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,該組合體的體積V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=【綜合應用練】11.(5分)《九章算術》中記載一個問題,意思是:今有圓柱形土筑小城堡,底面周長為4丈8尺,高1丈1尺,問它的體積是多少立方尺?這個問題的答案是(π≈3,1丈=10尺)()A.2112立方尺 B.2111立方尺C.4224立方尺 D.4222立方尺【解析】選A.由已知,圓柱底面圓的周長為48尺,圓柱的高為11尺,所以底面半徑r=482π≈8(尺),所以它的體積V=11πr2≈2112(立方尺)12.(5分)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為()A.π B.3π4 C.π2 D【解析】選B.設圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=1,由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知,r,R及圓柱的高的一半構成直角三角形.所以r=1-(12)

2=32.所以圓柱的體積為V=π13.(5分)如圖,一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰塊,如果冰塊融化了,水________溢出杯子(填“會”或“不會”).

【解析】因為V半球=12×43πR3=12×43π×43=1283π(cm3),V圓錐=13πr2h=13π×42×10=1603π(cm3答案:不會14.(10分)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD內過點C作l⊥CB,以l為軸旋轉一周.求旋轉體的表面積和體積.【解析】如題圖,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,所以CD=BC-ADcos60°=2a,AB=所以DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a.所以DO=12DD'=由于以l為軸將梯形ABCD旋轉一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐.由上述計算知,圓柱的母線長為3a,底面半徑為2a,圓錐的母線長為2a,底面半徑為a.所以圓柱的側面積S1=2π·2a·3a=43πa2,圓錐的側面積S2=π·a·2a=2πa2,圓柱的底面積S3=π(2a)2=4πa2,圓錐的底面積S4=πa2.所以組合體上底面面積S5=S3-S4=3πa2.所以旋轉體的表面積S=S1+S2+S3+S5=(43+9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積.V柱=Sh=π·(2a)2·3a=43πa3.V錐=13S'h=13·π·a2·3a=33π所以V=V柱-V錐=43πa3-33πa3=1133π15.(10分)如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍,求圓錐的側面積和球的表面積之比.【解析】如圖,△ABC為圓錐的軸截面,截球面得圓O,由題意知AD=3OE,則OA=2OE.設OE=r,則OA=2r,AD=3r,在Rt△AEO中,sin∠EAO=12又因為0°<∠EAO<90°,所以∠EAO=30°.在Rt△ABD中,tan∠BAD=BDAD=BD3r=33,BD則AB=AD2+BD2圓錐的側面積為π×BD×AB=6πr2,球的表面積為4πr2,所以所求的比值為6πr2∶4πr2=3∶2.二十一棱柱、棱錐、棱臺(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)下面圖形中,為棱錐的是()A.①③ B.③④ C.①②④ D.①②【解析】選C.根據棱錐的定義和結構特征可以判斷,①②④是棱錐,③不是棱錐.2.(5分)具備下列條件的多面體是棱臺的是()A.兩底面是相似多邊形的多面體B.側面是梯形的多面體C.兩底面平行的多面體D.兩底面平行,側棱延長后交于一點的多面體【解析】選D.由棱臺的定義可知,棱臺的兩底面平行,側棱延長后交于一點.3.(5分)下列關于棱柱的說法中,錯誤的是()A.三棱柱的底面為三角形B.一個棱柱至少有五個面C.若棱柱的底面邊長相等,則它的各個側面全等D.五棱柱有5條側棱,5個側面,側面為平行四邊形【解析】選C.顯然A正確;面數最少的棱柱是三棱柱,它有五個面,故B正確;當棱柱是斜棱柱時,則側面不全是全等的平行四邊形,故C錯誤;D正確.4.(5分)在如圖所示的長方體中,以O,A,B,C,D為頂點所構成的幾何體是()A.三棱錐 B.四棱錐C.三棱柱 D.四棱柱【解析】選B.此幾何體有一個面ABCD為四邊形,其余各面OAD,OAB,OCD,OBC為有一個公共頂點的三角形,所以此幾何體是四棱錐.5.(5分)(多選)對如圖所示的幾何體描述正確的是()A.這是一個六面體B.這是一個四棱臺C.這是一個四棱柱D.此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱而得到【解析】選ACD.因為這個幾何體有六個面,這是個六面體,所以A正確;因為這個幾何體的側棱延長后不能交于同一點,所以這不是個四棱臺,B錯誤;如果把這個幾何體的前面或后面作為底面就會發現這是一個四棱柱,故C正確;如圖所示,此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱而得到,故D正確.6.(5分)在正方體上任意選擇4個頂點,它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點,這些幾何形體是__________(寫出所有正確結論的序號).

①矩形;②不是矩形的平行四邊形;③有三個面為等腰直角三角形,有一個面為等邊三角形的四面體;④每個面都是等邊三角形的四面體;⑤每個面都是直角三角形的四面體.【解析】在如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中,若所取四點共面,則只能是正方體的表面或對角面,即正方形或矩形,所以①正確,②錯誤;棱錐A-BDA1符合③,所以③正確;棱錐A1-BDC1符合④,所以④正確;棱錐A-A1B1C1符合⑤,所以⑤正確.答案:①③④⑤7.(5分)下列幾何體中,__________是棱柱.(僅填相應序號)

【解析】結合棱柱的定義可知①③④是棱柱.答案:①③④8.(5分)在下面的四個平面圖形中,是四面體的展開圖的為__________.(填序號)

【解析】由于③④中的圖組不成四面體,只有①②可以.答案:①②9.(5分)用平行于棱柱側棱的平面去截棱柱,所得截面是__________.

【解析】從截面與棱柱上、下底面的交線來看,交線必平行且相等,從而截面為平行四邊形.答案:平行四邊形10.(10分)如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1.(1)這個長方體是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?為什么?(2)用平面BCEF把這個長方體分成兩部分,各部分幾何體的形狀是什么?【解析】(1)是棱柱,是四棱柱,因為在長方體中相對的兩個面是平行的,其余的每個面都是矩形(四邊形),且每相鄰的兩個矩形的公共邊都平行,符合棱柱的結構特征,所以是棱柱.(2)各部分幾何體都是棱柱,分別為棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.【綜合應用練】11.(5分)(多選)如圖,這是一個正方體的表面展開圖,若把它再折回成正方體后,下列說法正確的是()A.點H與點C重合 B.點D,M,R重合C.點B與點Q重合 D.點A與點S重合【解析】選BD.將正方體的六個面分別用“前”“后”“左”“右”“上”“下”標記,若記面NPGF為“下”,面PSRN為“后”,則面PQHG,MNFE,EFCB,DEBA分別為“右”“左”“前”“上”.按各面的標記折成正方體,則點D,M,R重合,點G,C重合,點B,H重合,點A,S,Q重合.故BD正確,AC錯誤.12.(5分)以下四個命題真命題為()A.側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B.底面是矩形的平行六面體是長方體C.直四棱柱不一定是直平行六面體D.由五個面圍成的多面體只能是四棱錐或三棱柱【解析】選C.對等腰三角形的腰是否為側棱未作說明(如圖),A是假命題;底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直,B是假命題;因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形,故不一定是直平行六面體,C是真命題;五個面圍成的多面體還可能是三棱臺,D是假命題.13.(5分)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則在正方體表面上,從頂點A到頂點C1的最短距離為__________.

【解析】將側面ABB1A1與上底面A1B1C1D1展開在同一平面上,連接AC1,則線段AC1的長即為所求.如圖,AC1=25.答案:2514.(10分)如圖,四邊形AA1B1B為矩形,AA1=3,CC1=2,CC1∥AA1,CC1∥BB1,這個幾何體是棱柱嗎?若是棱柱,指出是幾棱柱;若不是棱柱,作出一個過點C1的截面,截去一部分,使剩余部分是一個側棱長為2的三棱柱,并指出截去的幾何體的名稱.【解析】因為這個幾何體中沒有兩個互相平行的面,所以這個幾何體不是棱柱.如圖,在AA1上取點E,使AE=2,在BB1上取點F,使BF=2,連接C1E,EF,C1F,則過點C1,E,F的截面將原幾何體分成兩部分,其中一部分是三棱柱ABC-EFC1,其側棱長為2;另一部分是四棱錐C1-EA1B1F,即截去的幾何體是四棱錐.15.(10分)如圖,在邊長為2a的正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點,沿圖中虛線將3個三角形折起,使點A,B,C重合,重合后記為點P.(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體?(2)這個幾何體共有幾個面,每個面的三角形有何特點?(3)每個面的三角形面積為多少?【解析】(1)如圖,折起后的幾何體是三棱錐.(2)這個幾何體共有4個面,其中△DEF為等腰三角形,△PEF為等腰直角三角形,△DPE和△DPF均為直角三角形.(3)S△PEF=12a2,S△DPF=S△DPE=12×2a·a=a2,S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-12a2-a2-a2=3【補償訓練】如圖,正方形ABCD的邊長為a,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點.若沿EF,FG,GH,HE將四角折起,試問能折成一個四棱錐嗎?為什么?【解析】不能.連接EG,FH(圖略),將正方形分成四個一樣的小正方形.若將正方形ABCD沿EF,FG,GH,HE折起,則四個頂點必重合于正方形的中心,故不能折成一個四棱錐.九平面向量數乘運算的坐標表示(時間:45分鐘分值:80分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·南昌高一檢測)已知向量a=(3,2),b=(0,-1),則-2a+4b等于()A.(6,0) B.(-6,0)C.(-6,-8) D.(6,8)【解析】選C.向量a=(3,2),b=(0,-1),則-2a+4b=(-6,-4)+(0,-4)=(-6,-8).2.(5分)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,則c=()A.1,83 B.133,83C.133,43 D.-133,-43【解析】選D.因為a=(5,-2),b=(-4,-3),且a-2b+3c=0,所以c=-13(a-2b)=-133,-43【補償訓練】(2024·保定高一檢測)已知命題p:m=(a,a2),n=(1,2),m與n共線,命題q:a=2,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.充分性:由m與n共線,則a1=a22,解得a=2或0,p是必要性:當a=2,時m=(2,4),由21=42,則m與n共線,p是q3.(5分)(2024·無錫高一檢測)已知點A(1,3),B(m-5,1),C(3,m+1),若A,B,C三點共線,則的坐標為()A.(-2,2) B.(2,-2)C.(2,2) D.(-2,-2)【解析】選D.由題意可知=(m-6,-2),=(2,m-2),由于A,B,C三點共線,所以與共線,則有(m-6)(m-2)=-4?(m-4)2=0?m=4,所以=(-2,-2).4.(5分)(2024·廣州高一檢測)已知點O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),點P是線段AB的三等分點,則點P的坐標是()A.143,-1 B.103,1C.143,-1或103,1 D.143,1或103,1【解析】選C.方法一:因為=(2,3),=(6,-3),可得=-=(4,-6),又因為點P是線段AB的三等分點,則=23=83,-4或=13=43,-2,所以=+=143,-1或=+=103,1,即P點的坐標為143,-1或103,1.方法二:由方法一知,=23或=13,設點P(x,y)則=-=(x-2,y-3),又=-=(4,-6),所以x-2=23×4y-3=所以x=143即P點的坐標為143,-1或103,1.5.(5分)(多選)(2024·南陽高一檢測)已知向量a,b是兩個非零向量,在下列四個條件中,一定能使a,b共線的是()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相異實數λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中實數x,y滿足x+y=0)D.a=(1,-2),b=(-1,2)【分析】對于A選項,可直接解出a=27e,b=-87e,則a,b共線;對于BD選項,由向量共線定理即可判定;對于C選項,當x=y=0時,【解析】選ABD.對于A,因為2a-3b=4e且a+2b=-2e,解得a=27e,b=-87e,此時一定能使a,b共線,則A對于B,存在相異實數λ,μ,使λa=μb,由向量共線定理即可判定a,b共線,故B選項正確;對于C,當x=y=0時,a,b不一定共線,則C選項錯誤;對于D,a=-b,由向量共線定理即可判定a,b共線,故D選項正確.6.(5分)已知向量a=(m,2)與b=(-2,-4)共線,則3a-b=________.

答案:(5,10)【解析】向量a=(m,2)與b=(-2,-4)共線,則(-4)×m=2×(-2),解得m=1,所以3a-b=3(1,2)-(-2,-4)=(5,10).7.(5分)(2023·上海高一檢測)已知三點P,P1,P2在一條直線上,點P1(0,-6),P2(4,0),且=-2,則點P的坐標為____________.

答案:(2,-3)【解析】設點P(x,y),由P1(0,-6),P2(4,0),則=(4,6),=(-x,-6-y),又=-2,則4=-2×(-x)6=-2×(-6-y即P(2,-3).8.(10分)(2023·清遠高一檢測)如圖所示,已知?ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6).(1)求頂點D的坐標;(2)已知點M(8,10),判斷A,M,C三點的位置關系,并證明.【解析】(1)由平行四邊形可得:=,又A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),=(4,1),所以=-=(5,6)-(4,1)=(1,5),所以D的坐標為(1,5);(2)A,M,C三點共線;因為A(-1,-2),C(5,6),M(8,10),所以=(6,8),=(9,12)=32,又,有公共點A,所以A,M,C三點共線.【綜合應用練】9.(5分)已知向量a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),若2a+b,a-c反向共線,則實數x的值為()A.-7 B.3 C.3或-7 D.-3或7【解析】選A.因為向量a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),所以2a+b=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x),因為2a+b,a-c反向共線,所以(2+x)×(-2-x)-(-5)×5=0,解得x=3或x=-7,又2a+b,a-c反向共線,代入驗證可知x=3時為同向,舍去,x=-7滿足條件,所以x=-7.10.(5分)(多選)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么()A.+=(λ-1,1-μ)B.若∥,則λ=2,μ=12C.若A是BD的中點,則B,C兩點重合D.若點B,C,D共線,則μ=1【解析】選AC.A選項,+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A選項正確;B選項,若∥,則λμ=1,故也可取λ=3,μ=13,B選項錯誤;C選項,若A是BD的中點,則=-,即(λ,1)=(-1,-μ)?λ=μ=-1,所以==(-1,1),所以B,C兩點重合,C選項正確;D選項,由于B,C,D三點共線,所以∥,=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=-=(1,μ)-(λ,1)=(1-λ,μ-1),則(-1-λ)×(μ-1)=0×(1