5.4正弦型函數及圖像變換【考點梳理】1．用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內的簡圖用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內的簡圖時，要找五個特征點，如下表所示.x－eq\f(φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3,2)π－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.圖象變換(ω＞0)路徑①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))個單位長度，得到函數y＝sin(x＋φ)的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標變為原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標不變)，得到函數y＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變為原來的A倍(橫坐標不變)，這時的曲線就是y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．路徑②：先將曲線上各點的橫坐標變為原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標不變)，得到函數y＝sinωx的圖象；然后把曲線向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))個單位長度，得到函數y＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變為原來的A倍(橫坐標不變)，這時的曲線就是y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．3．函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意義簡諧運動的圖象所對應的函數解析式y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關：A就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運動的周期是T＝eq\f(2π,ω)，這是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；這個簡諧運動的頻率由公式f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；ωx＋φ稱為相位；x＝0時的相位φ稱為初相．考點一正弦型函數解析式及參數的求法【例題】（1）用五點法作函數f(x)＝sin的圖象時，所取的“五點”是（

）A．，，，，B．，，，，C．，，，，D．，，，，【答案】A【解析】令2x－＝0可得x＝，又函數的最小正周期為，則，所以五點的坐標依次是，，，，，故選：A.（2）如圖所示的是函數圖象的一部分，則其函數解析式是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】由函數的圖象的頂點坐標可得，由求得，再由五點法作圖可得，可得，故函數解析式是，故選：A.（3）函數的周期是，振幅是，初相是.【答案】

【解析】周期為，振幅，令則初相，故答案為:；；.（4）已知函數的最小正周期為，直線是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數的最小正周期為，所以，所以，所以，故排除B、D選項；又因為直線是其圖象的一條對稱軸，，，所以符合條件的解析式為，故選A.（5）已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由函數的部分圖象知，，，解得，∴；又，可得，，解得，，∵，∴可得，∴，∴，故選：D.【變式】（1）用“五點法”作函數在一個周期內的圖像時，第四個關鍵點的坐標是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】令，得.∴該點坐標為，故選A.（2）下列函數中，圖象的一部分如圖所示的是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】設函數的最小正周期為T，由圖像可知：，解得：，所以，解得：.對照四個選項，滿足的只有D，驗證選項D符合題意，故選：D.（3）函數的振幅是___________，是___________，初相是___________.【答案】3；2；.【解析】根據可得振幅為3，，初相是，故答案為：3；2；.（4）已知函數的部分圖象如圖所示，則___________．【答案】【解析】由圖可知，因為，所以，解得，因為函數的圖象過點，所以，又，所以，故答案為：.（5）已知函數最小正周期為，其圖象的一條對稱軸是，則此函數的解析式可以是A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數的最小正周期是，故先排除選項D；又對于選項B：，對于選項C：，故B、C均被排除，應選A，故選：A.考點二正弦型函數的圖像變換【例題】（1）已知函數，則函數的圖象可以由的圖象（

）A．向左平移得到 B．向右平移得到C．向左平移得到 D．向右平移得到【答案】A【解析】由題意，由的圖象向左平移得到函數，故選：A.（2）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象（

）A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【答案】A【解析】由題意，把函數的圖象向左平行移動個單位長度得到故選：A.（3）將函數的圖像向右平移個單位得到的圖像，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】由題得，所以，故選：B.（4）為了得到函數的圖像，需對函數的圖像所作的變換可以為（

）A．先將圖像上所有的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向左平移個單位B．先將圖像上所有的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位C．先將圖像上所有的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位D．先將圖像上所有的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向右平移個單位【答案】B【解析】對于A，先將的圖像上所有的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向左平移個單位，所得圖像的解析式為，故A錯誤；對于B，先將的圖像上所有的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位，所得圖像的解析式為，故B正確；對于C，先將的圖像上所有的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位,所得圖像的解析式為，故C錯誤；對于D，先將的圖像上所有的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向右平移個單位，所得圖像的解析式為，故D錯誤；故選：B.（5）已知函數的圖象上每個點向左平移個單位長度得到函數的圖象，則的值為.【答案】【解析】把函數的圖象上每個點向左平移個單位長度，得到函數的圖象，，則，故答案為．【變式】（1）將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，所得圖象的函數表達式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到，故選：C.（2）將的圖象向右平移個單位，則所得圖象的函數解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】將的圖象向右平移個單位，得，故選：C．（3）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象（

）A．向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度C．向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度D．向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度【答案】C【解析】要得到函數，需把函數的向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，故選：C.（4）函數的圖象如圖所示，現將的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖可知，過點，解得，將的圖像向右平移個單位得到，故選：D.（5）將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應的解析式是__________．【答案】【解析】將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得函數的圖象；再將的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應的解析式是的圖象，故答案為：．【方法總結】1．五點法作函數圖象及函數圖象變換問題(1)當明確了函數圖象基本特征后，“描點法”是作函數圖象的快捷方式．“五點法”作圖的優點是用簡單的計算、列表、描點替代圖形變換，不易出錯，且圖形簡潔．(2)在進行三角函數圖象變換時，提倡“先平移，后伸縮”，而“先伸縮，后平移”也經常出現在題目中，所以也必須熟練掌握，但要注意：先伸縮后平移時要把x前面的系數提取出來．2．根據y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的圖象求解析式的步驟：(1)首先確定振幅和周期，從而得到A與ω.(Ⅰ)A為離開平衡位置的最大距離，即最大值與最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函數圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數的半個周期；②函數圖象與x軸的交點是其對稱中心，相鄰兩個對稱中心間的距離也是函數的半個周期；③一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心間的距離為函數的eq\f(1,4)個周期．(2)求φ的值時最好選用最值點求．峰點：ωx＋φ＝eq