高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊課時過程性評價二十復數的乘、除運算含答案二十復數的乘、除運算(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·長沙高一檢測)已知a∈R,若(1+i)(2-ai)為純虛數,則a=()A.-1 B.2 C.-2 D.1【解析】選C.因為(1+i)(2-ai)=(2+a)+(2-a)i,所以2+a=0,22.(5分)(2024·麗水高一檢測)若復數z滿足z(2-i)=2i,i是虛數單位,則在復平面內z對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由題意復數z=2i2-i=2i(2+i)(2-i)(2+i)=-2+4i53.(5分)(2024·南陽高一檢測)已知i是虛數單位,則3+4i2+i=()A.1 B.2 C.5 D.6【解析】選C.由題意3+4i2+i=(3+4i)(2-i)4.(5分)(2024·忻州高一檢測)若復數z滿足z2-4z+5=0,則|z|的值為()A.2 B.3 C.5 D.22【解析】選C.由題意得z2-4z+4=-1,即(z-2)2=-1,得z=2±i,故|z|=22+15.(5分)(2024·岳陽高一檢測)已知i為虛數單位,i-2是關于x的方程x2+px+5=0的一個根,則實數p=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.由題意(i-2)2+p(i-2)+5=0,整理得8-2p+(p-4)i=0,所以8-2p=p-4=0,解得p=4.6.(5分)(多選)(2024·巴中高一檢測)設復數z=1+2i1+i,則(A.z的實部為32 B.z=32-C.z的虛部為12i D.|z【解析】選AB.因為z=1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=1+2+2i-i2=32+127.(5分)設復數z=-1-i(i為虛數單位),z的共軛復數為z,則2-zz【解析】因為z=-1-i,所以z=-1+i,2-zz=2-(-答案:-1+2i8.(5分)(2024·吉安高一檢測)在復數范圍內分解因式x3+5x的結果為__________________.

【解析】依題意,x3+5x=x(x2-5i2)=x(x+5i)(x-5i).答案:x(x+5i)(x-5i)9.(5分)(2024·銅川高一檢測)已知復數z滿足zi=(1+2i)2,則復數z在復平面內所對應的點的坐標為________【解析】zi=(1+2i)2,則z=(1+2i)2×i=(1+4i-4)×i=-4-3i,則復數z在復平面內所對應的點的坐標為(-4,-3)答案:(-4,-3)10.(10分)(2023·鎮江高一檢測)計算:(1)|(3+4i)(12+5i)|;(2)(1+i)6+2+【解析】(1)(3+4i)(12+5i)=36+63i+20i2=16+63i?|(3+4i)(12+5i)|=162(2)(1+i)6+2+3i3-2i=(2i)【綜合應用練】11.(5分)已知i是虛數單位,則化簡1+i1-i2022的結果為(A.i B.-i C.-1 D.1【解析】選C.方法一:因為1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)方法二:1+i1-i2022=1+i1-i21011=(1+i)2(1-i)21011=2i12.(5分)(多選)已知復數z1,z2,下列結論正確的有()A.z1+z2=z1+z2 B.若z1z2=0,則C.|z1z2|=|z1||z2| D.z1=|z1|【解析】選AC.設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1+z2=a+c+(b+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=當z1=0,z2=2+i時,z1z2=0,因此B錯誤;z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,|z1z2|=(=a=(a2+b2)(cz1=2+i時,|z1|=5,z1≠|z1|,D錯誤.13.(5分)計算:1+i+i2+i3+…+i2025=________.

【解析】因為in+in+1+in+2+in+3=0,n∈N*,所以1+i+i2+i3+…+i2025=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+i2022+i2023+i2024)+i2025=1+i2025=1+i.答案:1+i14.(10分)(2024·咸陽高一檢測)設復數z1=1-ai(a∈R),z2=3-4i.(1)若z1+z2是實數,求z1·z2;(2)若z1z2是純虛數,求【解析】(1)由z1=1-ai,z2=3-4i,得z1+z2=4-(4+a)i,而z1+z2是實數,于是4+a=0,解得a=-4,所以z1·z2=(1+4i)(3-4i)=19+8i.(2)依題意,z1z2=1-a因此3+4a解得a=-34所以z1=1+34i15.(10分)(2024·邢臺高一檢測)(1)在復數范圍內解方程x2-10x+27=0;(2)若復數z滿足|z|=|z-2|,z-z=2i,求z3+2i【解析】(1)由x2-10x+27=(x-5)2+2=0,可得(x-5)2=-2=(2i)2,則x-5=±2i,所以方程x2-10x+27=0的解為x=5-2i或5+2i.(2)設z=a+bi(a,b∈R),則由|z|=|z-2|,得a2+b解得a=1.又z-z=-2bi=2i,所以b=-1,所以z3+2i=1-i3+2i=(1-i)(3-二十八直線與直線平行(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)(多選)若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,則∠A'O'B'可能等于()A.130° B.50°C.40° D.不能確定【解析】選AB.因為OA∥O'A',OB∥O'B',所以∠AOB與∠A'O'B'相等或互補,因為∠AOB=130°,所以∠A'O'B'=130°或50°.2.(5分)如圖所示,在三棱錐S-MNP中,E,F,G,H分別是棱SN,SP,MN,MP的中點,則EF與HG的位置關系是()A.平行 B.相交 C.異面 D.平行或異面【解析】選A.因為E,F分別是SN和SP的中點,所以EF∥PN.同理可證HG∥PN,所以EF∥HG.【補償訓練】已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖),l?平面A1B1C1D1,且l與B1C1不平行,則下列一定不可能的是()A.l與AD平行 B.l與AD不平行C.l與AC平行 D.l與BD垂直【解析】選A.假設l∥AD,則由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,這與l與B1C1不平行矛盾,所以l與AD一定不平行.3.(5分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分別為棱A1C1,B1C1,B1B的中點,則∠EFG與∠ABC1()A.相等 B.互補C.相等或互補 D.不確定【解析】選B.由于E,F,G分別為A1C1,B1C1,BB1的中點,所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG與∠ABC1的兩組對應邊分別平行,一組對應邊方向相同,一組對應邊方向相反,故∠EFG與∠ABC1互補.4.(5分)如圖所示,在長方體木塊ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1O和C1O的中點,則長方體的各棱中與EF平行的有()A.3條 B.4條 C.5條 D.6條【解析】選B.由于E,F分別是B1O,C1O的中點,故EF∥B1C1,因為和棱B1C1平行的棱還有3條:AD,BC,A1D1,所以共有4條與EF平行的棱.5.(5分)(多選)給出下列四個命題,其中正確命題有()A.在空間中,若兩條直線不相交,則它們一定平行B.平行于同一條直線的兩條直線平行C.一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么它也和另一條相交D.空間四條直線a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c【解析】選BD.兩條直線可以異面,故A錯誤;由基本事實4可知,B正確;這條直線和另一條可以異面,故C錯誤;由平行直線的傳遞性可知,D正確.6.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是側面AA1D1D,側面CC1D1D的中心,G,H分別是棱AB,BC的中點,則直線EF與直線GH的位置關系是()A.相交 B.異面C.平行 D.無法確定【解析】選C.如圖,連接AD1,CD1,AC,則E,F,G,H分別為AD1,CD1,AB,BC的中點.由三角形的中位線定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.7.(5分)已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,則∠PQR=__________.

【解析】由等角定理知,∠PQR與∠ABC相等或互補.答案:30°或150°8.(5分)在四棱錐P-ABCD中,E,F,G,H分別是PA,PC,AB,BC的中點,若EF=2,則GH=________.

【解析】由題意知EF12AC,GH12AC,故EFGH,故GH=2.答案:29.(5分)如圖是正方體的表面展開圖,E,F,G,H分別是棱的中點,則EF與GH在原正方體中的位置關系為________.

【解析】將正方體的表面展開圖還原構造成正方體,如圖所示:分別取AB,AA1的中點Q,P,連接EP,FQ,PQ,A1B,由正方體的結構特征可得EF∥PQ.又因為點Q,P,H,G分別是AB,AA1,A1B1,BB1的中點,故PQ∥A1B,HG∥A1B,故PQ∥HG.所以EF∥GH.答案:平行10.(10分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中的平面A1B1C1D1內有一點P,經過點P作棱BC的平行線,應該怎樣畫?并說明理由.【解析】如圖,在平面A1B1C1D1內過點P作直線EF∥B1C1,交A1B1于點E,交C1D1于點F,則直線EF即為所求.理由如下:因為EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.【綜合應用練】11.(5分)(多選)如圖,點P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,且是所在棱的中點,則直線PQ與RS是平行直線的圖是()【解析】選AB.根據正方體的結構特征,可得A,B中RS與PQ均是平行直線,D中RS和PQ是相交直線,C中RS和PQ是異面直線.12.(5分)(多選)如圖,設E,F,G,H依次是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上除端點外的點,且AEAB=AHAD=λ,CFCB=CGCD=A.當λ=μ時,四邊形EFGH是平行四邊形B.當λ≠μ時,四邊形EFGH是梯形C.當λ≠μ時,四邊形EFGH是平行四邊形D.當λ=μ時,四邊形EFGH是梯形【解析】選AB.如圖所示,連接BD.因為AEAB=AHAD=λ,所以EH∥BD,且EH=λBD,同理,FG∥BD,且FG=μBD,所以EH∥FG.所以當λ=μ時,EH=FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形,所以選項A正確,選項D不正確;當λ≠μ時,EH≠FG,四邊形EFGH【補償訓練】如圖所示,在四面體ABCD中,M,N,P,Q,E分別是AB,BC,CD,AD,AC的中點,則下列說法不正確的是()A.M,N,P,Q四點共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四邊形MNPQ為矩形【解析】選D.由條件易得MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD,所以MQ∥NP.對于A,由MQ∥NP,得M,N,P,Q四點共面,故A正確;對于B,根據等角定理,得∠QME=∠CBD,故B正確;對于C,由等角定理知∠QME=∠DBC,∠MEQ=∠BCD,則△BCD∽△MEQ,故C正確;對于D,沒有充分理由證明四邊形MNPQ為矩形,故D不正確.13.(5分)如圖所示,△ABC和△A'B'C'的對應頂點的連線AA',BB',CC'交于同一點O,且AOA'O=BOB'O=COC【解析】如題干圖,AOA'O=BOB'可證AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB=∠C'A'B',∠ACB=∠A'C'B',所以△ABC∽△A'B'C',所以S△ABCS所以VO-ABCVO-A答案:114.(10分)如圖,A是△BCD所在平面外一點,M,N分別是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.(1)判斷MN與BD的位置關系;(2)求MN的長.【解析】(1)MN∥BD.理由如下:連接AM,AN并延長分別與BC,CD交于點E,F,由重心的定義知E,F分別為BC,CD的中點,連接EF,則EF∥BD,且EF=12又因為點M為△ABC的重心,點N為△ACD的重心,所以AM∶ME=AN∶NF=2∶1,所以MN∥EF,且MN=23EF,故MN∥(