7.1平面向量的概念及線性運算【考點梳理】1．向量的有關概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的(或稱模).eq\o(AB,\s\up6(→))的模記作eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的．(3)單位向量：長度等于的向量叫做單位向量.eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是一個與a同向的．－eq\f(a,|a|)是一個與a的單位向量．(4)平行向量：方向或的向量叫做平行向量．平行向量又叫，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量．(5)相等向量：長度且方向的向量叫做相等向量．(6)相反向量：長度且方向的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用表示；用表示；用表示．2．向量的加法和減法(1)向量的加法①三角形法則：以第一個向量a的終點A為起點作第二個向量b，則以第一個向量a的起點O為以第二個向量b的終點B為的向量eq\o(OB,\s\up6(→))就是a與b的(如圖1)．推廣：eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An-1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).圖1圖2②平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?ABCD，則以A為起點的就是a與b的和(如圖2)．在圖2中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式．③加法的運算性質：a＋b＝(交換律)；(a＋b)＋c＝(結合律)；a＋0＝＝a.(2)向量的減法已知向量a，b，在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝，即a－b表示從向量b的終點指向向量a(被減向量)的終點的向量(如圖)．3．向量的數(shù)乘及其幾何意義(1)定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λa))＝；②當λ>0時，λa與a的方向；當λ<0時，λa與a的方向；當λ＝0時，λa＝.(2)運算律：設λ，μ∈R，則：①λ(μa)＝；②(λ＋μ)a＝；③λ(a＋b)＝.4．兩個向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得．考點一向量的基本概念【例題】（1）下列說法正確的是（

）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則（2）若，是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（

）A．B．C． D．（3）下面命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則（4）數(shù)軸上點A，B分別對應，則向量的長度是（

）A．0 B．1 C．2 D．3（5）下列命題中正確的是（

）A．若、都是單位向量，則＝B．若=，則A、B、C、D四點構成平行四邊形C．若∥，且∥，則∥D．與是兩平行向量【變式】（1）下列說法正確的是（

）A．若向量與共線且與不為零向量，則存在實數(shù)，使得B．零向量是沒有方向的向量C．任意兩個單位向量的方向相同D．同向的兩個向量可以比較大小（2）如圖，四邊形中，，則相等的向量是（

）A．與 B．與 C．與 D．與（3）下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．長度等于1個單位長度的向量叫作單位向量C．相等向量的起點必定相同 D．若，，則（4）已知向量，且，則向量的方向（

）A．與向量的方向相同 B．與向量的方向相反C．與向量的方向相同 D．不確定（5）在平行四邊形ABCD中，，則必有（

）A．四邊形ABCD是矩形 B．＝或＝C．＝ D．四邊形ABCD是正方形考點二向量的線性運算【例題】（1）在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形（2）如圖，在平行四邊形中，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．（3）的化簡結果為（

）A． B． C． D．（4）在矩形中，，則向量的長度等于（

）A．4 B． C．3 D．2（5）已知，若M、P、Q三點共線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．－1（6）若點是線段上靠近的三等分點，則___________.【變式】（1）四邊形ABCD滿足＝，且||＝||，則四邊形是(填四邊形的形狀).（2）在中，為的中點，則（

）A． B． C． D．（3）向量（

）A． B． C． D．（4）正方形中，點是的中點，點是的一個三等分點，那么（

）A．B．C．D．（5）設向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)（

）A． B． C．2 D．﹣2（6）已知向量，不共線，且平面向量，，若，則.【方法總結】1．準確理解向量的概念，請?zhí)貏e注意以下幾點：(1)a∥b，有a與b方向相同或相反兩種情形；(2)向量的模與數(shù)的絕對值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；(3)零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行；(4)對于任意非零向量a，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法；(5)向量平行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上；(6)只要不改變向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量與a相等，所以線段共線與向量共線是有區(qū)別的，當兩向量共線且有公共點時，才能得出線段共線，向量的共線與向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向兩個要素，既能像實數(shù)一樣進行某些運算，又有直觀的幾何意義，是數(shù)與形的完美結合．向量是一個幾何量，因此，在研究向量的有關問題時，一定要結合圖形進行分析、判斷，這是研究平面向量最重要的方法與技巧．3．向量加法的三角形法則可簡記為“首尾相接，指向終點”；減法法則可簡記為“起點重合，指向被減向量”；加法的平行四邊形法則可簡記“起點重合，指向對角頂點”．4．平面向量的三種線性運算的結果仍為向量，在三種線性運算中，加法是最基本、最重要的運算，減法運算與數(shù)乘運算都以加法運算為基礎，都可以歸結為加法運算．5．對于兩個向量共線定理(a(a≠0)與b共線?存在唯一實數(shù)λ使得b