4.2對數函數【考點梳理】1．對數(1)對數：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN.其中a叫做對數的底數，N叫做真數．(2)兩類重要的對數①常用對數：以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記作lgN；②自然對數：以e為底的對數稱為自然對數，并把logeN記作lnN．注：(i)無理數e＝2.71828…；(ii)負數和零沒有對數；(iii)loga1＝0，logaa＝1.(3)對數與指數之間的關系當a＞0，a≠1時，ax＝N?x＝logaN.(4)對數運算的性質如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝eq\f(n,m)logaM；(5)換底公式及對數恒等式①對數恒等式：＝N；②換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特別地，logab＝eq\f(1,logba).2．對數函數的圖象及性質定義一般地，函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數圖象a＞10＜a＜1定義域(0，＋∞)值域R性質過定點(1，0)在(0，＋∞)上是增函數在(0，＋∞)上是減函數考點一對數【例題】（1）（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】，故選：A.（2）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A：，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：∵,∴，故C正確，對于D：，故D不正確，故選：C.（3）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為在上單調遞增，，所以，即，又因為，所以，故選：C.（4）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知，，故選：C.（5）等比數列中，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C【解析】等比數列中，若，所以，所以，故選：C.（6）設，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：，，故選：D.【變式】（1）下列各等式正確的為（

）A．B．C．D．（，，）【答案】D【解析】A：，錯誤；B：，錯誤；C：當x，y均為負數時，等式右邊無意義，錯誤；D：且，，，正確，故選：D.（2）（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】：，故選：D.（3）若等比數列滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解析】由題意知，，則，故選：B.（4）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，故選：A.（5）已知，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，故選：C.（6）的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】原式＝，故選：C.考點二對數函數【例題】（1）已知函數，則（

）A．2B．C． D．【答案】A【解析】，故選：A.（2）下列函數是對數函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由對數函數的定義：形如且的形式，則函數為對數函數，只有D符合，故選D.（3）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，即，解得或，故函數的定義域為，故選：D.（4）函數(且)的圖象恒過定點.【答案】【解析】因為函數(且)，令，解得，所以，即函數恒過點，故答案為：.（5）若，求x的值.【答案】x的值為4.【解析】因為,所以即解得.故所求x的值為4.【變式】（1）函數為對數函數，則等于（）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因為函數為對數函數，所以函數系數為1，即即或，因為對數函數底數大于0，所以，，所以，故選：B.（2）若，則.【答案】【解析】，故，故答案為：.（3）函數的定義域為（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】由題設，，即，可得，所以函數定義域為，故選：D.（4）函數（且）恒過定點.【答案】【解析】當時，即，則，所以恒過定點，故答案為：.（5）設，求的值.【答案】1【解析】因為，，所以，，所以.【方法總結】1．對數函數的圖象、性質在應用時，如果底數a的取值范圍不確定,則要對其進行分類討論．2．熟練掌握指數式與對數式的互化，它不僅體現了兩者之間的相互關系，而且為對數的計算、化簡、證明等問題提供了更多的解題途徑．3．比較兩個對數的大小的基