7.1平面向量的概念及線性運算【考點梳理】1．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的長度(或稱模).eq\o(AB,\s\up6(→))的模記作eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))．(2)零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量.eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是一個與a同向的單位向量．－eq\f(a,|a|)是一個與a方向相反的單位向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向線段表示；用坐標表示．2．向量的加法和減法(1)向量的加法①三角形法則：以第一個向量a的終點A為起點作第二個向量b，則以第一個向量a的起點O為起點以第二個向量b的終點B為終點的向量eq\o(OB,\s\up6(→))就是a與b的和(如圖1)．推廣：eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An-1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).圖1圖2②平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?ABCD，則以A為起點的對角線eq\o(AC,\s\up6(→))就是a與b的和(如圖2)．在圖2中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式．③加法的運算性質：a＋b＝b＋a(交換律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(結合律)；a＋0＝0＋a＝a.(2)向量的減法已知向量a，b，在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，即a－b表示從向量b的終點指向向量a(被減向量)的終點的向量(如圖)．3．向量的數乘及其幾何意義(1)定義：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規定如下：①eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λa))＝|λ||a|；②當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.(2)運算律：設λ，μ∈R，則：①λ(μa)＝μ(λa)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．兩個向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa．考點一向量的基本概念【例題】（1）下列說法正確的是（

）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則【答案】C【解析】對于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯誤；對于B：單位向量.故B錯誤；對于C：零向量與任意向量平行.正確；對于D：若向量，滿足，但是，的方向可以是任意的，故選：C.（2）若，是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】對于A中，兩個單位向量的方向不一定相同，所以A不正確；對于B中，由，又由，所以，所以B正確；對于C中，兩個單位向量的方向不一定共線，所以C不正確；對于D中，由，所以D不正確，故選：B.（3）下面命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項錯誤；對于，向量無法比較大小，故選項錯誤；對于，若，則兩向量反向，因此，故選項正確；對于，若，則，故選項錯誤，故選：C.（4）數軸上點A，B分別對應，則向量的長度是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】數軸上點A，B分別對應，則向量的長度即，故選：C．（5）下列命題中正確的是（

）A．若、都是單位向量，則＝B．若=，則A、B、C、D四點構成平行四邊形C．若∥，且∥，則∥D．與是兩平行向量【答案】D【解析】選項A中單位向量方向可以不同，故不一定成立；選項B中A、B、C、D四點可能共線，不能組成四邊形；選項C中當時，、為任意向量；選項D正確，相反向量是一對平行向量，故選：D.【變式】（1）下列說法正確的是（

）A．若向量與共線且與不為零向量，則存在實數，使得B．零向量是沒有方向的向量C．任意兩個單位向量的方向相同D．同向的兩個向量可以比較大小【答案】A【解析】∵與為非零向量，且共線，∴存在實數，使得，A正確；零向量的長度為0，方向是任意的，故B錯誤；任意兩個單位向量的長度相等，但方向不一定相同，故C錯誤；不管是同向的向量還是不同向的向量，都不能比較大小，故D錯誤，故選：A.（2）如圖，四邊形中，，則相等的向量是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【解析】因為在四邊形中，，則四邊形為平行四邊形，故，，，，故選：D.（3）下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．長度等于1個單位長度的向量叫作單位向量C．相等向量的起點必定相同 D．若，，則【答案】B【解析】當時，與不一定平行，A錯誤；長度等于1個單位長度的向量叫作單位向量，B正確；相等向量的起點不一定相同，C錯誤；向量不能比較大小，D錯誤．故選：B.（4）已知向量，且，則向量的方向（

）A．與向量的方向相同 B．與向量的方向相反C．與向量的方向相同 D．不確定【答案】A【解析】若和方向相同，則它們的和的方向應該與(或)的方向相同；若它們的方向相反，而的模大于的模，則它們的和的方向與的方向相同，故選：A.（5）在平行四邊形ABCD中，，則必有（

）A．四邊形ABCD是矩形 B．＝或＝C．＝ D．四邊形ABCD是正方形【答案】A【解析】由ABCD構成四邊形可知，BC錯誤；在平行四邊形ABCD中，，，由題知，即平行四邊形的對角線相等，所以四邊形ABCD是矩形，A正確；易知四邊形ABCD不一定是正方形，故D錯誤，故選：A.考點二向量的線性運算【例題】（1）在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】：，，，，且，四邊形是平行四邊形，故選：D．（2）如圖，在平行四邊形中，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，，D錯，故選：C.（3）的化簡結果為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，故選：B.（4）在矩形中，，則向量的長度等于（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【解析】在矩形中，由可得,又因為,故，故，故選:A.（5）已知，若M、P、Q三點共線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．－1【答案】A【解析】∵M、P、Q三點共線，則與共線，∴，即，得，解得，故選：A.（6）若點是線段上靠近的三等分點，則___________.【答案】【解析】】如圖，是線段上靠近的三等分點，和方向相反，則：，故答案為：.【變式】（1）四邊形ABCD滿足＝，且||＝||，則四邊形是(填四邊形的形狀).【答案】矩形【解析】，且，則四邊形是平行四邊形，又，即該平行四邊形對角線長相等，所以四邊形是矩形，故答案為：矩形.（2）在中，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D.（3）向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據向量的運算法則，可得：，故選：C.（4）正方形中，點是的中點，點是的一個三等分點，那么（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，∴．故選：D．（5）設向量，不平行，向量與平行，則實數（

）A． B． C．2 D．﹣2【答案】D【解析】因為向量與平行，所以，即，解得：，故選：D.（6）已知向量，不共線，且平面向量，，若，則.【答案】1【解析】因為，向量，不共線，所以，即，解得，故答案為：1.【方法總結】1．準確理解向量的概念，請特別注意以下幾點：(1)a∥b，有a與b方向相同或相反兩種情形；(2)向量的模與數的絕對值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；(3)零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行；(4)對于任意非零向量a，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法；(5)向量平行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上；(6)只要不改變向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量與a相等，所以線段共線與向量共線是有區別的，當兩向量共線且有公共點時，才能得出線段共線，向量的共線與向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向兩個要素，既能像實數一樣進行某些運算，又有直觀的幾何意義，是數與形的完美結合．向量是一個幾何量，因此，在研究向量的有關問題時，一定要結合圖形進行分析、判斷，這是研究平面向量最重要的方法與技巧．3．向量加法的三角形法則可簡記為“首尾相接，指向終點”；減法法則可簡記為“起點重合，指向被減向量”；加法的平行四邊形法則可簡記“起點重合，指向對角頂點”．4．平面向量的三種線性運算的結果仍為向量，在三種線性運算中，加法是最基本、最重要的運算，減法運算與數乘運算